Viabilité d’une solution à une inclusion différentielle perturbée

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Thématique de la thèse

La thématique principale de cette thèse est la théorie des trajectoires rugueuses. Elle a été introduite par T. Lyons [Lyo98] pour étudier des équations diﬀérentielles stochastiques dirigées par des bruits très généraux sortant du cadre habituel de la théorie d’Itô. L’objet fondamental de cette théorie est ce que l’on appelle la signature d’une trajectoire. Cela correspond à la famille des intégrales itérées du signal contre lui-même. Son étude débute dans les années cinquante avec les travaux de K. T. Chen [Che54, Che57, Che58] mais se limite à des trajectoires régulières. L’article [Lyo98] montre qu’une connaissance a priori des premiers termes de la signature du bruit est suﬃsante pour résoudre une équation diﬀérentielle contrôlée par ce bruit. La puissance de cette théorie repose alors sur une séparation nette entre la construction probabiliste des premiers termes de la signature puis trajectorielle des solutions. De plus la topologie employée dans ce cadre implique la continuité de la solution par rapport au bruit. Cette propriété est particulièrement utile lorsque l’on souhaite étudier des schémas numériques ou des théorèmes de type Wong-Zakai.
Depuis la fin des années quatre-vingt-dix, les domaines de recherche initiés par les idées de T. Lyons sont importants. On peut citer, de manière non exhaustive, les travaux portant sur
• les équations diﬀérentielles rugueuses (EDR) [Lyo98, Gub04, Dav07, FV10, CL14, Bai15a] et en particulier celles dirigées par le mouvement brownien fractionnaire [BC07, CQ02];
• les équations diﬀérentielles aux dérivées partielles stochastiques (théories des struc-tures de régularité [Hai14], des distributions paracontrôlées [GIP15], équation du transport [BG17, Cat16] et lois de conservation [DGHT16]);
• la caractérisation d’une trajectoire par sa signature [HL10, BGLY16];

INTRODUCTION GÉNÉRALE

• l’apprentissage de signaux temporels [CK16, Gra13];
• la compression de données [LS05].
Ce manuscrit se limite principalement à des travaux en rapport avec les EDR. On trouvera cependant dans le chapitre 3 des éléments de la théorie des structures de régularité appliqués à l’étude des EDR.

Organisation de la thèse

Cette thèse est composée de trois parties indépendantes contenant des articles acceptés, soumis ou en cours de finalisation. Le lecteur trouvera au début de chacune d’elles, un chapitre introductif en français qui donne les thèmes et les apports de la partie. Chaque partie peut être lues indépendemment. Cependant, nous conseillons à des lecteurs peu familiers avec la théorie des trajectoires rugueuses de commencer par la partie I où nous introduisons des notions nécessaires à la compréhension du reste du manuscrit.
Équations diﬀérentielles rugueuses et structures de régularité Cette partie est composée de deux chapitres.
Le chapitre 2 est une brève introduction aux équations diﬀérentielles rugueuses. Nous expliquons les principales idées qui sous-tendent cette théorie et de donner un aperçu des diﬀérentes approches développées pour résoudre une EDR. Cela nous permettra ensuite de relier certaines idées de la théorie des structures de régularité à celles de la théorie des trajectoires rugueuses. Enfin, nous faisons part des apports de la partie qui se trouvent dans le chapitre suivant.
Le chapitre 3 correspond à l’article [Bra17] accepté au Séminaire de Probabilités. On cherche dans celui-ci à redémontrer les théorèmes classiques de la théorie des trajectoires rugueuses (construction de l’aire de Lévy, existence et unicité d’une solution à une équation diﬀérentielle rugueuse . . . ) via les outils de la théorie des structures de régularité. Il ne contient pas de résultat fondamentalement nouveau mais a une visée pédagogique qui aidera, nous l’espérons, le lecteur à comprendre les liens entre ces deux théories.Flots rugueux Cette partie, consacrée à l’étude des flots d’EDR, est composée de trois chapitres.
Dans le chapitre 4, nous introduisons la notion de flot que l’on définit comme une famille d’applications ψ : pψt,sq0⁄s⁄t⁄T d’un espace métrique dans lui-même

ORGANISATION DE LA THÈSE

tout 0 ⁄ r ⁄ s ⁄ t ⁄ T ,
ψt,t Id, (1.1)
ψt,s ψs,r ψt,r.
On cherche à comparer, dans l’état de l’art, les conditions d’existence et de régularité des flots associés à des équations diﬀérentielles ordinaires, stochastiques et rugueuses. Puis on introduit les schémas numériques d’Euler pour les EDO et d’Euler-Maruyama pour les EDS. Ils permettent de construire un flot de solutions à partir d’approximations en temps petit de celui-ci. De telles approximations sont ce que l’on appelle des presque flots. Plus précisément, on dira qu’une famille d’applications pφt,sq0⁄s⁄t⁄T est un presque flot si elle vérifie “presque” l’équation (1.1). Cette définition sera au cœur des deux chapitres suivants.
Le chapitre 5 est composé d’un article [BL17a] soumis pour publication et écrit en collaboration avec Antoine Lejay. Il s’inspire des approches par schéma d’Euler [Dav07] et par flot [Bai15a] des EDR. Nous étendons le lemme de la couturière linéaire [FdLP 06] sur lequel repose la construction de l’intégrale rugueuse, à la construction de flots de solutions d’EDR à partir de leurs approximations en temps petit (presque flots). Nous définissions ainsi une axiomatique des presque flots, notés couramment φ, que nous employons pour montrer l’existence en dimension finie d’un flot mesurable associé à φ. Ce résultat est ensuite appliqué à des EDR lorsque la régularité du champ de vecteurs n’est pas suﬃsante pour assurer l’unicité des solutions. Dans le cas où l’on peut majorer uniformément la norme Lipschitz de l’itération du presque flot sur une subdivision π, noté φπ, on prouve lorsque le pas de π devient nulle que φπ converge vers un flot lipschitz. De plus, s’il existe un flot lipschitz, c’est l’unique flot associé à φ. Dans le cas où φ est perturbé par un terme additif assez régulier, on montre qu’il conserve ses propriétés. Enfin, on retrouve avec ce formalisme les lemmes de la couturière additif [FdLP 06] et multiplicatif [FdLPM08, CL14].
Le chapitre 6 est la suite du travail sur les presque flots du chapitre 5. Il est constitué d’un second article [BL17b] écrit en collaboration avec Antoine Lejay et soumis pour publication. On y étend la définition de presque flot à celle de presque flot stable. Si φ est stable alors la norme lipschitz de φπ peut être bornée uniformément en π. D’après les résultats du chapitre 5, cela implique la convergence de φπ vers un flot Lipschitz. On montre par ailleurs que φ est stable par inversion. Enfin, on utilise notre cadre pour montrer que les presque flots définis par P. Friz, N. Victoir [FV10] et par I. Bailleul [Bai15a] peuvent être vus comme des perturbations du presque flot dû à A. M. Davie [Dav07].

Table des matières

1 Introduction générale
1.1 Thématique de la thèse
1.2 Organisation de la thèse
1.2.1 Partie I : Équations différentielles rugueuses et structures de régularité
1.2.2 Partie II : Flots rugueux
1.2.3 Partie III : Inclusions différentielles perturbées
I Équations différentielles rugueuses et structures de régularité
2 Introduction aux équations différentielles rugueuses
2.1 Les équations différentielles rugueuses
2.2 Approche de Doss-Sussmann
2.3 Intégrale de Young
2.4 Trajectoires de processus stochastiques
2.5 Théorie des trajectoires rugueuses
2.6 Petit mot sur la signature
2.7 Résolution d’une EDR par point fixe
2.8 Produit et développement de Taylor
2.9 Des développements de Taylor aux structures de régularité
2.10 Les objectifs de cette partie
3 Solving rough differential equations with the theory of regularity structures
3.1 Introduction
3.2 Notations
3.3 Hölder spaces
3.3.1 Classical Hölder spaces with a positive exponent
3.3.2 Localised test functions and Hölder spaces with a negative exponent
3.4 Elements of rough path theory
3.4.1 The space of rough paths
3.4.2 Controlled rough paths
3.4.3 Integration against rough paths
3.4.4 Young’s integration
3.4.5 Controlled rough path integration
3.5 Regularity structures
3.5.1 Definition of a regularity structure
3.5.2 Definition of a model
3.5.3 The rough path regularity structure
3.6 Modelled distributions
3.6.1 Definition and the reconstruction operator
3.6.2 Modelled distribution of controlled rough paths
3.7 Rough path integral with the reconstruction map
3.8 Existence of a rough path lift
3.9 Composition with a smooth function
3.10 Solving the rough differential equations
II Flots rugueux
4 Introduction aux flots
4.1 Flots des équations différentielles ordinaires
4.2 Flots des équations différentielles stochastiques
4.3 Flots des équations différentielles rugueuses
CONTENTS
4.4 Comparatif EDO, EDS, EDR
4.5 Approximations de flots
4.6 Schéma d’Euler
4.7 Schéma d’Euler-Maruyama
4.8 Les objectifs de cette partie
5 Non linear sewing lemma I: weak form
5.1 Introduction
5.1.1 Motivations
5.1.2 Notations, definitions and concepts
5.1.3 Summary of the main results
5.1.4 Outline
5.2 A uniform control over almost flows
5.2.1 Definition of almost flows
5.2.2 A uniform control on iterated almost flows
5.3 The non-linear sewing lemma
5.4 Lipschitz flows
5.5 Perturbations
5.6 Applications
5.6.1 The additive sewing lemma
5.6.2 The multiplicative sewing lemma
5.6.3 The multiplicative sewing lemma in a Banach algebra
5.6.4 Rough differential equation
6 Non linear sewing lemma II: Lipschitz continuous formulation
6.1 Introduction
6.2 Notations
6.2.1 Controls and remainders
6.2.2 Functions spaces
6.3 Almost flow and Uniform Lipschitz condition
6.4 Stable almost flows
6.4.1 The 4-points control
6.4.2 Definition of a stable almost flow
6.4.3 Non linear sewing lemma for stable almost flow
6.5 Perturbations
6.6 Inversion of the flow
6.7 Generalized solution to rough differential equations
6.7.1 Existence of a flow from a family of solutions
6.7.2 Uniqueness and continuity of a solution in the sense of Davie
6.8 Application to Rough differential equation
6.8.1 Rough path notations
6.8.2 The Davie’s approach
6.8.3 Almost flows constructed from sub-Riemannian geodesics, as
P. Friz and N. Victoir
6.8.4 Bailleul’s approach
Appendices
6.A The Davie lemma
III Inclusions différentielles perturbées
7 Introduction aux inclusions différentielles
7.1 Inclusion différentielle
7.2 Notions de régularité des fonctions multivaluées
7.3 Un premier résultat d’existence par sélection continue
7.4 Résultats d’existence
7.5 Inclusions différentielles stochastiques
7.6 Les objectifs de cette partie
8 Differential inclusions perturbed by rough paths
8.1 Notations
8.2 Main results
8.3 Perturbed differential inclusion
8.4 Tools for differential inclusions
8.4.1 Measurable selection results
8.4.2 Continuous partition of a segment
8.5 Proofs of mains results
8.5.1 If F is continuous
8.5.2 With lower semi-continuity of F
9 Perspectives
9.1 Pistes de recherche sur les flots
9.1.1 Flots stochastiques et flots rugueux
9.1.2 Flots génériques
9.2 Pistes de recherche sur les inclusions
9.2.1 Flots de solutions d’une inclusion différentielle perturbée
9.2.2 Unicité de la solution d’une inclusion perturbée
9.2.3 Viabilité d’une solution à une inclusion différentielle perturbée
Bibliographie
Résumé