Description des équations de Navier-Stokes

Description des équations de Navier-Stokes

Les équations de Navier-Stokes régissent le mouvement des fluides et peuvent être considérées comme la deuxième loi de Newton sur le mouvement des fluides. Dans le cas d’un fluide newtonien compressible, cela donne :Où u est la vitesse du fluide, p est la pression du fluide, ρ est la densité du fluide et μ est la viscosité dynamique du fluide. Les différents termes correspondent aux forces d’inertie (1), aux forces de pression (2), aux forces visqueuses (3) et aux forces externes appliquées au fluide (4). Les équations de Navier-Stokes ont été dérivées par Navier, Poisson, Saint-Venant et Stokes entre 1827 et 1845.Les équations de Navier-Stokes représentent la conservation du ‘Momentum’, tandis que l’équation de continuité représente la conservation de la masse.

Modélisation des équations de Navier-Stokes L’équation de continuité et les équations de Navier-Stokes représentent le coeur de la modélisation des écoulements fluides. La résolution de ces équations, pour un ensemble particulier de conditions aux limites prédit la vitesse du fluide et sa pression dans une géométrie donnée. En raison de leur complexité, ces équations n’admettent qu’un nombre limité de solutions analytiques. Il est relativement facile, par exemple, de résoudre ces équations pour un écoulement entre deux plaques parallèles ou pour l’écoulement dans une conduite circulaire. En revanche, pour les géométries plus complexes telles qu’une buse de pulvérisation, la résolution des équations assez complexe.

Régime de l’écoulement

En fonction du régime d’écoulement, il est souvent possible de simplifier les équations. Dans d’autres cas, des équations supplémentaires peuvent être nécessaires. Dans le domaine de la dynamique des fluides, les différents régimes d’écoulement sont catégorisés à l’aide d’un nombre non dimensionnel, tel que le nombre de Reynolds et le nombre de Mach.Le nombre de Reynolds correspond au rapport des forces d’inertie aux forces visqueuses. mesure la turbulence de l’écoulement. Les flux à faible nombre de Reynolds, comme dans notre cas, sont laminaires, tandis que les flux à plus grand nombre de Reynolds sont turbulents. Le nombre de Mach (M = U/c) correspond au rapport de la vitesse du fluide, U, à la vitesse du son dans ce fluide, c. Le nombre de Mach mesure la compressibilité de l’écoulement. Deux méthodes son disponible pour la simulation d’un spray : les méthodes de suivi et les méthodes dispersées. Les méthodes de suivi modélisent l’écoulement de deux fluides immiscibles différents séparés par une interface clairement définie. Ces méthodes sont généralement utilisées pour modéliser la formation de bulles ou de gouttelettes, tel que les réservoirs de ballottement ou l’écoulement séparé d’huile / eau / gaz. Bien que les méthodes de suivi soient précises et fournissent une image claire du champ d’écoulement (vitesse, pression et force de tension superficielle), elles ne sont pas toujours pratiques en raison de leur coût de calcul élevé. Ainsi, les méthodes de suivi d’interface sont généralement mieux adaptées aux problèmes micro fluidiques dans lesquels seules quelques gouttelettes ou quelques bulles sont suivies ce qui n’est pas valable pour notre étude. Les simulations à plus grande échelle impliquant un plus grand nombre de gouttelettes tel qu’un spray nécessitent des méthodes de calcul moins coûteuses. En effet, les méthodes dispersées ne déterminent pas explicitement la position de l’interface entre les deux fluides, mais donne plutôt la fraction volumique de chaque phase, réduisant ainsi la charge de calcul.

Modèle Euler-Euler

Le modèle Euler-Euler simule le flux de deux phases incompressibles continues et entièrement interpénétrées. Les applications typiques sont les lits fluidisés (particules solides dans le gaz),la sédimentation (particules solides dans le liquide) ou le transport de gouttelettes ou bulles de liquide dans un liquide. Ce modèle nécessite la résolution de deux ensembles d’équations de Navier-Stokes, un pour chaque phase, afin de calculer le champ de vitesse pour chaque phase. La fraction volumique de la phase dispersée est suivie avec une équation de transport supplémentaire. Le modèle Euler-Euler est la méthode d’écoulement diphasique correcte pour modéliser un lit fluidisé. Le modèle repose sur l’hypothèse que les particules, bulles ou gouttelettes dispersées sont beaucoup plus petites que la taille de la grille. Le modèle Euler-Euler est le plus polyvalent des trois modèles dispersés, mais il a un coût de calcul élevé. Le modèle résout deux ensembles d’équations de Navier-Stokes, au lieu d’un, ce qui est le cas pour tous les autres modèles. Les modèles d’écoulement ‘’bubbly flow’’ et de mélange sont des simplifications du modèle Euler-Euler et reposent sur des hypothèses supplémentaires.