DOUBLEMENT EXCITES DE L’HELIUM ET DES IONS HELIUMOIDE

DOUBLEMENT EXCITES DE L’HELIUM ET DES IONS HELIUMOIDE

. Expressions des fonctions d’onde nlnl’ et (nl) 2

Les fonctions d’onde φ jkmnll ‘ des états singulets doublement excités nlnl’ de l’hélium et des ions héliumoїdes se mettent sous la forme suivante : φ jkmnll ‘ 1 (r  ,r2 )  = ( ) 1 2 2 2 l r r ( ) 1 22 2 0 12 0 2 2 n l nr r r ν ν ν λ = −− = ∑ + ( ) ‘ 1 2 2 2 l r r ( ) ‘ ‘ 1 22 2 0 12 ‘ 0 2 2 n l nr r r ν ν ν λ =−− = ∑ ( ) 1 2 j r r + ( ) 1 2 k r r − 1 2 m r r −   ( ) 1 2 exp 2− + λ r r Et celles φ jkmnl des états singulets doublement excités (nl ) 2 de l’hélium et des ions héliumoїdes se mettent également sous cette forme : jkmnl ( 1 φ r  ,r2 )  =( ) 1 2 2 2 l r r ( ) 1 22 2 0 12 0 2 2 n l nr r r ν ν ν λ = −− = ∑ ( ) 1 2 j r r + ( ) 1 2 k r r − 1 2 m r r −   ( ) 1 2 exp 2− + λ r r avec ( ) jkm , , sont les paramètres d’Hylleraas, ( jkm , , ≥ 0), j et k sont des paramètres qui tiennent compte respectivement de la proximité et de l’éloignement des deux électrons du noyau, m est le paramètre qui tient compte de la distance entre les deux électrons ; cet ensemble constitué par les trois paramètres ( ) jkm , , représente une base d’états ( i.e. configuration ) du système à deux électrons, 1 r  et 2r  correspondent aux positions des deux électrons ; n est le nombre quantique principal ; l et l ‘sont les moments angulaires orbitaux des deux électrons ; 0 Z nr λ α = où Z , α , et 0r sont respectivement la charge nucléaire, le paramètre variationnel et le rayon de Bohr. Les fonctions d’ondes totales du système à deux électrons dans une base de dimension D dans les états singulets doublement excités nlnl’ sont les combinaisons linéaires des fonctions de base φ jkmnll ‘ et s’écrivent de la manière suivante : jkm , , ψ = ∑ a jkm φ jkmnll ‘ 1 (r  ,r2 )  ;

Expressions littérales de éléments matriciels et de l’énergie totale

L’Hamiltonien H peut se décomposer en trois termes permettant de séparer l’énergie cinétique T , l’énergie d’interaction Coulombienne entre le noyau et les deux électrons C et l’énergie d’interaction coulombienne entre les deux électrons W : H T CW =++ Avec : ( ) 1 2 2 T m =− ∆ +∆  2 2 1 2 Ze Ze C r r =− − 2 1 2 e W r r = −   Pour obtenir les coefficients a jkm , il faut résoudre l’équation de Schrödinger dans une base non orthogonale. Cette résolution conduit à l’équation générale aux valeurs propres suivante : ( ‘ ‘) , ‘ 0 JKMnll JKMnll q q ∑ H EN − = où q et q’ constituent l’ensemble des paramètres ( ) jkm , , et ( ) jkm ‘, ‘, ‘ respectivement ; J jj = + ‘ ; K kk = + ‘ ; M mm = + ‘ E est la valeur propre de l’énergie du système atomique à deux électrons NJKMnll ‘ sont les éléments matriciels de la constante de normalisation N HJKMnll ‘ sont des éléments matriciels de l’Hamiltonien total H avec : HJKMnll ‘ = Tjkm j k m , » ‘ + CJKMnll ‘ + WJKMnll ‘ où Tjkm j k m , » ‘ sont les éléments matriciels de l’opérateur d’énergie cinétique des deux électrons. CJKMnll ‘sont les éléments matriciels de l’opérateur de l’énergie d’interaction Coulombienne entre le noyau et les deux électrons. 22 WJKMnll ‘ sont les éléments matriciels de l’opérateur d’énergie d’interaction Coulombienne entre les deux électrons. A titre d’exemple, nous effectuons les calculs des expressions des éléments matriciels de NJKM ,Tjkm j k m nll , » ‘ ‘ ,CJKMnll ‘ , WJKMnll ‘ pour les états doublement excités 2p 2 ,3d 2 et 4f 2 . Les calculs des autres éléments matriciels pour les autres états se font de la même manière .