Rappels d’analyse fonctionnelle

Rappels d’analyse fonctionnelle

L’objectif de ce chapitre est de rappeler l’essentiel des notions et résultats utilisés tout au long de ce travail. Pour plus de détails, des références `a la littérature seront systématiquement données. On désigne ici par : K=R ou C. X , Y des espaces de Banach. X ∗ (resp. Y ∗ ) le dual topologique de X (resp. Y). h., .i le crochet de dualité. H un espace de Hilbert sur K muni de la norme |.| et le produit scalaire (., .). L (X , Y) l’espace vectoriel des applications linéaires continues de X vers Y, que l’on munit de la norme définie par kBkL (X, Y) = sup u∈E\{0} kBukY kukX . 

Opérateurs linéaires 

Opérateurs bornés

Théorèmes de prolongement Théorème 1.1.1 Soit D un sous-espace vectoriel dense de X . Toute application linéaire continue de D vers Y a un unique prolongement linéaire continue de X vers Y.

Théorème 1.1.2 [prolongement de la convergence]. Soient D un sous-espace vectoriel dense de X et (Bn)n∈N une suite d’éléments de L (X , Y). On suppose qu’il existe c > 0 tel que ∀n ∈ N, kBnkL (X, Y) ≤ c et que, pour tout élément x de D, la suite Bnx a une limite Bx quand n tend vers l’infini. Alors l’application B : D −→ Y ainsi définie est linéaire continue, et, si Bb ∈ L (X , Y) est un prolongement de B, alors pour tout x ∈ X , Bnx −→ Bx, n b −→ +∞. Principe de la borne uniforme Théorème 1.1.3 [Banch-Steinhaus]. Soit (Bi)i∈I une famille d’opérateurs de L (X , Y) vérifiant ∀x ∈ X , sup i∈I kBixkY < ∞. (a) Alors (a) a lieu uniformément sur la boule unité de X , i.e., sup i∈I kBikL (X, Y) < ∞. (b) I L’application de ce théorème apparaˆıt bien dans les opérateurs dépendant d’un paramètre t, o`u le paramètre t joue le rˆole de l’indice i. Théorème de l’isomorphisme Théorème 1.1.4 Toute bijection linéaire continue de X sur Y a un inverse continu. Théorème du graphe fermé Théorème 1.1.5 Soit B : X −→ Y une application linéaire. Alors B est continue si et seulement si le graphe de B est fermé dans X × Y, c’est-`a-dire : pour toute suite (xn)n∈N de X vérifiant (xn −→ x, n −→ ∞) dans X et (Bxn −→ y, n −→ ∞) dans Y, on a y = Bx Théorème 1.1.6 Soit A une algèbre de Banach unitaire d’élément unité e. Si |v| < 1, alors e + v est inversible et on a (e + v) −1 = P∞ k=0 (−1)k v k . I Comme application de ce théorème on prend A = L (X ) ou A = L (H). 1.1 Opérateurs linéaires 8 1.1.2 Opérateurs non-bornés On appelle opérateur sur X , la donnée d’un couple (A, D(A)), o`u D(A) est le domaine de définition de l’application linéaire A, qui est un sous-espace vectoriel de X qu’on suppose en général dense dans X . Tout opérateur A est complètement défini par son graphe G(A) qui est un sous-espace vectoriel de X × Y défini par G(A) = {(v, Av), v ∈ D(A)}. Définition 1.1.1 On dit qu’un opérateur A est fermé si son graphe G(A) est fermé dans X × Y, i.e., pour toute suite (un) ⊂ D(A) telle que un −→ u dans X et Aun −→ v dans Y, alors u ∈ D(A) et v = Au. I L’opérateur fermé A peut ˆetre considéré comme un opérateur borné de son domaine de définition D(A) muni de la norme du graphe dans X . Définition 1.1.2 On dit qu’un opérateur A est fermable dans X s’il admet un prolongement fermé. On vérifie aussitˆot que A est fermable dans X si et seulement si l’adhérence G(A) de son graphe est un graphe. Autrement dit A est fermable si et seulement si pour toute suite (un) ⊂ D(A) telle que un −→ 0 et Aun −→ v, alors v = 0. L’opérateur fermé A dont le graphe G(A) = G(A) est appelé fermeture de A. Théorème 1.1.7 [Théorème du graphe fermé]. Si l’opérateur fermé A est définit sur tout l’espace X , alors A est borné (A fermé et D(A) = X =⇒ A borné). Définition 1.1.3 Soit A : D(A) ⊂ X −→ Y un opérateur non-borné `a domaine dense. On peut définir l’opérateur non-borné A∗ adjoint de l’opérateur A, comme suit : A∗ : D(A∗ ) ⊂ Y∗ −→ X ∗ D(A∗ ) = {v ∈ Y∗ : ∃ c > 0 tel que |hv, Aui| ≤ c |u|X , ∀u ∈ D(A)} . Dans ce cas la fonctionnelle u 7−→ g(u) = hv, Aui elle se prolonge de fa¸con unique en une fonctionnelle linéaire f : X −→ K telle que |f(u)| ≤ c |u|X , ∀u ∈ X. Par suite f ∈ X ∗ . On a par conséquent la relation fondamentale qui lie A et A∗ hv, AuiY∗×Y = hA ∗ v, uiX∗×X , ∀u ∈ D(A), ∀v ∈ D(A ∗ ). Proposition 1.1.1 Soit A : D(A) ⊂ X −→ Y un opérateur non-borné `a domaine dense. Alors A∗ est fermé. Définition 1.1.4 L’opérateur A : D(A) ⊂ H −→ H est dit auto-adjoint si A = A∗ , i.e., D(A) = D(A∗ ) et (v, Au) = (Av, u), ∀u, v ∈ D(A). I L’adjoint d’un opérateur borné B ∈ L (X , Y) existe toujour et on a de plus kBkL (X, Y) = kB∗kL (Y∗, X∗) . I Si A : D(A) ⊂ H −→ H, avec D(A) = H, alors A∗ = A∗ . Si de plus, D(A∗ ) est dense, alors A∗∗ = (A∗ ) ∗ = A. Proposition 1.1.2 Soit A : D(A) ⊂ X −→ X . L’opérateur A−1 existe et est borné sur R(A), si et seulement si pour tout u ∈ D(A) on a |Au| ≥ m |u|, o`u m est une constante positive indépendante de u. Théorème 1.1.8 [Caractérisation des opérateurs `a image fermé]. Soit A : D(A) ⊂ X −→ Y un opérateur non-borné, fermé, avec D(A) = X. Les propriétés suivantes sont equivalentes : (i) R(A) est fermé, (ii) R(A∗ ) est fermé, (iii) R(A) = N (A∗ ) ⊥, (iv) R(A∗ ) = N (A) ⊥. Le résultat qui suit est une caractérisation utile des opérateurs surjectifs. Théorème 1.1.9 Soit A : D(A) ⊂ X −→ Y un opérateur non-borné, fermé, avec D(A) = X . Les propriétés suivantes sont équivalentes : (a) A est surjectif, i.e., R(A) = Y, (b) il existe une constante k > 0 telle que |v| ≤ k|A ∗ v|, ∀v ∈ D(A ∗ ), (c) N (A∗ ) = {0} et R(A∗ ) est fermé. 1.2 Opérateurs dépendant d’un paramètre 10 I En pratique si l’on cherche `a établir qu’un opérateur A est surjectif, on utilise l’implication ((b) =⇒ (a)) de la manière suivante. On considère l’équation A∗ v = f avec f ∈ Y∗ et on montre que kvk ≤ kkfk avec k indépendante de f. Cette technique s’appelle la méthode des estimations a priori : on ne se préocupe pas de savoir si l’équation A∗ v = f possède une solution de cette équation, et on cherche `a estimer sa norme. Théorème 1.1.10 Soit A : D(A) ⊂ X −→ Y un opérateur non-borné, fermé, avec D(A) = X . Les propriétés suivantes sont équivalentes : (a) A∗ est surjectif, i.e., R(A∗ ) = X ∗ , (b) il existe une constante k > 0 telle que |v| ≤ k|Av|, ∀v ∈ D(A), (c) N (A) = {0} et R(A) est fermé. Corollaire 1.1.1 Soit A : D(A) ⊂ X −→ X un opérateur non-borné, fermé, avec D(A) = X . L’opérateur A admet un inverse borné A−1 sur X si et seulement s’il existe deux constantes m1 et m2 telles que |u| ≤ m1 |Au| , ∀u ∈ D(A), |v| ≤ m2 |A ∗ v| , ∀v ∈ D(A ∗ ).