Observateur étendu pour une classe de systèmes MIMO non uniformément observables

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Introduction

Afin de concevoir des méthodes de commande, de détection et de localisation de défauts, il est essentiel d’avoir des informations pour une bonne maîtrise du procédé (système) à étudier. Les variables directement mesurées ne couvrant généralement pas la totalité des grandeurs susceptibles de décrire le comportement du procédé (les états), nous pouvons alors nous poser la question de la reconstruction de l’in-formation non directement mesurée au moyen de celle disponible : c’est le rôle de l’observateur ou estimateur d’état. Le principe est le suivant : le procédé étant modé-lisé comme un système dynamique soumis à l’action de grandeurs externes (entrées) faisant varier un ensemble de grandeurs mesurées (sorties), l’observateur consiste en un système dynamique auxiliaire dont les entrées sont les entrées/sorties mesurées du procédé, et les sorties sont supposées donner une estimation de son état interne. Un observateur permet donc d’optimiser le nombre de capteurs dans une applica-tion industrielle ; d’où son intérêt économique dans l’industrie. Durant les dernières décennies beaucoup de travaux en automatique ont été menés sur la conception d’observateurs.
La synthèse d’observateurs pour les systèmes linéaires est complètement carac-térisée par des conditions nécessaires et suﬃsantes bien établies. En eﬀet, les pre-miers travaux sur les observateurs d’état, ont été publiés par Kalman-Bucy (dans un contexte stochastique, (filtre de Kalman)) [Kalman and Bucy, 1961], puis Luen-berger (dans un contexte déterministe) [Luenberger, 1971]. Ces travaux s’intéressent aux systèmes linéaires invariants dans le temps. Cependant, la plupart des procédés
industriels possèdent des comportements non linéaires, ce qui a incité les chercheurs à développer des observateurs non linéaires. À l’heure actuelle, le problème de la conception d’observateurs pour les systèmes non linéaires MIMO reste ouvert. Dif-férentes approches ont été proposées pour concevoir des observateurs d’état pour diﬀérentes classes de systèmes non linéaires (cf. par exemple [Alessandri and Rossi, 2015; Besançon, 1999; Besançon and Hammouri, 1998; Ciccarella et al., 1993; Fliess et al., 2008; Farza et al., 2011; Gauthier and Bornard, 1919; Gauthier et al., 1992; Gauthier and Kupka, 2001; Hammouri et al., 2010; Ménard et al., 2010; Shena and Xia, 2008; Shim et al., 2001]) mais aucune d’entre elles ne fournit une solution générale comme dans le cas des systèmes linéaires invariants dans le temps.
Nous pouvons citer quelques approches parmi les nombreuses existantes. Une première est basée sur le filtre de Kalman, en utilisant directement l’approche dé-veloppée pour le cas linéaire sur le linéarisé du système le long des trajectoires. Néanmoins, cette approche ne permet pas de garantir la convergence de l’observa-teur. Une seconde approche repose sur la faisabilité d’inégalités matricielles linéaires et sur des équations de type Lyapunov ou Riccati. Cependant, cette approche ne garantit pas, en général, la faisabilité des inégalités considérées [Rajamani, 1998; Zemouche and Boutayeb, 2013]. Une troisième approche appelée platitude consiste à écrire les états non mesurés en fonction des signaux mesurés, c’est-à-dire l’entrée et la sortie, en utilisant des outils de l’algèbre diﬀérentielle [Fliess et al., 2008]. Une quatrième approche utilise le calcul par intervalle [Moisan et al., 2009; Mazenc et al., 2012; Efimov and Raïssi, 2016]. Une approche générale est de chercher des trans-formations de coordonnées appropriées qui conduisent à une dynamique d’erreur linéaire modulo une injection de sortie permettant ainsi de concevoir un observa-teur de Luenberger ou de Kalman (cf. par exemple [Boutat et al., 2009; Gauthier and Hammouri, 1992; Guay, 2002; Krener and Isidori, 1983; Krener and Respondek, 1985; Rajamani, 1998; Respondek et al., 2009; Xia and Gao, 1989]).
Une activité de recherche intensive a été consacrée à la classe des systèmes obser-vables pour toute entrée, c’est-à-dire des systèmes uniformément observables (cf. par exemple [Gauthier et al., 1992; Gauthier and Kupka, 2001; Hammouri and Farza, 2003]). Dans [Gauthier et al., 1992], les auteurs ont proposé une forme canonique pour les systèmes mono-sortie aﬃnes en la commande. Cette forme canonique est composée d’une dynamique linéaire fixe et d’une partie non linéaire triangulaire. L’extension de la conception de l’observateur a été réalisée dans [Gauthier and Kupka, 2001] pour traiter le cas non aﬃne en la commande et dans [Hammouri and Farza, 2003]) pour une classe de systèmes MIMO uniformément observables ca-ractérisée par une forme normale où les non linéarités sont également triangulaires. Plusieurs extensions pour la conception d’observateurs ont été proposées pour cer-taines classes particulières de systèmes MIMO uniformément observables. Les ob-servateurs sous-jacents sont caractérisés par un gain constant qui est souvent issu de la résolution d’une équation algébrique de Lyapunov. Dans le cas de systèmes non uniformément observables, il n’existe pas d’approche systématique pour traiter le problème de la conception d’un observateur, car ces systèmes peuvent admettre des entrées qui les rendent inobservables. Les contributions disponibles sont plutôt des extensions adaptées de la synthèse d’observateurs pour des systèmes uniformément observables, tout en considérant certaines conditions suﬃsantes sur les entrées du système. Ces conditions permettent aux systèmes d’être suﬃsamment observables pour eﬀectuer une conception d’observateur appropriée et elles sont généralement appelées conditions d’excitation persistantes, i.e le Grammien d’observabilité du sys-tème est une matrice définie positive. Dans [Besançon and Ticlea, 2007], les auteurs ont introduit la notion d’entrée régulière locale et ont donné des conditions suf-fisantes pour caractériser les systèmes qui peuvent être immergés sous une forme normale de plus grande dimension composée d’une partie aﬃne dépendant de l’en-trée et de la sortie et d’une partie non linéaire triangulaire. Un observateur de type grand gain dont le gain est issu de la résolution d’une EDO de Lyapunov a été alors conçu sur la base de la forme normale. La classe des systèmes considérée dans [Besançon and Ticlea, 2007] a été revisitée dans [Dufour et al., 2012] où les auteurs ont introduit la notion d’entrée régulière permettant ainsi d’aﬀaiblir la condition d’excitation persistante et de concevoir un observateur de type grand gain.
Notre première contribution dans cette thèse a consisté en la synthèse d’un ob-servateur pour une classe de systèmes non linéaires non uniformément observables dont la dynamique comprend des incertitudes. Cette classe de systèmes inclut celles considérées dans [Besançon and Ticlea, 2007; Dufour et al., 2012] et a été considé-rée dans [Hernandez et al., 2017] mais sans incertitudes. Elle est composée d’une première partie où l’état apparaît de façon aﬃne avec une matrice anti-décalage où les termes non nuls sont des fonctions non linéaires possédant une structure trian-gulaire par rapport à l’état et d’une seconde partie comprenant des non linéarités triangulaires.
Pour notre deuxième contribution, nous avons considéré une classe de systèmes incertains qui ne sont pas triangulaires au sens classique et qui sont non unifor-mément observables. Afin de pouvoir construire un observateur, la notion d’indices caractéristiques associés aux variables d’état a été introduite. Ces indices caracté-ristiques permettent de ré-ordonner les états et donc d’utiliser une approche plus traditionnelle.
Un problème qui se pose régulièrement est que le modèle du procédé comprend des paramètres qui ne sont connus qu’avec une précision relative, voir inconnus. Une solution est donc d’estimer conjointement les variables d’état et les paramètres inconnus. C’est ce que l’on appelle un observateur adaptatif. Les premières contri-butions datent des années 70 et ont été dédiées aux systèmes linéaires invariants dans le temps (cf. par exemple, [Lüders and Narendra, 1973; Kreisselmeier, 1977]). Le cas des systèmes linéaires variant dans le temps a été ensuite considéré dans un contexte déterministe dans [Wang et al., 2002] ainsi que dans un contexte stochas-tique dans [Perabò and Zhang, 2009]. Plusieurs approches ont été appliquées pour aborder le problème de la conception d’observateurs adaptatifs pour des systèmes non linéaires [Bastin and Gevers, 1988; Marino and Tomei, 1995; Santosuosso et al., 2001; Cho and Rajamani, 1997; Besançon et al., 2004; Farza et al., 2014; Besançon et al., 2006]. Quoique la plupart des contributions sur la conception d’observateurs adaptatifs considèrent des systèmes avec une paramétrisation linéaire, il existe néan-moins quelques résultats traitant le cas de paramétrisations non linéaires

Table des matières

Table des matières
Notations – Abréviations
1 Introduction
2 Observateur de type grand gain pour une classe de systèmes MIMO non linéaires non uniformément observables
2.1 Formulation du problème
2.2 Synthèse de l’observateur
2.3 Analyse de convergence
2.4 Exemple
2.5 Conclusion
3 Observateur étendu pour une classe de systèmes MIMO non uniformément
observables
3.1 Introduction
3.2 Formulation du problème
3.3 Synthèse de l’observateur
3.4 Analyse de Convergence
3.5 Exemple
3.6 Conclusion
4 Synthèse d’un observateur adaptatif pour une classe de systèmes non linéaires
4.1 Introduction
4.2 Formulation du problème
4.3 Changement de coordonnées
4.4 Synthèse de l’observateur étendu
4.5 Forme adaptative de l’observateur
4.6 Exemple
4.7 Conclusion
5 Conclusions et perspectives