Etude de certains problèmes inverses paraboliques d’ordre fractionnaire en temps

Etude de certains problèmes inverses paraboliques d’ordre fractionnaire en temps

 Calcul fractionnaire

Les mathématiques sont l’art de donner des choses trompantes des noms. La belle est mystérieuse appellation (à première vue) ”le calcul fractionnaire” est juste un de ces termes mal appropriés qui sont l’essence des mathématiques. Par exemple, nous connaissons de telles noms comme les nombres naturels et les nombres réels que  nous utilisons très souvent ; réfléchissons un moment à ces noms. La notion d’un nombre naturel est une abstraction naturelle, mais est-ce que le nombre est lui meme naturel ?. La notion d’un nombre réel est une généralisation de la notion d’un nombre naturel.

Le mot réel accentu qu’on prétend à ce qu’il reflète des quantités réelles. Les nombres réels reflètent des vraies quantités, mais ceci ne peut changer le fait qu’elles n’existent pas. Tout est en ordre dans l’analyse mathématique, et la notion d’ un nombre réel la facilite, mais si on veut calculer quelque chose, on se rend compte immédiatement qu’il n’y a aucune place pour les nombres réels dans le vrai monde ; de nos jours, de calculs sont exécutés la plupart du temps sur les calculateurs numériques, qui peuvent fonctionner seulement avec les ensembles finis de fractions, qui servent à approcher d’irréels nombre réel.

Retournons à l’appellation ”calcul fractionnaire”. Il ne signifie pas le calcul des fractions. Il ne signifie pas non plus une fraction de n’importe quel calcul différentiel, intégral ou calcul de variations. Le calcul fractionnaire est un nom pour la théorie d’intégrales et de dérivées d’ordre arbitraire, qui unifient et généralisent les notions de différentiation d’ordre entier et d’intégration répétés n− fois. Nous allons présenter des outils et des notions de base pour le calcul fractionnaire et qui aideront pour mieux à suivre notre travail, et pour en savoir plus sur le sujet voir..

Fonctions spéciales

On entend par ”fonction spéciale” toute fonction qui n’est pas élémentaire (polynˆome, fonction trigonométrique, exponentielle, etc) ayant une grande importance et plusieurs applications. Dans cette partie on en rappelle quelques unes qu’on aura besoin dans notre travail. Fonction Gamma L’un des outils de base du calcul fractionnaire, est la fonction Gamma qui est une généralisation de la factorielle. Nous présentons ici quelques résultats : Définition 1.8. [37] La fonction Gamma est définie par l’intégrale Γ(z) = Z +∞ 0 e −t t z−1 dt; <(z) > 0, (1.4) ou` t z−1 =: e (z−1)lnt . Settara Loubna 18 ©2019.Univ. Annaba 1.4. CALCUL FRACTIONNAIRE Figure 1.1 – Courbe représentative de la fonction Gamma Lemme 1.3. [37] L’intégrale (1.4) est convergente pour tout z ∈ C avec <(z) > 0. Théorème 1.9. [37] La fonction Gamma satisfait les propriétés suivantes : 1. Pour z ∈ C \ Z − Γ(z + 1) = zΓ(z), en particulier, pour n ∈ N ∗ Γ(n) = (n − 1)!. 2. On peut également représenter Γ(z) par la limite Γ(z) = lim n→+∞ n!n z z(z + 1)….(z + n) , <(z) > 0. La condition <(z) > 0 peut etre étendue à z ∈ C \ Z −. 3. La fonction Γ(z) est analytique dans C \ Z −. Fonction de Mittag-Leffler..

Les fonctions de Mittag-Leffler représentent une généralisation de la fonction exponentielle, et jouent un rˆole important dans la résolution des équations différentielles fractionnaire linéaires à coefficients constants.  Définition 1.9. [37] Pour z ∈ C, la fonction de Mittag-Leffler Eα(z) est définie par : Eα(z) = X∞ k=0 z k Γ(αk + 1); (α > 0), (1.5) et la fonction de Mittag-Leffler généralisée Eα,β(z) par : Eα,β = X∞ k=0 z k Γ(αk + β) ; (α > 0, β > 0). (1.6) Les figures (1.2)-(1.3) ci-dessous montrent, le comportement de la fonction de Mittag-Leffler à un et deux paramètres respectivement pour différentes valeurs de α et β. Figure 1.2 – La fonction de Mittag-Leffler à un paramètre Figure 1.3 – La fonction de Mittag-Leffler à deux paramètres La fonction Mittag-Leffler se réduit à des fonctions simples.

Par exemple ❶ E1(z) = E1,1(z) = X∞ k=0 z k Γ(k + 1) = X∞ k=0 x k k! = e z . ❷ E1,2(z) = X∞ k=0 z k Γ(k + 2) = X∞ k=0 z k (k + 1)! = 1 z X∞ k=0 z k+1 (k + 1)! = 1 z (e z − 1).  ❸ E1,3(z) = X∞ k=0 z k Γ(k + 3) = 1 z 2 X∞ k=0 z k+2 (k + 2)! = 1 z 2 (e z − z − 1). ❹ E2,1(z 2 ) = X∞ k=0 z 2k Γ(2k + 1) = X∞ k=0 z 2k (2k)! = cosh(z). ❺ E1/2,1 (z) = X∞ k=0 z k Γ(k 2 + 1) = e z 2 erfc(−z), ou` erfc(z) est la fonction d’erreur complémentaire : erfc(z) = 2 √ π Z ∞ z e −t 2 dt = 1 − erfc(−z); z ∈ C. Dans le théorème suivant on a regroupé quelques propriétés des fonctions de Mittag-Leffler, qui seront utiles pour notre analyse des équations différentielles fractionnaires. Théorème 1.10. [37] La fonction Mittag-Leffler possède les propriétés suivantes : 1. C’est une fonction entière. 2. Pour |z| < 1 la fonction de Mittag-Leffler généralisée vérifie : Z ∞ 0 e −t t β−1Eα,β(ztα )dt = 1 1 − z . 3. La transformée de Laplace est : Z ∞ 0 e −stt αk+β−1E (k) α,β(±atα )dt = k!s α−β (s α ∓ a) k+1 ; <(s) > |a| 1/α , ou` E (k) α,β(x) = d k dxk Eα,β(x). En particulier pour α = β = 1 2 , Z ∞ 0 e −stt 1 2 (k−1)E k 1 2 , 1 2 (±a √ t)dt = k! ( √ s ∓ a) k+1 ; <(s) > a2 . 4. Dérivation de la fonction de Mittag-Leffler d’ordre n ∈ N : d n dtn (t β−1Eα,β(λtα )) = t β−n−1Eα,β−n(λtα ). 5. Intégration de la fonction de Mittag-Leffler Z z 0 Eα,β(λtα )t β−1 dt = z βEα,β+1(λzα ). Cette relation est un cas particulier de l’égalité 1 Γ(µ) Z z 0 (z − t) µ−1Eα,β(λtα )t β−1 dt = z β+µ−1Eα,β+µ(λzα ); (β > 0, µ > 0).  Corollaire 1.1. [37] Pour 0 < α < 1, t ∈ [0, T]; λ > 0, on a : (1) 0 < Eα,α(−λtα) < ∞ et lim t−→0 Eα,α(−λtα) = 1 Γ(α) . (2) t α−1Eα,α(−λtα), est une fonction complètement monotone et : λtα−1Eα,α(−λtα ) < ∞; Z t 0 s α−1Eα,α(−λsα )ds < ∞. 1.4.2 Intégration et dérivation fractionnaires

Le calcul fractionnaire est la branche de l’analyse mathématique, qui étudie la généralisation des notions de dérivation et d’intégration à un ordre non entier, réel ou complexe, et qui rentre dans le cadre plus générale des opérateurs pseudo-différentiels. Par ailleurs, plusieurs approches ont été développées pour donner une signification à D(n)f(x) lorsque n ∈ R ou C. Dans cette partie, nous avons choisi de présenter deux d’entre elles, à savoir l’approche de RiemannLiouville, et celle de Caputo, et on se restreint au cas réel. Intégrale fractionnaire Définition 1.10. [37] Soit α ∈ R ∗ +, l’intégrale fractionnaire au sens de Riemann-Liouville d’ordre α est formellement définie par I α a f(x) := 1 Γ(α) Z x a (x − t) α−1 f(t)dt; x > a, (1.7) ou` Γ est la fonction Gamma(1.4) et −∞ ≤ a < x < ∞. Remarque 1.5. [37] Pour α = n ∈ N ∗ , Iα a co¨ıncide avec l’intégrale répétée n− fois de la forme (I n a f)(x) = Z x a dt1 Z t1 a dt2… Z tn−1 a f(tn)dtn = 1 (n − 1)! Z x a (x − t) n−1 f(t)dt. Lorsque a = −∞, Iα a est appelée intégrale fractionnaire au sens de Liouville, pour a = 0 elle est dite intégrale fractionnaire de Riemann.

En générale I α a est dite fractionnaire au sens de Riemann-Liouville (R-L). Notons que la formule précédente reste valable lorsque a < x < b < ∞. Théorème 1.11. [37] Si f ∈ L 1 (a, b), avec a > −∞, alors I α a f(x) existe pour presque tout x ∈ (a, b) et l’on a I α a ∈ L 1 (a, b). Nous allons maintenant voir quelques aspects de l’opérateur d’intégration fractionnaire de R-L.  Théorème 1.12. [37] Soient α, β > 0, pour toute fonction f ∈ L 1 (a, b), on a : I α a I β a f(x) = I α+β a f(x) = I β a I α a f(x). (1.8) Un deuxième résultat concernant l’interversion de la limite et de l’intégrale fractionnaire est donnée par : Théorème 1.13. [37] Soit α > 0, et soit (fk)∞ k=1 une suite uniformément convergente de fonctions continues sur [a, b] . Alors on peut intervertir l’intégrale fractionnaire de R-L et le signe limite comme suit :  I α a lim k→∞ fk  (x) =  lim k→∞ I α a fk  (x). (1.9) En particulier, la suite (I α a fk) ∞ k=1 est uniformément convergente. Dérivation fractionnaire Définition 1.11. [37]

Pour α ∈ R+ et n ∈ N ∗ tels que n − 1 ≤ α ≤ n; la dérivée fractionnaire au sens de Riemann-Liouville (R-L) d’ordre α d’une fonction f est formellement définie par Dα a f(x) := Dn I n−α a f(x) = 1 Γ(n − α) d n dxn Z x a (x − t) n−α−1 f(t)dt; x > a, (1.10) ou` Dn = d n dxn . En particulier, pour α = m ∈ N, on a D0 a f(x) = DI1 a f(x) = f(x), Dm a f(x) = Dm+1I m+1−m a f(x) = Dm+1I 1 a f(x). Donc la dérivée fractionnaire au sens de R-L co¨ıncide avec la dérivée usuelle pour α ∈ N. ☞ Contrairement à la dérivée usuelle d’une fonction f(x) en un point qui ne dépend que de l’allure de f(x) au voisinage restreint de ce point, la dérivée fractionnaire au sens de R-L d’ordre non-entier dépend de toutes les valeurs de f(x) dans l’intervalle (a, x). On dit qu’elle est à caractère non local. De plus, cette dérivée est une convolution à noyau singulier de la forme suivante : Dα 0+f(t) = d dt I 1−α 0+ f(t) = d dt (Φ1−α ∗ f) (t), d’ou` Dα 0+f(t) = d d Z t 0 (t − s) −α Γ(1 − α) f(s)ds, 0 < α < 1, qui aide sa manipulation par les outils de l’analyse de Fourier.

Le résultat suivant établi une condition suffisante d’existence de la dérivée fractionnaire Dα a f.  Proposition 1.12. [37] Soient α ≥ 0 et n = [α]+ 1. Si f ∈ ACn [a, b] , alors la dérivée fractionnaire Dα a f existe presque partout sur [a, b] , en plus elle est donnée par : Dα a f(x) = nX−1 k=0 f (k)(a) Γ(1 + k − α) (x − a) k−α + 1 Γ(n − α) Z x a f (n) (t) (x − t) α−n+1 dt. Proposition 1.13. [37] Si 0 < α < 1 et f ∈ AC [a, b] , alors Dα a f(x) = 1 Γ(1 − α)  f(a) (x − a) α + Z x a f 0 (t) (x − t) α dt . ☞ Une fonction possédant une dérivée fractionnaire de R-L n’est pas nécessairement continue. Remarque 1.6. Si f ∈ Cγ[a, b], 0 < α < γ < 1; alors I α a+ f ∈ Cγ−α[a, b] et si f ∈ C n γ [a, b] alors Dα a+ f(t) existe pour t ∈]a, b]. Les problèmes appliqués demandent des définitions de dérivées fractionnaires autorisent l’utilisation des conditions initiales interprétables physiquement, lesquelles contiennent f(a), f0 (a), …

Malheureusement, l’approche de Riemann-Liouville mène à des conditions initiales contenant les valeurs limites des dérivées fractionnaires de Riemann-Liouville en la borne inférieure t = a, qui prend la forme Dα−k a f(a) = bk; (k = 1, 2, …, n), ou` bk sont des constantes données. Malgré le fait que des problèmes aux valeurs initiales avec de telles conditions initiales peuvent ˆetre résolus mathématiquement, leur solutions sont pratiquement inutiles, car il n’y a aucune interprétation physique pour de telle type de conditions initiales. Ici, on observe le conflit entre la théorie mathématique bien établie et les besoins pratiques. Une certaine solution pour ce conflit a été proposé par M.Caputo. La définition de Caputo peut etre écrite comme Définition 1.12.

Soient α ≥ 0 et n ∈ N ∗ telles que n = [α] + 1. On définit la dérivée fractionnaire au sens de Caputo d’ordre α de f : [a, b] −→ R par : CDα a+ f(t) = Dα a+ f(t) − nX−1 k=0 f (k) (a) k! (t − a) k ! p.p, t > a. Remarque 1.7. Pour 0 < α < 1, u ∈ C[0, T], on a : CDa 0+ u(t) = Da 0+ (u(t) − u(0)), ou` Dα a+ est la dérivée au sens Riemann-Liouville. Théorème 1.14. [55] Soient α ≥ 0 et n ∈ N ∗ telles que n = [α] + 1. Si f ∈ ACn [a, b], alors la Settara Loubna 24 ©2019.Univ. Annaba 1.4. CALCUL FRACTIONNAIRE dérivée de Caputo CDα a f(t) est continue sur [a, b] et admet la représentation intégrale suivante : CDα a+ f(t) = I n−α a+ Dn f(t) = 1 Γ(n − α) Z t a (t − s) n−α−1 f (n) (s)ds; t ∈ [a, b]. Pour 0 < α < 1, on a : CDα a+ f(t) = I 1−α a+ Df(t). L’avantage principal de l’approche de Caputo est que les conditions initiales des équations différentielles fractionnaires avec dérivées de Caputo acceptent la mˆeme forme comme pour les équations differentielles d’ordre entier, i.e. ; contient les valeurs limites des dérivées d’ordre entier des fonctions inconnues en la borne inférieure t = a.

Propriétés importantes Nous nous intéressons dans cette partie aux propriétés d’intégration et de différentiation fractionnaire, lesquelles sont plus souvent utilisées dans les applications. Lemme 1.4. [55] Soit α > 0 et f ∈ L 1 (0, T), alors l’égalité Dα a I α a f(t) = f(t), (1.11) est vraie pour presque tous t ∈ (0, T). Théorème 1.15. [37] Soient α, β > 0 tels que n − 1 ≤ α < n, m − 1 ≤ β < m(n, m ∈ N ∗ ), alors on a a) Si α > β > 0, alors pour f ∈ L 1 (a, b) la relation Dβ a (I α a f)(t) = I α−β a f(t), est vraie presque partout sur (a, b). b) Si β ≥ α > 0 et si la dérivée fractionnaire Dβ−α a f existe, alors on a Dβ a (I α a f)(t) = Dβ−α a f(t). c) S’il existe une fonction ϕ ∈ L 1 (0, T) telle que f = I α a ϕ, alors I α a Dα a f(t) = f(t), pour presque tout t ∈ (0, T). d) Si f ∈ L 1 (0, T) et I n−α a f ∈ ACn [0, T], alors l’égalité I α a Dα 0 f(t) = f(t) − Xn k=1 Dn−k [I n−α 0 f](0) Γ(α − k + 1) t α−k , Settara Loubna 25 ©2019.Univ. Annaba 1.4.