Modélisation de la traversée d’une bifurcation

La pression de blocage Les observations de la section 2.3.2 montrent l’existence d’une pression de blocage, Pblocage, au dessous de laquelle les bouchons restent bloqués `a l’entrée de la bifurcation. Avant de développer un modèle basé sur un critère de stabilité de l’interface avant, on revient sur la forme des interfaces en situation de blocage. 

Formes des interfaces du bouchon en blocage

L’interface avant En dessous de Pblocage, les observations expérimentales (Fig. 2.20) montrent que la forme de l’interface avant dépend de la pression appliquée. Il est assez difficile d’obtenir des visualisations tridimensionnelles de l’interface dans cette configuration. Néanmoins, on peut imaginer que, le fluide étant mouillant, les courbures principales sont de signe opposé (Fig. 4.1-a). Dans ces conditions, l’interface est semblable `a l’intérieur d’un tore. A l’aide d’un petit support métallique (Fig. 4.1-b), on a pu y fixer des bulles de savon afin de vérifier si une telle forme pouvait exister. La forme du support essaye de retranscrire `a la fois la géométrie de la bifurcation et le caractère mouillant du LM. Néanmoins, le rapport de forme n’est pas respecté. La forme de la bulle de savon est Mod´ eli sation de la traversée d’une bifurcation 74 Modélisation de la traversée d’une bifurcation a b Pf = 1 cmH2O h Fig. 4.1: a- Vues de dessus et de cˆoté des bouchons en situation de blocage. b- Montage permettant de se faire une idée de la forme de l’interface avant du bouchon en blocage, en vue de face, c’est `a dire, sortant du microcanal. probablement proche de celle des ménisques avant en blocage. Par ailleurs, pour les deux pressions auxquelles le blocage est observé (Fig. 2.20), l’interface avant semble accrochée aux bords de la bifurcation. C’est également le cas de l’interface arrière lorsqu’elle parvient `a son tour dans la bifurcation, comme dans le cas de l’éclatement présenté sur la figure 2.23. L’interface arrière Pendant le blocage, l’interface arrière se déplace lentement mais sa forme paraˆıt inchangée et indépendante de la pression de for¸cage. L’effet de la vitesse de déplacement de l’interface arrière, Ca ≃ 10−6 , est négligeable sur la courbure arrière et la figure 1.5-b du chapitre 1 schématise la forme de l’interface arrière. On peut alors utiliser l’expression 2.3 et le saut de pression capillaire `a l’interface arrière s’écrit en première approximation P ar cap ≃ γκ. (4.1) 

Rappel sur la stabilité d’une goutte

La figure 4.2-a schématise différentes configurations observées lors du gonflage d’une goutte d’eau ou d’une bulle de savon accrochée au bout d’une aiguille de seringue. Pendant le gonflage, le rayon de courbure R de la goutte diminue puis augmente en fonction de la position de l’apex yapex. En considérant le problème plan, la courbure R−1 se calcule comme l’inverse du rayon de courbure et s’écrit R −1 = 2yapex R2 tube + y 2 apex , (4.2) 4.1 La pression de blocage 75 a b Rtube R > Rmin R = Rmin R > Rmin yapex 0 0.5 1 1.5 2 0 1 2 Position de l’Apex Courbure de l’interface STABLE INSTABLE Fig. 4.2: Stabilité d’une goutte en gonflage (problème plan). o`u Rtube est le rayon du tube. Elle passe par un maximum pour yapex = Rtube et d’après la loi de Laplace, la pression dans la goutte est donc maximale pour cette position de l’apex. La figure 4.2-b montre, toujours pour un problème plan, l’évolution de la courbure de l’interface en fonction de la position verticale de l’apex. La courbe permet de caractériser la stabilité de la goutte. En effet, lorsque yapex < Rtube, l’état est stable : si on augmente légèrement la pression, le rayon de courbure diminue et, `a tout moment, un nouvel équilibre s’établit entre les forces de pression et celles de tension de surface, qui s’opposent au gonflage de la goutte. Lorsque yapex > Rtube, une perturbation (positive) de la pression n’est plus contrecarrée par les forces de tension de surface qui diminuent puisque le rayon de courbure augmente : l’équilibre devient instable. Dans la suite, on considère que ce critère de stabilité peut s’appliquer `a l’interface avant du bouchon.

Modélisation de la pression de blocage

On considère les hypothèses suivantes : dans la largeur du microcanal, l’interface est accrochée sur les bords de la bifurcation ; dans la hauteur, l’angle de contact est nul et l’interface est bombée vers l’intérieur du bouchon (Fig. 4.1-a). L’équilibre du bouchon en blocage s’écrit alors Pf = P ar cap + P av cap, (4.3) o`u P av cap exprime le saut de pression `a l’interface avant. Comme pour P ar cap, P av cap peut être relié par la loi de Laplace aux rayons de courbure principaux de l’interface avant. En supposant que le rayon de courbure dans l’épaisseur peut être estimé `a h/2, les rayons de courbure dans l’épaisseur `a l’avant et `a l’arrière du bouchon sont égaux et donc, les sauts de pression capillaires associés s’annulent. 76 Modélisation de la traversée d’une bifurcation.