Principe du modèle à fibre pour l’élément Timoshenko

Applications aux calculs de structures en béton

Les modèles « classiques » E.F. sont des outils puissants pour la simulation du comportement non linéaire des parties complexes des structures (joints, assemblages, …), leur application à la totalité d’une structure peut s’avérer peu pratique à cause d’un temps de calcul prohibitif ou de la taille mémoire nécessaire à la réalisation de ce calcul. Par contre, une modélisation de type poutre multifibre (voir Figure 4.1), possède les avantages des hypothèses simplificatrices d’une cinématique de type poutre d’Euler Bernouli ou Timoschenko tout en offrant une solution pratique et efficace pour une analyse non linéaire complexe d’éléments de structures composites tels que ceux que l’on peut rencontrer par exemple en béton armé. De plus, cette modélisation « intermédiaire » est relativement robuste et peu coûteuse en temps de calcul du fait de l’utilisation de modèles de comportement non linéaires 1D .

Modèle à fibre dans CAST3M 

Le modèle à fibre de CAST3M a été développé initialement pour la modélisation des piles de ponts il y a plus de dix ans, ensuite utilisé pour l’analyse de maquettes testés sur table vibrante et mur de réaction puis plus récemment pour l’analyse du comportement sismique et dynamique de structures réelles.Comme les autres modèles multicouches et multifibres, il s’appuie sur des éléments finis de poutre supposant à priori un mode de fonctionnement : les sections planes restent planes. L’effort normal et les moments fléchissant sont calculés par intégration des contraintes sur la section. Des lois de comportement uniaxiales en traction-compression reproduisent le comportement de chaque matériau – béton, acier…. Les paramètres du modèle sont donc les caractéristiques des matériaux et la géométrie de la section. Il faut noter qu’en raison de ces hypothèses, ces modèles tiennent compte implicitement de l’interaction M-N : augmentation du moment capable (pour de faibles valeurs initiales d’effort normal) et diminution de la ductilité de la section lorsque l’effort normal augmente, variation de l’effort normal due au mouvement vertical des masses induits par la fissuration des voiles en béton armé…

Contrairement à la majorité des autres modèles de cette famille, le modèle à fibre de CAST3M est basé sur un élément de poutre de Timoshenko tenant compte des déformations de cisaillement. La présence de déformation de cisaillement permet de borner –comme dans la réalité- la célérité des ondes de flexion par la célérité des ondes de cisaillement. Pour les éléments de poutre de Bernoulli (absence de déformation de cisaillement), la célérité des ondes de flexion devient quasi-infinie à hautes fréquences. La cinématique de Timoshenko permet aussi de vérifier les modes de rupture fragiles des poteaux et des nœuds d’ossature des bâtiments existants en adoptant des lois de comportement non linéaires globales pour le cisaillement décrit par Combescure et al. De plus, une loi spécifique aux mécanismes de ruptures des ancrages et des recouvrements a été introduite pour la réévaluation sismique des bâtiments existants. La validation et l’amélioration de ces lois globales ou semi-globales se poursuivent dans le cadre de programme de recherche combinant modélisation, méthodologie et expérience.

Principe du modèle à fibre pour l’élément Timoshenko

Sur CAST3M, la poutre Timoshenko est adaptée pour faire une modélisation multifibre. Le modèle à fibre permet de calculer la loi de comportement de l’élément de poutre de Timoshenko i.e. la relation entre déformation axiale, courbure, déformation de cisaillement et les contraintes généralisées associées (N, M et T) à partir d’une description géométrique de la section basée sur les éléments bidimensionnels TRIS et QUAS et de lois de comportement uniaxiales pour chaque matériau (béton, acier, …) (Figure 4.2). Il faut noter que la loi de comportement est intégrée en un seul point pour l’élément POJS et l’élément triangulaire à 3 nœuds TRIS, sur 2 points pour l’élément à 2 points SEGS et sur 4 points pour l’élément à 4 nœuds QUAS. Les positions de ces points d’intégration sont données (Figure 4.3) pour les éléments SEGS et QUAS, la solution est donc exacte pour une section rectangulaire en élasticité avec un seul élément. la partie inferieure de la poutre presque de la même manière (figure 4.26, 4.31, 4.27, 4.32), mais à partir du temps t3 égale à 5e-3 s les ouvertures des fissures deviennent relativement plus importantes dans le cas dynamique par rapport aux cas statique.