Caractérisation de quelques modules dans ߪ]ܯ[

Caractérisation de quelques modules dans ߪ]ܯ[

 Catégorie

Définition 1.3.1. Une catégorie est la donnée : 1. d’une classe d’objets E telsque 2. pour tout couple (A, B) d’objets de E d’ un ensemble noté HomE(A, B) dont les éléments sont des fléches f : A → B appelés morphismes de A dans B et vérifiant : 3. Pour tout triplé (A, B, C) d’objets de E il existe une application Hom(B, C) × Hom(A, B) −→ Hom(A, C) (g, f) −→ g ◦ f appelé composition des morphismes vérifiant : 13 a) pour tout f ∈ Hom(A, B), g ∈ Hom(D, A) ,h ∈ Hom(C, D) on a (f ◦ g) ◦ h = f ◦ (g ◦ h) b) pour tout objet A de E, il existe un unique morphisme 1A ∈ Hom(A, A) appelé morphisme identique de A tels que f ◦ 1A = f et g ◦ 1A = g Exemples 1.3.1. a) Catégorie des ensembles noté Ens : les objets sont les ensembles, les morphismes sont les applications, les compositions sont les compositions des applications. b) Catégorie des modules `a gauche noté R − Mod, les compoisitons sont les compositions des modules. Remarque 1.3.1. Une catégorie est dite petite si ses objets sont des ensembles. Définition 1.3.2. On dit qu’une catégorie D est une sous-catégorie de E si tout objet A de D est un objet de E et si pour tout objet A, B de D alors HomD(A, B) ⊆ HomE(A, B) et pour tout f ∈ HomD(A, B) et g ∈ HomE(B, C) alors g ◦D f = g ◦E f ∈ Hom(A, C) Si de plus HomD(A, B) = HomE(A, B) pour tout couple (A, B) d’objet de D on dira que D est sous catégorie pleine de E. Exemples 1.3.2. 1. R − Mod est une sous catégorie de Ens ,Gr ,Ab. 2. La catégorie des groupes abéliens noté Ab est une sous catégorie pleine de la catégorie des groupes Gr. Définition 1.3.3. Soit E et D deux catégorie. 1. On appelle foncteur covariant de E dans D la donnée pour tout morphisme f : A → B de E d’un morphisme F(f) : F(A) → F(B) de D et si f : A → B et g : B → C deux morphismes de E alors F(g ◦ f) = F(g) ◦ F(f) et pour tout objet A de E on a F(1A) = 1F(A) 2. Un foncteur contravariant F d’une catégorie E dans une catégorie D est la donnée : i) Pour tout objet A de E d’un objet F(A) de D et pour tout morphisme f de E de A dans B d’un morphisme F(f) de D de F(B) dans F(A). ii) Pour tout morphisme f : A → B et g : B → C deux morphismes de E, alors F(g ◦ f) = F(f) ◦ F(g) et pour tout objet A de E F(1A) = 1F(A) . 

Monomorphisme et épimorphisme

Définition 1.3.4. Soient A et B deux objets d’une catégorie C. On appelle C(A, B) l’ensemble des morphismes de source A et de but B. Définition 1.3.5. Soit C une catégorie. Un morphisme f : X → Y dans C est dit : 1. monomorphisme si pour tout Z ∈ ObC et pour tout couple (g, h) ∈ C(Z, X) × C(Z, X) la relation f ◦ g = f ◦ h implique g = h 2. épimorphisme si pour tout Z ∈ ObC et pour tout couple (g, h) ∈ C(Y, Z)× C(Y, Z) la relation g ◦ f = h ◦ f implique g = h. 1.3.2 Suites exactes Définition 1.3.6. Soit R un anneau . Une suite exacte de R-modules est un diagramme : M0 f1 −−−→ M1 f2 −−−→ M2 −−−→ ….. −−−→ Mn−1 fn −−−→ Mn o`u pour tout i ∈ {2, …., n} Kerfi = Imfi−1 En particulier on a fi ◦ fi−1 = 0 pour tout i ∈ {2, .., n}. On appelle suite exacte courte toute suite de la forme : 0 → N → M → P → 0. Lemme 1.3.1. Soit R un anneau et considérons une suite exacte courte de R-modules 0 −−−→ N i −−−→ M p −−−→ P −−−→ 0 alors les propriétés sont `equivalentes 1. il existe q : P → M telque p ◦ q = IdP 2. il existe j : M → N telque j ◦ i = IdN 3. i(N) est un supplémentaire dans M Définition 1.3.7. Une suite exacte courte qui vérifie les conditions du lemme précédent est dite scindée Preuve :Voir[2] 15 1.3.3 Kernel et Cokernel Définition 1.3.8. Soit C une catégorie et f : A → B un morphisme de C. 1. Un morphisme i : K → A est appelé Kernel de f et est noté Kef si f ◦ i = 0 et pour tout morphisme g : D → A avec f ◦ g = 0, il existe un unique morphisme h : D → K telque i ◦ h = g. 2. Un morphisme p : B → C est appelé Cokernel de f et est noté Cokef si p ◦ f = 0 et pour tout morphisme g B → D avec g ◦ f = 0, il existe un unique morphisme h C → D telque h ◦ p = g Remarque 1.3.2. Pour des morphismes pris arbitrairement dans une catégorie , Kernels et Cokernels peuvent ne pas exister. Lemme 1.3.2 (Lemme du kernel et cokernel). Considérons le diagramme commutatif avec les lignes exactes et les colonnes dans R − Mod Keϕ1 Keϕ2 Keϕ3   y i1   y i2   y i3 M1 f1 −−−→ M2 f1 −−−→ M3   y ϕ1   y ϕ2   y ϕ3 N1 g1 −−−→ N2 g2 −−−→ N3   y p1   y p2   y p3 CoKeϕ1 CoKeϕ2 CoKeϕ3 alors ces morphismes sont uniquement déterminés Keϕ1 α1 −−−→ Keϕ2 α2 −−−→ Keϕ3 CoKeϕ1 β1 −−−→ CoKeϕ2 β2 −−−→ CoKeϕ3 et rendent le diagramme ci-dessus commutatif et si 1. Si g1 est un monomorphisme, alors la premiére ligne est exacte 2. Si f1 est un monomorphisme, alors α1 est aussi un monomorphisme 3. Si g2 est un épimorphisme, alors la derniére ligne est exacte. 4. Si g2 est un épimorphisme, alors β2 est aussi un épimorphisme. Preuve :Voir [9] 16 1.3.4 Pullback et Pushout Définition 1.3.9. 1. Soient f1 : M1 → M, f2 : M2 → M deux morphismes de R-modules, le diagramme commutatif de R − Mod P p2 −−−→ M2   y p1   yf2 M1 f1 −−−→ M est appelé pullback du paire (f1, f2) si pour toute paire de morphismes g1 : X → M1, g2 X → M2 avec f1 ◦ g1 = f2 ◦ g2 il existe un unique morphisme g : X → P telque p1 ◦ g = g1 et p2 ◦ g = g2. Remarque 1.3.3. Pour toute paire le pullback existe `a un isomorphisme pr`es. 2. Soient g1 : N → N1, g2 : N → N2 deux morphismes de R − Mod, le diagramme commutatif de R − Mod N g2 −−−→ N2   y g1   y q2 N1 q1 −−−→ Q est appelé pushout du paire (g1, g2) si pour toute paire de morphisme h1 : N1 → Y , h2 : N2 → Y avec h1 ◦ g1 = h2 ◦ g2 il existe un unique un morphisme h : Q → Y telque h ◦ q1 = h1 et h ◦ q2 = h2 En plus Q est unique ´a un isomorphisme pr`es. Proposition 1.3.1. Considérons le diagramme commutatif de R−Mod suivant N f2 −−−→ N2 QU :   yf1   y g2 N1 g1 −−−→ Q 1. Si QU est pushout alors i) Nous avons le diagramme commutatif avec les lignes exactes. 17 N f2 −−−→ N2 −−−→ C −−−→ 0   yf1 g2   y N1 g1 −−−→ Q −−−→ C −−−→ 0 ii) Si f2 est un monomorphisme, alors g1 l’est aussi. iii) Si f2 est épimorphisme, alors g1 l’est aussi. 2. Si f2 est un épimorphisme, alors pour le diagramme commutatif avec la ligne supérieure exacte 0 −−−→ K i −−−→ N f2 −−−→ N2 −−−→ 0   yf1   y g2 K f1◦i −−−→ N1 g1 −−−→ Q −−−→ 0 nous avons QU est pushout si et seulement si la ligne inférieure est exacte. Si f1 est un monomorphisme, alors f1 ◦i est aussi un monomorphisme. Preuve :Voir[9] 1.4 Générateurs et trace 1.4.1 Générateurs Définition 1.4.1. Soit U une classe de R-modules. Un R-module M est dit généré (resp finiment généré) par U s’il existe un ensemble (resp un ensemble fini) d’indices Λ et une famille (Uα)α∈Λ d’éléments de U et un épimorphisme ϕ : L α∈Λ Uα → M. On note Gen(U) (resp F Gen(U)) la classe des R-modules générés (resp finiment générés) par U Remarque 1.4.1. Si U = {U} on dit que U génére (resp finiment génére) M s’il existe un ensemble (resp ensemble fini) d’indices Λ et un épimorphisme ϕ : U (Λ) → M. M est aussi dit U-engendré (resp finiment U-engendré) Proposition 1.4.1. Soit U une classe de R-modules. 18 1. Si M est un R-module dans Gen(U) (resp dans F Gen(U)) alors toute image `epimorphe de M est dans Gen(U) (resp F Gen(U)) 2. Si (Mα)α∈Λ est une famille (resp famille finie) de (Gen(U) (resp F Gen(U)) alors L α∈Λ Mα est dans Gen(U) (resp F Gen(U)) Preuve : 1. Soit M ∈ Gen(U), alors il existe un épimorphisme ϕ : L α∈Λ Uα → M. Soit g : M → M0 un épimorphisme, alors la composition g ◦ ϕ : L α∈Λ Uα → M0 est aussi un épimorphisme. Par suite M0 ∈ Gen(U) (resp M0 ∈ F Gen(U) si Λ est fini) 2. Pour tout α ∈ Λ, il existe un épimorphisme fα : L βα∈Λα Uβα → Mα car Mα ∈ Gen(U) Soit f = L α∈Λ fα : L α∈Λ ( L βα∈Λα Uβα ) → L α∈Λ Mα avec S Λα = Λ. Posons C = U α∈Λ Λα, avec U L signifie union disjoint, alors α∈Λ ( L βα∈Λα Uβα ) ‘ L α∈C Uα Par suite f : L α∈C → L L α∈Λ Mα est un épimorphisme, d’o´u Mα ∈ Gen(U) (resp M0 ∈ F Gen(U) si Λ est fini) Remarque 1.4.2. La proposition ci-dessus montre que la classe des Rmodules générés (resp finiment générés) pour U est fermée pour l’isomorphisme, le quotient et la somme directe (somme directe finie) Proposition 1.4.2. Soient M et N deux R-modules.Si N ∈ Gen(M) alors Gen(N) est contenue dans Gen(M) Preuve : Soit N0 ∈ Gen(N) alors il existe un ensemble Λ et un épimorphisme g : N(Λ) → N0 .Comme N ∈ Gen(M), il existe un ensemble Γ et un épimorphisme ϕ : M(Γ) → N. Alors il existe un unique homomorphisme f : (M(Γ)) (Λ) → N(Λ) qui rend commutatif le diagramme suivant : M(Γ) ϕ −−−→ N   yj 0   y j (M(Γ)) (Λ) f −−−→ N(Λ) f étant un épimorphisme on en déduit que g ◦ f est un épimorphisme.Par suite N0 ∈ Gen(M).  19 1.4.2 Trace Définition 1.4.2. Soit U une classe de R-modules. Pour un R-module L, le sous module : T r(U, L) = P{Imh/h ∈ Hom(U, L), U ∈ U} ⊂ L est appelé la trace de U dans L. Proposition 1.4.3. Soit U une classe de R-modules et L un R-module 1. T r(U, L) est l’unique plus grand sous module de L généré par U. 2. L = T r(U, L) si et seulement si L est U-généré. Preuve :Voir[9]