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MODULES
Introduction
A et B étant deux anneaux, on désignera par AM (resp. MB) la catégorie des A – modules à gauche (resp. des B – modules à droite). La notation X ∈ AM (resp. Y ∈ MB) signifie que X (resp. Y) est un
A – (resp.
B – module à gauche (resp. à droite).
R étant un anneau et R* l’anneau opposé à R. Tout R – module à droite X devient un R* – module à gauche via r*x = xr (r ∈ R, x ∈ X). Cette remarque permet de ramener l’étude des R – modules à droite à celle des
R – modules à gauche.
Ceci étant, dans ce chapitre nous allons nous restreindre à la catégorie AM des A – modules à gauche tout en sachant que des résultats que nous obtiendrons pour les notions abordées uniquement dans cette catégorie s’obtiennent de manière similaire pour les mêmes notions si elles étaient envisagées dans la catégorie MB).
MORPHISMES DE MODULES
Définition
Soient X, X’ ∈ AM. On dit qu’une application
f : X > X’ est A – linéaire (ou est un A – homomorphisme) si pour tous x’ x’ ∈ X et pour tous a, a’ ∈ A on a :
f(ax + a’x’) = a f(x) + a’ f(x’) (ou si f opère à droite) (ax + a’x’)f = a(x)f + a’(x’)f. Proposition 2.1.2
Soient X, Y ∈ AM. Pour tout f ∈ HomA (X, Y), les conditions suivantes sont équivalentes
a) f est injectif
b) Ker f = 0
c) f est un monomorphisme
d) ∀Z ∈ AM, ∀g ∈ HomA (Z, X), fg = 0 ⇒ g = 0.
Proposition 2.1.3
Soient X, Y ∈ AM. Pour tout f ∈ HomA (X, Y), les conditions suivantes
sont équivalentes :
a) f est surjectif
b) Im f = Y
c) f est un épimorphisme
d) ∀Z ∈ AM, ∀g HomA (Y, Z), gf = 0 ⇒ g = 0.
Proposition 2.1.4
Pour tout f ∈ HomA (X, Y), les conditions suivantes sont équivalentes
a) f est un isomorphisme
b) f est injectif et surjectif.
roposition
Soient X, Y, Z ∈ AM, f ∈ HomA (X, Y) et g HomA (X, Z). Si g est surjectif et Ker g ⊆ Ker f alors il existe un élément unique h de HomA (Z, Y) tel que hg = f.
Preuve : Existence
G est surjectif donc pour tout z ∈ Z il existe x ∈ X tel que g(x) = z et si x’ ∈ X est tel que g(x’) = z, alors g(x – x’) = 0 et donc x – x’ ∈ Ker g ⊂ Ker f i.e f(x) = f(x’). Soit alors h l’application de Z dans Y qui à tout z ∈ Z associe f(x) où x ∈ X est tel que g(x) = z. On a bien hg = f. Il est clair que h est A – linéaire.
Unicité
Soit h’ ∈ HomA (Z, Y) tel que h’g = f.
On a alors h’g = f = hg et comme g est surjectif alors, proposition 2.1.3. c), h’ = h.
Définition
Une suite X’ > X > X’’ de AM est dite exacte si Im f = Ker g.
Remarque
f g L’exactitude des suites 0 > X’ > X et X > X’’ > 0 de AM signifie que f est injectif et que g est surjectif.
Proposition
Soit f g
X’ X X’’ α
β
γ
Y’ Y Y’’ Un diagramme commutatif à lignes exactes de AM. Si β est surjectif et si f’ et γ sont injectifs alors α est surjectif.
Preuve
Soit y’ ∈ Y’.
Comme β est surjectif, alors il existe x ∈ X tel que β(x) = f’(y’). (*)
De la commutativité du diagramme et de l’exactitude de la deuxième ligne, il
vient : γg(x) = g’β(x) = g’f’(y’) = 0. Mais γ est injectif, donc g(x) = 0 i.e.
x ∈ Ker g = Imf (exactitude de la première ligne).
Donc il existe x’ ∈ X’ tel que f(x’) = x et de la commutativité du diagramme et
de l’égalité (*) il vient f’α(x’) = βf(x’) = β(x) = f’(y’).
Et comme f’ est injectif alors α(x’) = y’.
D’où α est surjectif
PRODUIT DIRECT ET SOMME DIRECTE
Définition
Soit (Xi)i∈I une famille d’objets de AM. Le produit cartésien ∏ Xi de i ∈I
cette famille muni de la structure de A – module à gauche est appelé produit direct de (Xi)i∈I .
Notation Si pour tout i ∈ I, Xi = X , on écrit ∏ Xi = X’. i ∈I
Proposition Les applications πi : ∏ Xi > Xj et tj : Xj > ∏ Xi , j ∈ I.
i ∈I i ∈I (xi)i∈I ⊦ >xj xj ⊦ > (yi)i∈I
tel que yj = xj et yi = 0 si i ≠ j sont des A – homomorphismes vérifiant π j tj (xj) = xj.
Preuve Cela découle directement de la définition de la structure de A – module de ∏ Xi . i ∈I
Proposition
Soient (Xi)i∈I une famille d’objets de AM, X ∈ AM et pour tout i ∈ I
fi : X > Xi un A – homomorphisme.
Table des matières
INTRODUCTION
CHAPITRE I : CATEGORIE et FONCTEURS
1 .1. Notion de catégorie
1.2. Morphismes particuliers
1.3. Foncteurs
1.4. Morphismes fonctoriels
CHAPITRE II : MODULES
2.1 Morphismes de Modules
2.2 Produit direct et somme directe
2.3 Modules générateurs, modules cogénérateurs
2.4 Modules simples
2.5 Modules injectifs
CHAPITRE III : DUALITE AU SENS DE MORITA
3.1. Bimodules fidèlement équilibrés
3.2. Modules réflexifs
3.3. Définition et Caractérisation de la dualité au sens de Morita
BIBLIOGRAPHIE
