Nouvelle classe d’expériences d’astrophysique de laboratoire

Nouvelle classe d’expériences d’astrophysique de
laboratoire

 Les ondes radiatives supersoniques

Une première description théorique

Le transport d’un rayonnement intense à travers un milieu optiquement épais (𝜏 ≫ 1) donne lieu à la naissance et à la propagation d’ondes radiatives en son sein [Marshak, 1958]. Ces ondes radiatives sont caractérisées par l’apparition d’un front radiatif, limite entre la partie du système chauffée et celle non impactée par le rayonnement. Dans le cas où le rayonnement de la source est assez intense pour que la vitesse de ce front radiatif (notée 𝑣 𝑓 ) soit très supérieure à la vitesse des perturbations acoustiques se propageant depuis cette source de rayonnement, l’onde radiative se propage au sein du milieu de manière supersonique. Dans ce cas, on peut négliger la réponse hydrodynamique de la matière (|®𝑣| ∼ 0). Dans cette limite, on considère que l’évolution du système est quasi-statique, de densité constante. Des proőls spatiaux de température typiques de ces ondes radiatives sont présentés en Figure 15. En termes de régimes physiques, l’hypothèse supersonique est caractérisée par le fait que le nombre de Boltzmann tend vers une valeur faible devant l’unité, puisque le transport radiatif devient l’unique mécanisme de transport d’énergie au sein du système. Le nombre de Mihalas peut, quant à lui, prendre des valeurs supérieures ou inférieures à l’unité selon les conditions thermodynamiques du système et l’intensité de la source de rayonnement. Dans ce régime supersonique, le système d’équations de l’hydrodynamique radiative (2.10- 2.12) se réduit à une équation de transport pour l’énergie totale du système prenant la forme [Mihalas et Mihalas, 2013] : 𝜕 𝜕𝑡 (𝜌𝑒 + E𝑟 𝑎𝑑) = −∇® .F® 𝑟 𝑎𝑑 (2.17) Dans les systèmes optiquement épais que l’on considère, les photons interagissent un grand nombre de fois avec le plasma sur les distances caractéristiques étudiées. Ainsi, un régime diffusif est rapidement atteint, et il devient alors possible de se placer dans le cadre de l’hypothèse dite de limite diffusion [Castor, 2004; Mihalas et Mihalas, 2013]. Dans ce cas, nous disposons d’une expression analytique pour le ŕux  ś À gauche, proőls spatiaux adimensionnés de température typiques d’une onde radiative supersonique pour trois temps 𝑡1 < 𝑡2 < 𝑡3. À droite, représentation de la position du front radiatif en fonction du temps, évoluant en √ 𝑡 pour une température source constante. radiatif, donnée par : F® 𝑟 𝑎𝑑 = −𝜅𝑟 𝑎𝑑∇®𝑇, avec 𝜅𝑟 𝑎𝑑 = 4𝑎𝑅𝑐 3 𝜆𝑅𝑇 3 (2.18) où 𝜆𝑅 est le libre parcours moyen Rosseland et 𝜅𝑟 𝑎𝑑 (𝑇) est la conduction radiative. On constate que le ŕux radiatif tend bien à propager l’énergie des zones dont les densités d’énergie radiative sont les plus intenses aux zones les moins touchées par le rayonnement. Plus le libre parcours moyen des photons est faible (régime de plus en plus optiquement épais), et plus le gradient d’énergie radiative doit être important (grande différence d’amplitude énergétique ou faible extension spatiale) pour que le ŕux radiatif puisse jouer un rôle majeur dans le transport d’énergie du système. Dans la suite de ce manuscrit, nous considérons que les interactions entre photons incidents et milieu de propagation sont suffisantes pour permettre la mise en place de l’ETL entre le rayonnement et la matière. Dans ce cas, on rappelle que les température du rayonnement et de la matière sont les mêmes. Sous ces hypothèses, et en insérant la déőnition (2.18) dans l’équation de transport (2.17), nous obtenons l’équation décrivant l’évolution des ondes radiatives en régime optiquement épais pour un milieu à l’ETL : 𝜕 𝜕𝑡  𝜌𝑒 + 𝑎𝑅𝑇 4  = 4𝑎𝑅𝑐 3 𝜕 𝜕𝑥  𝜆𝑅𝑇 3 𝜕𝑇 𝜕𝑥  (2.19) qui sera le modèle principal étudié dans le reste de ce manuscrit. Notons que cette relation constitue une équation différentielle sur la variable 𝑇. Les premiers travaux sur cette équation dans le cadre de l’étude de la propagation des ondes radiatives au sein d’un milieu statique sont attribués à Marshak [1958]. Des solutions particulières de cette équation sont communément développées dans le cas d’une alimentation par une température constante [Mihalas et Mihalas, 2013] ou par une température de type distribution de Dirac [Zel’Dovich et Raizer, 2002; Mihalas 40 2.3. Les ondes radiatives supersoniques et Mihalas, 2013]. Ces ondes de Marshak ont également connu un grand nombre de développements théoriques, dans le but, pour la plupart, d’obtenir des solutions auto-semblables de leur évolution [Barrero et Sanmartin, 1977; Sanmartin et Barrero, 1978] et de leur transition au régime subsonique [Garnier et al., 2006; Malka et Heizler, 2022]. Hammer et Rosen [2003] ont également développé une théorie perturbative permettant d’obtenir des solutions approchées de l’équation pour des équations d’état et lois d’opacité prenant la forme suivante : 𝑒 = 𝑓 𝑇 𝛽 𝜌 −𝜇 , 1 𝜅𝑅 = 𝑔𝑇 𝛼 𝜌 −𝜆 (2.20) où 𝑓 , 𝑔, 𝛽, 𝜇, 𝛼, 𝜆 sont des paramètres constants. Dans ce cas la pente de l’onde radiative est caractérisée par le coefficient 𝜖 = 𝛽/(4 + 𝛼). Un calcul perturbatif en fonction de ce paramètre permet de déterminer une solution analytique pour la position du front radiatif sous la forme suivante : 𝑥 𝑓 (𝑡) = √︄ 2 + 𝜖 1 − 𝜖 4𝑎𝑅𝑐 3 (4 + 𝛼) 𝑔 𝑓 𝜌2−𝜇+𝜆 𝑇𝑆 (𝑡) −𝛽 ∫ 𝑇𝑆 (𝑡) 4+𝛼𝑑𝑡 (2.21) qui découle de l’équation (2.19) et où 𝑇𝑆 (𝑡) est la température source du rayonnement. Notons que dans le cas d’une température source 𝑇𝑆 constante, on retrouve un résultat typique des phénomènes de diffusion : 𝑥 𝑓 ∝ √ 𝑡 comme on peut le voir sur la Figure 15. Enőn, des modèles plus complets prenant en compte d’éventuels effets d’albedo aux conditions de bord ont récemment été développés [Hurricane et Hammer, 2006; Cohen et al., 2020

Les limites du régime supersonique

Dans cette section, nous allons décrire quels phénomènes peuvent venir perturber la propagation supersonique d’ondes radiatives au sein d’un système. 

La séparation hydrodynamique

Le régime supersonique ne peut être maintenu indéőniment. Cela est principalement dû au ralentissement du front radiatif, que nous pouvons, par exemple, intuiter dans le cas d’une température source constante : 𝑣 𝑓 ∝ 1/ √ 𝑡. Cela conduit inévitablement à une transition vers un régime subsonique [Garnier et al., 2006; Shussman et Heizler, 2015], dans lequel l’hydrodynamique du système n’est plus négligeable. Cette transition s’effectue de manière progressive, et on parle, lorsqu’elle est atteinte, de séparation hydrodynamique. Ce phénomène provient de l’accumulation de perturbations acoustiques nées du chauffage intense du système à son extrémité. Cela se traduit par la propagation d’ondes de pression se déplaçant à la vitesse du son notée 𝑐𝑠 = √︁ (𝜕𝑃/𝜕 𝜌)𝑆 , avec 𝑆 l’entropie du système. Initialement, la vitesse des perturbations acoustiques est plus faible que celle correspondant au front radiatif (notée 𝑣 𝑓 ), permettant de négliger la réponse hydrodynamique du système. Lorsque l’apport en énergie du sursaut X ne permet plus de maintenir une vitesse suffisante de front radiatif 𝑣 𝑓 > 𝑐𝑠, les perturbations acoustiques commencent à rattraper le front radiatif, et à s’accumuler proche de celui-ci. Lorsque la vitesse du front diminue trop fortement, jusqu’à atteindre 𝑣 𝑓 = 𝑐𝑠, l’accumulation de perturbations devient trop impor41 Chapitre 2 La propagation d’ondes radiatives en astrophysique : Modélisation de l’interaction sursaut X de type I – Disque d’accrétion tante, et un choc se forme alors en aval du front radiatif. Cet instant correspond au temps de séparation hydrodynamique, noté 𝑡𝑠𝑒 𝑝. Une transition apparaît alors durant laquelle, dans le cas classique où le front radiatif continue de décélérer, le front de choc se propage devant le front radiatif modiőant profondément la dynamique du système. Des proőls spatiaux de densité et température typiques d’ondes radiatives subsoniques sont présentés en Figure 16. On peut en particulier les comparer aux proőls typiques dans le cas du régime supersonique (voir la Figure 15), aőn de constater les modiőcations induites par la séparation hydrodynamique. xf(t1) xf(t2) ≈ xc xf(t3) < xc T/Tmax / ρ ρ 0 x/L Figure 16 ś Proőls spatiaux adimensionnés de température (en traits pleins) et densité (en pointillés) typiques d’ondes radiatives présentant une séparation hydrodynamique pour des temps 𝑡1 < 𝑡2 < 𝑡3. Un plateau de température s’installe sur la distance séparant le front radiatif 𝑥 𝑓 et le front de choc 𝑥𝑐. Il est possible de donner une estimation théorique de ce temps de séparation hydrodynamique en fonction des propriétés thermodynamiques du plasma et de la température de la source 𝑇𝑆. Le temps de séparation hydrodynamique correspond ainsi au moment où la vitesse du front radiatif atteint la valeur de  la vitesse du son au niveau de la source de rayonnement à la température 𝑇𝑆. Nous pouvons écrire cette contrainte en fonction d’un nombre sans dimension que l’on nomme le nombre de Mach radiatif (noté Ma), déőni comme le rapport entre les vitesses du front radiatif et celle du son au niveau de la source de rayonnement. Le critère de séparation hydrodynamique s’écrit alors : Ma = 𝑣 𝑓 (𝑡𝑠𝑒 𝑝) 𝑐𝑠 (𝑇𝑆) = 1 (2.22) La connaissance du paramètre 𝑡𝑠𝑒 𝑝 requiert donc celle de la vitesse de l’onde radiative, qui, même si elle n’est pas connue exactement, peut être approchée dans certains cas [Hammer et Rosen, 2003], et en particulier de manière simple dans le cas d’une température source constante. On considère une source de rayonnement à température constante, irradiant un milieu de densité d’énergie interne 𝜌𝑒 et de loi d’opacité 𝜅𝑅 = 1 𝜆𝑅𝜌 . Dans le cas où la densité d’énergie radiative est négligeable, on peut approcher le ŕux d’énergie arrivant au niveau du front radiatif sur un intervalle de temps 𝛿𝑡 par la formule suivante : 𝜌𝑒(𝑇𝑠) 𝛿𝑡 ≃ 4𝑎𝑅𝑐 3 𝜆𝑅(𝑇𝑠)𝑇 4 𝑆 𝑥 2 𝑓 (2.23) où 𝑇𝑆 est la température de la source considérée constante. Dans ce cas, il est possible d’obtenir une équation approchée d’évolution du front radiatif en fonction des caractéristiques du matériau calculées au niveau de la condition aux limites, ici à la température 𝑇𝑆. En considérant qu’à l’instant initial le front radiatif ne s’est pas encore formé, on obtient : 𝑥 𝑓 (𝑡) ≃ √︄ 4𝑎𝑅𝑐 3 𝜆𝑅𝑇 4 𝑆 𝜌𝑒 √ 𝑡 (2.24) Le calcul de la vitesse 𝑣 𝑓 (𝑡) associée est alors immédiat, et permet d’obtenir la relation suivante : 𝑣 𝑓 (𝑡) = 𝑑𝑥 𝑓 (𝑡) 𝑑𝑡 ≃ √︄ 𝑎𝑅𝑐 3 𝜆𝑅𝑇 4 𝑆 𝜌𝑒 1 √ 𝑡 (2.25) En considérant que 𝑀𝑎 = 1 à la séparation hydrodynamique, on peut donc obtenir 𝑡𝑠𝑒 𝑝 pour des régimes peu radiatifs R ≫ 1 donné par : 𝑡𝑠𝑒 𝑝 [𝑠] ≃ 𝑎𝑅𝑐 3 𝜆𝑅𝑇 4 𝑆 𝜌𝑒𝑐2 𝑠 = 1.26 ×  𝜆𝑅 103 cm  𝑇𝑆 1 keV4  𝜌𝑒 1012 erg.cm−3  −1  𝑐𝑠 107cm.s−1  −2 (2.26) On observe, à partir de cette relation, qu’une forte densité d’énergie interne ou un faible libre parcours moyen des photons conduisent à un ralentissement du front et donc à une séparation hydrodynamique plus précoce. Cette approche peut présenter un intérêt pour suivre l’évolution du temps de séparation théorique dans le cas de températures 𝑇𝑆 (𝑡) dépendant explicitement du temps. Elle permet en effet de vériőer si cette augmentation de température est assez intense, en termes d’amplitude et de durée caractéristique, pour fournir au front radiatif une vitesse suffisante pour tenir à distance le front de  Disque d’accrétion perturbations acoustiques. Dans cette conőguration, l’accumulation de ces perturbations ne se ferait alors jamais de manière suffisante sur les échelles de longueur étudiées pour produire le choc de séparation attendu, comme nous le verrons plus tard dans le chapitre. De manière intuitive, pour deux systèmes identiques, une augmentation de température mène à des régimes de plus en plus radiatifs et à des vitesses d’ondes radiatives de plus en plus élevées. Ainsi, dans le cas de régimes extrêmement radiatifs où 𝑅 ≤ 1, la vitesse du front radiatif ne peut qu’être approchée à l’aide de la relation (2.25).

Gradient de pression et mise en mouvement

Dans des régimes R ≤ 1, une montée en température ou une baisse en densité au niveau de la source de rayonnement peut conduire à l’obtention de pressions radiatives dépassant fortement la pression thermique du milieu. Comme nous l’avons vu précédemment avec l’équation (2.9), la pression radiative varie en 𝑇 4 . Cette quantité est également indépendante de la densité du milieu, ce qui provoque des gradients de pression extrêmement plus importants que dans le cas d’une pression thermique pour un gaz parfait par exemple, variant en 𝜌𝑇. Ainsi, l’apparition de forts gradients de pression provoque irrémédiablement une compression du milieu à partir d’un temps noté 𝑡𝑐𝑜𝑚𝑝. La température du plasma augmentant (et sa densité chutant) au niveau de la source de rayonnement, cela provoque de plus un emballement du phénomène de compression. Cet instant correspond plus ou moins au moment où la pression radiative commence à dominer nettement la pression thermique au niveau de la source de rayonnement. En utilisant la relation (2.14), nous estimons que cet instant correspond à l’obtention de nombres de Mihalas 𝑅 ≤ 10−1 . Une illustration de ce phénomène sera présentée dans la suite du chapitre, au paragraphe 

Étude paramétrique des régimes physiques d’onde radiative

L’échelle temporelle d’existence du régime supersonique dépend donc directement des conditions thermodynamiques du système, telle que sa densité 𝜌0, et de l’intensité de la source de rayonnement l’irradiant. Il existe une grande variabilité de régimes physiques due à la variation des conditions thermodynamiques (𝜌0, 𝑇0) du disque d’accrétion qui sont ici comprises dans les intervalles de valeur donnés par (2.7). Ainsi, nous pouvons estimer théoriquement pour quels systèmes décrivant l’interaction d’un sursaut X de type I avec un disque d’accrétion, des ondes radiatives supersoniques peuvent se propager.

La conduction radiative comme phénomène principal

Rappelons tout d’abord que nous nous sommes placés dans le cadre de la théorie des disques 𝛼 pour donner des ordres de grandeur des conditions thermodynamiques de leurs régions internes. Il est donc primordial de vériőer que le transport d’énergie par rayonnement est plus important que la dissipation de cette énergie par effets visqueux présente dans ces disques. Pour cela, nous cherchons à comparer les échelles de temps caractéristique de ces deux phénomènes. Une onde radiative en régime supersonique se propage sur des temps caractéristiques 𝑡 𝑓 𝑟𝑜𝑛𝑡, obtenu en inversant la relation (2.24).