Armatures longitudinales

Armatures longitudinales

Sollicitations corrigées

Les sollicitations de calculs deviennent :  Nu = Nu  Mu = e × Nu Tableau 68:Sollicitations corrigées Etage e (m) Nu (MN) Mu (MNm) 6ème 0,088 0,312 0,027 5ème 0,085 0,705 0,060 4ème 0,084 1,107 0,093 3ème 0,081 1,511 0,122 2ème 0,076 1,930 0,147 1er 0,105 2,282 0,240 RDC 0,089 2,657 0,235

Etat de la section des poteaux

Avant de déterminer les armatures, il faut connaître si la section du poteau est partiellement ou entièrement comprimée. L’organigramme de calcul en flexion composée est donné en annexe VII-2 page XXXVI. Exemple de calcul : Considérons le poteau du 6ème étage : Ψ1 = 0,312 0,20×0,20×14,17 = 0,550 < 0,81 < 2 3 Donc 𝜁 = 1+√9−12×0,550 4(3+√9−12×0,550) = 0,1401 𝑒𝑛𝑐 = 0,1401 × 0,20 = 0,028 𝑚 𝑒 = 0,088𝑚 > 𝑒𝑛𝑐 = 0,028 𝑚 ainsi nous avons une SPC. Les résultats de calcul sont donnés dans le tableau qui suit : Tableau 69:Etat de la section Etage d ‘ (m) ψ1 ζ enc = ζh χ Etat 6ème 0,02 0,550 0,1401 0,028 SPC 5ème 0,03 0,754 0,1029 0,031 SPC 4ème 0,04 1,015 0,32 SPC 3ème 0,05 1,077 0,22 SPC 2ème 0,05 1,238 0,12 SEC 1er 0,06 0,976 0,26 SPC RDC 0,06 1,137 0,17 SEC 

Calcul des armatures 

Dimensionnement des sections partiellement comprimées Pour dimensionner les sections partiellement comprimées, on suit les étapes suivantes :  Calculer le moment fictif : 𝑀𝑢,𝑓 = 𝑁𝑢 (𝑒 + 𝑑 − ℎ 2 )  Déterminer les armatures de la section étudiée soumise à une flexion simple de moment Mu,f : – La section d’armatures comprimées est : 𝐴′𝑠,𝑓 = 𝑀𝑢,𝑓 − 0,371 × 𝑏 × 𝑑 2 × 𝑓𝑏𝑐 𝑓𝑒𝑑(𝑑 − 𝑑′) – La section d’armatures tendues est : 𝐴𝑠,𝑓 = 𝐴′𝑠,𝑓 + 𝑏 × 𝑑 × 𝑓𝑏𝑐 881  Les sections réelles des armatures sont alors : 𝐴′𝑠 = 𝐴′𝑠,𝑓 𝑒𝑡 𝐴𝑠 = 𝐴𝑠,𝑓 − 𝑁𝑢 𝜎𝑠  Les sections minimales des armatures comprimées et tendues sont données respectivement par les formules : 𝐴′𝑠,𝑚𝑖𝑛 = max { 0,2𝑏ℎ 100 ; 4𝑢} 𝐴𝑠,𝑚𝑖𝑛 = max { 𝑏ℎ 1000 ; 0,23𝑏𝑑 𝑓𝑡28 𝑓𝑒 } Où : u : périmètre de la section du béton [m]. Exemple de calcul : Considérons le poteau du 6ème étage : 𝑀𝑢,𝑓 = 0,312 (0,088 + 0,18 − 0,20 2 ) = 0,052 𝑀𝑁𝑚 𝐴 ′ 𝑠,𝑓 = 0,052−0,371×0,20×0,182×14,17 435(0,18−0,02) × 10−4 = 2,6 𝑐𝑚² 𝐴𝑠,𝑓 = 2,6 + 0,20×0,18×14,17 881 × 10−4 = 8,4 𝑐𝑚² Et les sections réelles sont : 𝐴 ′ 𝑠 = 𝐴 ′ 𝑠,𝑓 = 2,6 𝑐𝑚2 𝐴𝑠 = 8,4 − 0,312 435 = 1,24 𝑐𝑚² Et les résultats de calcul des armatures longitudinales des autres étages sont donnés par le tableau suivant : Tableau 70:Armatures longitudinales [en cm²] des sections partiellement comprimées Etage Mu,f(MNm) Acalculé (cm²) Aréel (cm²) Amin (cm²) Afinal (cm²) A’s,f As,f A’s,r As,r A’min Amin A’ A 6ème 0,052 2,62 8,41 2,62 1,24 3,20 0,40 3,20 1,24 5ème 0,145 5,78 15,33 5,78 -0,89 4,16 0,66 5,78 0,66 4ème 0,248 10,98 22,12 10,98 -3,34 4,56 0,77 10,98 0,77 3ème 0,394 13,07 27,39 13,07 -7,35 5,36 0,99 13,07 0,99 1er 0,742 18,57 42,45 18,57 -10,05 6,80 1,65 18,57 1,65 b) Dimensionnement des sections entièrement comprimées Nous avons χ = 0,14 > 0, donc la section d’armatures tendues A = 0 et la section d’armatures comprimées est égale à : 𝐴 ′ = 1 𝑓𝑒𝑑 [𝑁𝑢 − (1 − 𝜒) × 𝑏 × ℎ × 𝑓𝑏𝑢] Exemple de calcul : Considérons le poteau du 2ème étage : 𝐴 ′ = 1 435 [1,930 − (1 − 0,124) × 0,22 × 0,50 × 14,17] × 104 = 12,97 𝑐𝑚² Tableau 71:Armatures longitudinales [en cm²] de la section entièrement comprimée Etage χ A’min(cm2 ) A'(cm2 ) 2ème 0,124 5,76 12,97 RDC 0,170 6,80 16,46 c) Choix des armatures Nous avons choisi les armatures tout en respectant les conditions sur l’enrobage, l’espacement horizontal et vertical entre les barres. Les armatures choisies sont données dans le tableau qui suit : Tableau 72:Section d’armatures choisie Etage A’ (cm²) A’choisi (cm²) A (cm²) Achoisi (cm²) 6ème 3HA12 3,39 3HA10 2,36 5ème 5HA14 7,70 3HA8 1,51 4ème 8HA14 12,32 3HA8 1,51 3ème 9HA14 13,85 3HA8 1,51 2ème 7HA16 14,07 – – 1er 6HA20 18,85 3HA10 2,36 RDC 6HA20 18,85 – 

Vérification à l’ELS

Vérification des sections partiellement comprimées

Nous allons vérifier si : 𝜎𝑏𝑐 ≤ 𝜎̅𝑏𝑐 Et 𝜎𝑠 ≤ 𝜎̅𝑠 Avec : 𝜎𝑏𝑐 = 𝑧 𝑁𝑠𝑒𝑟 𝐼 × 𝑦𝑠𝑒𝑟 𝑒𝑡 𝜎𝑠 = 15𝑧 𝑁𝑠𝑒𝑟 𝐼 × (𝑑 − 𝑦𝑠𝑒𝑟) I : moment d’inertie de la section homogène réduite : 𝐼 = 𝑏 × 𝑦𝑠𝑒𝑟 3 3 + 15[𝐴𝑠 (𝑑 − 𝑦𝑠𝑒𝑟) 2 + 𝐴′𝑠 (𝑦𝑠𝑒𝑟 − 𝑑′) 2 ] yser : distance entre le centre de pression à l’axe neutre de la fibre supérieure de la section : 𝑦𝑠𝑒𝑟 = 𝑐 + 𝑧 Avec : 𝑐 = ℎ 2 − 𝑒 𝑜ù 𝑒 = 𝑀𝑠𝑒𝑟 𝑁𝑠𝑒𝑟 Et z est déterminé en résolvant l’équation du 3ème degré : 𝑧 3 + 𝑝𝑧 + 𝑞 = 0 Les paramètres p et q sont obtenues respectivement par les expressions : 𝑝 = −3𝑐 2 − 90𝐴 ′ 𝑠 ( 𝑐 − 𝑑 ′ 𝑏 ) + 90𝐴𝑠 ( 𝑑 − 𝑐 𝑏 ) 𝑞 = −2𝑐 3 − 90𝐴 ′ 𝑠 (𝑐 − 𝑑 ′ ) 2 𝑏 − 90𝐴𝑠 (𝑑 − 𝑐) 2 𝑏 La résolution de l’équation se fait comme suit : – Calculer ∆ : ∆= 𝑞 2 + 4𝑝 3 27 – Si ∆ ≥ 0 : 𝑡 = 0,5(√∆ − 𝑞) 𝑢 = √𝑡 3 𝑧 = 𝑢 − 𝑝 3𝑢 – Si ∆ < 0 : On pose : { 𝜑 = arccos( 3𝑞 2𝑝 √ −3 𝑝 ) 𝑎 = 2√ −𝑝 3 Et nous avons trois solutions : 𝑧1 = 𝑎 cos 𝜑 3  𝑧2 = 𝑎 cos ( 𝜑 3 + 2𝜋 3 ) 𝑧2 = 𝑎 cos ( 𝜑 3 + 4𝜋 3 ) Exemple de calcul : Pour le poteau du 6ème étage, nous avons : Mser = 0,0085 MNm Nser = 0,226 MN A’ = 0,000339 cm² A = 0,000236 cm² L’excentricité « e » est égal à : 𝑒 = 0,0085 0,226 = 0,037 𝑚 Calcul de z : 𝑐 = 0,20 2 − 0,037 = 0,063 𝑚 𝑝 = −3 × 0,0632 − 90 × 0,000339 ( 0,063−0,02 0,20 ) + 90 × 0,000236 ( 0,18−0,063 0,20 ) 𝑝 = −0,0058 𝑚² 𝑞 = −2 × 0,0633 − 90 × 0,000339 (0,063−0,02) 2 0,20 − 90 × 0,000236 (0,18−0,063) 2 0,20 𝑞 = −0,0022 𝑚3 ∆= −0,00222 + 4(−0,0058) 3 27 = 4,94 × 10−6 ∆= 4,94 × 10−6 > 0 donc : 𝑡 = 0,5 (√4,94 × 10−6 − (−0,0022)) = 0,002 𝑢 = √0,002 3 = 0,13 𝑧 = 0,13 − (−0,0058) 3×0,13 = 0,145 𝑚 Et nous avons : 𝑦𝑠𝑒𝑟 = 0,063 + 0,145 = 0,208 𝑚 𝐼 = 0,2×(0,208)² 3 + 15[ 0,000236(0,18 − 0,208) 2 + 0,000339(0,208 − 0,02) 2 ] 𝐼 = 0,00078 𝑚4 Les contraintes sont : 𝜎𝑏𝑐 = 0,145 × 0,226 𝐼 × 0,208 = 8,74 𝑀𝑃𝑎 < 𝜎̅𝑏𝑐 = 15 𝑀𝑃𝑎 𝜎𝑠 = 15 × 0,145 × 0,226 𝐼 × (0,18 − 0,208) = −17,66 𝑀𝑃𝑎 < 0 donc SEC.