L’existence globale de la solution des systèmes de Réaction-Diffusion via Lyapunov

L’existence globale de la solution des systémes
de Réaction-Diffusion via Lyapunov

Modélisation

Les équations de Réaction Diffusion ont été proposées par A.Turing (1952) pour la modélisation des phénomènes de morphogènes, c’est à dire le developpement des formes. Dans cette section, nous allons présenter les étapes à suivre pour établir le système (R:D): Pour clariÖer les idées, notons que pour modéliser un phénomène, on doit simpliÖer plusieurs termes et négliger d’autres facteurs rentrant dans les réactions, dans le but d’une obtention des équations simples et faciles à étudie

Diffusion et migration

La diffusion désigne la tendance naturelle d’un système à rendre homogènes les concentrations des espèces en son sein. Le déplacement des atomes, ions ou molécules dans un milieu, que celui-ci soit solide, liquide ou gazeux, est appelé de manière générale  » migration ». La diffusion est donc la migration sous une certaine agitation. L’orqu’un atome se déplace parmi des atomes de m’me nature, on parle d’autodiffusion. Par en parlera d’autodiffusion du fer pour désigner la migration d’un atome de fer dans un cristal de fer. Lorsque l’on a deux milieux homogènes différents que l’on met en contact, on parle d’interdiffusion

Lois de Fick

Première loi de Fick La première loi de Fick énonce que Le áux de diffusion est proportionnel au gradient de concentration. Cette loi est inspirée de la loi de « Fourier » sur la conduction de la chaleur. Elle peut ‘tre vue comme une déÖnition du vecteur densité du courant Ji : 13 Mathématiquement, cette loi s’exprime de la manière suivante : Soit B un milieu dans lequel se trouve une espèce chimique A, et soit une surface S:On note CA (x; y; z; t) la concentration de A en un point donné. On appelle JA le vecteur densité de courant des particules de A ; la première loi de Fick s’écrit : JA = Seconde loi de Fick La loi de conservation des espèces indique que la variation par unité de temps de la quantité de particules i : R R R Ci :dV dans un volume donné V est égale au áux sortant : R R Ji :dS du vecteur densité de courant de particules Ji à travers la surface fermée S délimitant le volume V: On obtient la deuxième loi de Fick en identiÖant les intégrands ci-dessous : 

Modélisation des systèmes de réaction diffusion

Considèrons une région bornée de R n (n = 1; 2; 3) dans laquelle des réactions se réalisent. peut ‘tre des molécules ou une surface géographique qui forme les lieux des milliers de virus, d’épidémies ou m’me des rumeurs circulant entre les individus des populations. peut ‘tre aussi une cellule vivante qui est le siège de plusieures réactions chimiques. Nous avons besoin du principe suivant : La vitesse de formation de la i eme  espèce dans un volume ! est égale à la quantité formée par la réaction otée de son áux à travers la surface S. Soit alors Ji le áux de ces espèces à travers la frontière et soient ui (x; t) la concentration de la i eme  espèce prenant part dans une réaction et fi ((u1; u2; :::; um); x; t) son taux de formation dans la réaction en question au point x et à l’instant t > 0:Considérons alors un volume ! inÖniment petit de de frontière S = @!: En terme d’équations, le principe précédent se traduit par @ @tZ ! ui (x; t) dx = Z ! fi ((u1; u2; :::; um); x; t) dx .