MATLAB valeurs et vecteurs propres

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Explications :

1. Valeurs propres : Les valeurs propres de la matrice $A$ sont les solutions de l’équation caractéristique $\text{det}(A-\lambda I)=0$, où $\lambda$ est une valeur propre et $I$ est la matrice identité.
2. Vecteurs propres : Les vecteurs propres associés à une valeur propre $\lambda$ sont les solutions de l’équation $(A-\lambda I)v=0$, où $v$ est un vecteur propre non nul.

Cas particuliers :

• Matrices symétriques : Si $A$ est une matrice symétrique, toutes les valeurs propres sont réelles et les vecteurs propres sont orthogonaux (dans le cas de matrices réelles). MATLAB garantit cela par défaut.
• Matrices non carrées : Les matrices non carrées n’ont pas de valeurs et vecteurs propres au sens classique. Toutefois, vous pouvez utiliser des méthodes comme la décomposition en valeurs singulières (SVD) pour analyser leur structure.

Calcul des valeurs propres complexes :

Les matrices non symétriques peuvent avoir des valeurs propres complexes. MATLAB les gère automatiquement et renvoie des résultats sous forme de nombres complexes dans la matrice diagonale D.

Exemple avec des valeurs propres complexes :

A = [0, -1; 1, 0];
[V, D] = eig(A);
disp(‘Valeurs propres:’);
disp(D);
disp(‘Vecteurs propres:’);
disp(V);