État de l’art des méthodes de réduction d’ordre de modèles

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Méthodes de type hyper-réduction

Dans le cadre des EDP non-linéaires, la résolution se fait à l’aide de méthodes itératives de type Newton. La projection standard pour construire un ROM, dans le cas des méthodes basées sur la projection des équations sur une BR, n’est alors plus efficace car l’évaluation à chaque itération des termes non-linéaires de grande dimension et des produits qu’ils impliquent est trop coûteuse. En effet les projections ne peuvent pas se faire dans la partie offline. C’est dans ce contexte qu’ont été introduites les méthodes de type hyper-réduction qui permettent de limiter la complexité du problème non-linéaire à un certain nombre d’entrées qui ne dépend plus du maillage EF complet. Nous présentons différentes approches qui ont été développées dans ce but en réduction d’ordre de modèles. Il est à noter que d’autres méthodes que celles de type HR ont été appliquées pour la
résolution d’EDP non-linéaires. On trouve par exemple celles de type approximation polynomiale [Banerjee et al., 1998 ; Rewienski, 2003 ; Dong et Roychowdhury, 2003 ; Maier, 2015]
– connues sous les noms de Trajectory Piece-Wise Linear (TPWL) et Piece-Wise Polynomial
(PWL) en anglais
– . Malheureusement, ces dernières ne sont pas performantes pour des problèmes
à forte non-linéarité car il faut soit prendre un nombre trop important de polynômes, soit augmenter fortement le degré de ces derniers. De plus, ces méthodes ont comme défaut que le choix des points d’approximation n’est pas évident [Dong et Roychowdhury, 2003]. Approximation du terme non-linéaire par interpolation L’idée des méthodes de réduction d’ordre de modèles approximant le terme non-linéaire par interpolation se rapproche du principe de la Gappy-POD [Everson et Sirovich, 1995], méthode appliquée en traitement d’images. Soit I un vecteur colonne contenant les valeurs des pixels d’une image, connues seulement sur un ensemble G, et V une BR de l colonnes construite par POD (cf. section II.1.3.d). La Gappy-POD propose une prédiction Il des valeurs de l’image : Il = V (V [G;:]T V [G;:])􀀀1V [G;:]T I[G]: (II.3)
Dans le cas des méthodes de réduction d’ordre de modèles qui vont être présentées, c’est le terme non-linéaire qui va être approximé à partir de quelques valeurs. Ce qui varie, c’est la méthode avec laquelle la BR a été construite et le choix des points d’interpolation (cf. ensemble G).
La première méthode de ce type à avoir été proposée est la méthode d’interpolation empirique [Barrault et al., 2004 ; Maday et Mula, 2013], abrégée EIM pour Empirical Interpolation Method en anglais. Cette dernière travaille au niveau continu et se situe dans la suite des travaux sur la RBM (cf. section II.1.2.a) ; la BR est donc directement constituée de fonctions bien sélectionnés. Les points d’interpolation empirique – également appelés “points magiques” d’après [Maday et al., 2009] – sont obtenus à l’aide d’un algorithme glouton (cf. section II.1.3.a) où à chaque itération le point retenu est celui qui maximise l’erreur entre la (i + 1)-ème fonction de la BR et sa reconstruction à l’aide des i points d’interpolation déjà calculés. Il y a donc autant d’itérations que de fonctions dans la BR. Des applications de cette méthode pourront être trouvées dans [Grepl et al., 2007 ; Galbally et al., 2010 ; Grepl, 2012 ; Drohmann et al., 2012]. La méthode d’interpolation avec les meilleurs points [Nguyen et Peraire, 2008 ; Nguyen et al., 2008] – abrégée BPIM pour Best Points Interpolation Method en anglais – travaille également au niveau continu. Contrairement à l’EIM qui sélectionne les points d’interpolation avec un algorithme glouton, la BPIM résout un problème de minimisation par moindres carrés entre la projection des snapshots sur la BR obtenue par POD et leur reconstruction à partir des points d’interpolation. Les points d’interpolation obtenus avec la BPIM sont meilleurs que ceux obtenus avec l’EIM mais la résolution du problème de minimisation peut se révéler très coûteuse. La version discrète de l’EIM [Chaturantabut et Sorensen, 2010 ; Chaturantabut, 2011] – abrégée DEIM pour Discrete EIM en anglais – s’applique à une BR construite de préférence par POD. Comme l’EIM, la sélection des points d’interpolation se fait à l’aide d’un algorithme glouton. Ce dernier sera détaillé en algorithme II.2 de la section II.2.3. L’avantage de fournir une BR obtenue par POD à l’algorithme DEIM est que les vecteurs colonnes sont ordonnés par importance. Les points d’interpolation sont alors choisis de manière itérative de façon à approximer au mieux les vecteurs par ordre d’importance. Le nombre de points obtenu est égal au nombre de colonnes de la BR, card(G) = l. Dans ce cas, l’équation II.3 devient :
Il = V (V [G;:])􀀀1I[G] (II.4) car V [G;:] est une matrice carrée l l inversible. Il dénote alors l’approximation du terme non-linéaire I calculé pour un ensemble de lignes G. Il est possible de choisir les points d’interpolation autrement. Ces derniers peuvent être, par exemple, choisis à l’aide d’un algorithme glouton de manière à minimiser un conditionnement à la BR restreinte aux points d’interpolation, comme cela a été fait dans [Willcox, 2006] et pour la Missing Point Estimation [Astrid et al., 2008]. Certaines méthodes se démarquent par une projection de type Petrov-Galerkin. C’est le cas par exemple de la méthode Gauss Newton with Approximated Tensors [Carlberg et al., 2011 ; Carlberg et al., 2013]. Pour cette méthode, trois BR sont utilisées et chacune construite par POD. Deux sont dédiés à aux fonctions tests associées à la jacobienne et au résidu, et une à la solution. Les points d’interpolation sont obtenus à l’aide d’un algorithme glouton
du même type que celui utilisé par la DEIM, à la différence qu’il tient compte de deux BR
simultanément.

Méthodes de type quadrature

Les méthodes de “cubature” [An et al., 2008 ; Hernández et al., 2014 ; Farhat et al., 2014] permettent de réduire le temps de calcul en approximant les intégrales en espace qui interviennent dans la formulation faible, par seulement quelques contributions élémentaires. Considérons par exemple le vecteur des forces internes fint( ) réduit, dépendant des ddl associés aux déplacements
obtenus par projection sur un sous-espace de dimension réduit, dont l’évaluation est très lourde pour un comportement non-linéaire. Son approximation s’écrit : fint( ) =
Z
g(x;
) d

X
xi2E
wi g(xi;
) (II.5)
avec g la densité d’énergie, x la position, E un ensemble réduit d’éléments et wi des poids positifs. Les points d’intérêt xi ainsi que les poids associés wi à la contribution globale sont alors déterminés par un processus d’optimisation connaissant fint( ) pour un certain nombre de Hyper-réduction basée sur un domaine d’intégration réduit L’hyper-réduction (HR) [Ryckelynck, 2009] basée sur un domaine d’intégration réduit – abrégé RID pour Reduced Integration Domain – fait suite à la méthode APHR introduite en section II.1.1.b. Elle repose à la fois sur la projection des équations sur une BR mais également sur la résolution du modèle sur un RID. Pour la mécanique non-linéaire, la méthode permet de fortement réduire le temps de calcul car à chaque itération la projection des termes non-linéaires qui doit être réalisée ne dépend plus de la complexité du FOM et par ailleurs l’intégration de la loi de comportement se fait uniquement sur le RID. Du fait qu’elle soit à la fois peu intrusive et ait déjà fait ses preuves pour des problèmes de mécanique avec des matériaux non-linéaires ; cette méthode va nous intéresser pour réduire un problème de mécanique du contact avec non-linéarités matérielles. Elle sera détaillée dans la section II.2 pour un problème élastique. Une extension de cette méthode sera proposée, section III.1, pour la mécanique du contact. Enfin elle sera formulée, section IV.2, pour un problème de contact avec des matériaux à comportement non-linéaires. Par souci de simplicité, elle sera appelée méthode HR dans la suite du document ; à ne pas confondre avec les méthodes de type HR qui englobent les méthodes rassemblées dans cette section II.1.2.b.

Outils utilisés par les méthodes de réduction d’ordre de modèles

Parmi les méthodes utilisées pour construire un ROM, certaines ont été développées initialement pour d’autres applications que la réduction d’ordre de modèles. Nous présentons ici certains des outils qui sont les plus utilisés pour construire un ROM mais qui ne sont pas, à proprement parler, des méthodes de réduction d’ordre de modèles.

Algorithme glouton

L’algorithme glouton [Edmonds, 1971 ; Vince, 2002] est classiquement utilisé en optimisation combinatoire où le problème, dans sa forme la plus générale, consiste à trouver dans un ensemble discret le meilleur sous-ensemble réalisable. La notion de “meilleur” est définie par rapport à une fonction objectif. Pour trouver une solution au problème d’optimisation, il serait suffisant d’essayer tous les sous-ensembles possibles mais la complexité et le temps de résolution varient exponentiellement avec la taille de l’ensemble discret. L’algorithme glouton est un algorithme itératif qui va à chaque étape opter pour un optimum local. Selon le problème, il peut permettre de trouver un optimum global mais dans le cas général c’est une heuristique. Il reste beaucoup utilisé pour sa rapidité et sa puissance lorsque la taille de l’ensemble discret est raisonnable. Algorithme glouton en réduction d’ordre de modèles L’algorithme glouton est régulièrement utilisé par les méthodes de réduction d’ordre de modèles. Il est par exemple utilisé en PGD pour construire une approximation de la solution par une représentation à variables séparées, voir section II.1.1.a. Pour les méthodes de type hyper-réduction avec approximation du terme non-linéaire par interpolation, nous avons également vu qu’il est souvent utilisé pour la sélection des points d’interpolation (cf. sectionII.1.2.b). Mais il est le plus utilisé pour la sélection des snapshots dans le cadre des méthodes a posteriori. Certaines méthodes reposent d’ailleurs entièrement sur son utilisation comme la RBM présentée en section II.1.2.a. Nous détaillons ici ce dernier point. Dans ce cas l’ensemble discret est la discrétisation de l’espace paramétrique P, que l’on note S et qui est également appelé ensemble des paramètres d’entraînement. Le problème d’optimisation consiste à trouver l’ensemble des paramètres pour le calcul des snapshots Ssnap S, pour un nombre de snapshots donné, minimisant l’erreur de référence, c’est-à-dire l’erreur entre les solutions obtenues avec les FOM et ROM. Or l’erreur de référence requiert la résolution du FOM que nous ne voulons justement pas calculer sur l’ensemble S. C’est pourquoi la fonction objectif utilisée est fournie par un estimateur ou indicateur d’erreur (voir section II.1.3.b). On parle alors d’algorithme glouton sous sa forme faible. Ce dernier est résumé dans l’algorithme II.1.

Table des matières

Introduction
Notations
Abréviations
I Contexte
I.1 Contexte industriel
I.1.1 Réacteur à eau pressurisée
I.1.2 Coeur d’un réacteur à eau pressurisée
I.1.3 Comportement du crayon combustible
I.1.4 Modélisation du combustible
I.2 Objectifs et réalisations de la thèse
II État de l’art des méthodes de réduction d’ordre de modèles
II.1 Méthodes de réduction d’ordre de modèles
II.1.1 Méthodes a priori
II.1.2 Méthodes a posteriori
II.1.3 Outils utilisés par les méthodes de réduction d’ordre de modèles
II.2 Hyper-réduction en élasticité
II.2.1 Résolution par éléments finis d’un problème élastique
II.2.2 Construction d’une base réduite
II.2.3 Construction d’un domaine d’intégration réduit
II.2.4 Définition du problème hyper-réduit
II.3 Réduction d’ordre de modèles en mécanique du contact
II.3.1 Résolution par éléments finis d’un problème de contact élastique
II.3.2 Méthodes de réduction d’ordre de modèles en mécanique du contact
III Hyper-réduction hybride pour la mécanique du contact élastique
III.1 Hyper-réduction hybride pour le contact
III.1.1 Révision du domaine d’intégration réduit
III.1.2 Définition de l’hyper-réduction hybride
III.1.3 Reconstruction a posteriori des multiplicateurs de Lagrange
III.1.4 Indicateur d’erreur
III.2 Implémentation de l’hyper-réduction hybride
III.2.1 Implémentation en Python
III.2.2 Implémentation peu intrusive pour Cast3M
III.3 Hyper-réduction hybride appliquée à un cas test 1D
III.3.1 Cas test
III.3.2 Application de l’hyper-réduction hybride
III.3.3 Comparaison avec la PBM
III.4 Application de l’hyper-réduction hybride à un cas test 2D avec Cast3M
III.4.1 Cas test
III.4.2 Construction du modèle hyper-réduit
III.4.3 Résultats de l’hyper-réduction dans et en dehors de l’espace paramétrique
III.4.4 Étude de la condition LBB en fonction des ddl EF
III.4.5 Traitement d’un espace paramétrique plus grand et comparaison avec la PBM
III.5 Application de l’hyper-réduction hybride à un cas test 3D avec Cast3M
III.5.1 Cas représentatif de chargements thermo-mécaniques sur l’élément combustible
III.5.2 Construction de deux modèles par hyper-réduction hybride
III.5.3 Application de l’hyper-réduction hybride
III.5.4 Erreur du modèle HRH en fonction du seuil POD
IV HRH pour la mécanique du contact entre matériaux non-linéaires
IV.1 Hyper-réduction hybride pour un matériau non-linéaire
IV.1.1 Résolution par éléments finis avec un comportement non-linéaire
IV.1.2 Hyper-réduction hybride pour un matériau non-linéaire
IV.2 Hyper-réduction hybride pour le contact avec des matériaux non-linéaires
IV.2.1 Mécanique du contact avec un comportement non-linéaire
IV.2.2 Hyper-réduction hybride en mécanique du contact pour un comportement non-linéaire
IV.3 Implémentation dans Cast3M
IV.4 Application de l’hyper-réduction hybride à un cas test 2D avec Cast3M
IV.4.1 Cas test 2D non-linéaire
IV.4.2 Réduction de l’ordre du modèle
IV.4.3 Résultats obtenus avec le modèle hyper-réduit hybride
Conclusions et perspectives
A Article
Liste des illustrations
Références bibliographiques