Calcul de Malliavin

Calcul de Malliavin

Introduction au calcul de Malliavin

En dimension finie, le calcul différentiel usuel traduit la dépendance d’une fonction par rapportaux coordonnées d’un vecteur de Rd. Le calcul de Malliavin est un calcul différentiel mais sur unespace de dimension infinie, l’espace de Wiener C([0, 1], Rd). Sur cet espace, une trajectoire du Brownien peut-être comprise comme la fonction continue la plus générale qui soit. Les trajectoiresdu Brownien sont les pendants des vecteurs en dimension infinie : l’opérateur de différentiation, ou derivée de Malliavin D, traduit la dépendance d’une variable aléatoire par rapport aux accroisements d’une trajectoire du Brownien. Nous nous limiterons aux outils nécessaires à la compréhension de ce mémoire.

l’opérateur In peut-être éténdue en une application linéaire continue de L2([0, T ]n) dans L2(Ω) et les propriétés énconcées ci-dessus sont également vérifiées pour cette extension. Notons que In peut aussi s’écrire comme une intégrale stochastique itérée dans laquelle les intégrales s’éntendent au sens d’Ito :Le produit de deux intégrales stochastiques multiples peut s’écrire comme une somme finie d’in- tégrales stochastiques multiples. En effet, si f ∈ L2([0, T ]n) et g ∈ L2([0, T ]m) sont des fonctions.

constante diélectrique pour des énergies inférieures à 3 eV où le matériau est transparent. Entre 3 et 3,6 eV on a la zone d’absorption représentée par un pic à 3,3 eV de la partie réelle et un pic à 3,4 eV de la partie imaginaire. Pour de des énergies supérieures à 3,4 eV les deux parties réelle et imaginaire diminuent et tendent vers une constante. On note que sur toute la gamme d’énergie une prépondérance de la partie réelle sur la partie imaginaire de la constante diélectrique ce qui signifie que les pertes sont négligeables. Par ailleurs, sur toute la gamme d’énergies utilisées la contribution des transitions au niveau du gap à la fonction diélectrique est très importante.

Sur cette figure, on observe une zone de transparence dans la gamme des énergies inférieures à 3,1 eV où les parties réelle et imaginaire de la constante diélectrique augmentent faiblement et une prédominance de la partie réelle expliquant les fables dans le matériau. La zone d’absorption est marquée par le pic à 3,4 eV de la partie imaginaire. Après l’absorption le matériau redevient transparent avec une diminution des parties réelle et imaginaire accompagnée par des pertes considérables dans le matériau. La contribution des interactions des excitons à la fonction diélectrique est peu importante dans la gamme d’énergies inférieures au seuil d’absorption et faible vers les énergies supérieures au seuil. La contribution des excitons du continuum à la fonction diélectrique est données par la relation (II-32).

Sur cette figure, la partie réelle de la fonction diélectrique prédomine dans la zone de transparence des énergies inférieures au seuil d’absorption mais cette prédominance est pour la partie imaginaire dans la zone de transparence des énergies supérieures au gap. Cette alternance s’explique par le fait que les pertes dans le matériau n’apparaissent qu’après l’absorption du matériau. Toutefois, on peut dire que la contribution des excitons du continuum est peu importante sur toute l’étendue de la gamme d’énergies utilisée. Les parties réelle et imaginaire de la fonction diélectrique de la somme des contributions ɛ 0, ɛ 0xc et ɛ 0x sont illustrées sur la figure ci-dessous.

La figure III- 5 illustre la variation de l’indice de réfraction en fonction de l’énergie. Elle montre que l’indice de réfraction n’existe qu’à partir de la gamme des énergies supérieures à 1,6 eV. On note une faible augmentation de cet indice de 1,7 à 2,4 eV. Cette variation laisse apparaître un pic aux environ de 3,4 eV correspondant au gap de l’oxyde de zinc. Pour des énergies supérieures au gap, l’indice de réfraction diminue faiblement. Sur toute la largeur de la gamme d’énergies utilisée l’indice de réfraction de l’oxyde zinc est compris entre 1,8 et 2,2. Le coefficient d’extinction de l’oxyde de zinc est donné par la relation ci-dessous :