SOLUTIONS PERIODIQUES DES EQUATIONS DIFFERENTIELLES ORDINAIRES

SOLUTIONS PERIODIQUES DES EQUATIONS DIFFERENTIELLES ORDINAIRES

Théorie de la moyennisation

La théorie de la moyennisation est un outil classique pour étudier le comportement des systémes dynamiques non linéaires, et en particulier, de leurs orbites périodiques. Dans ce chapitre nous allons introduire les résultats principaux sur la théorie de la moyennisation et les théorémes que nous allons utiliser dans notre travail. Notation DxF : La matrice jacobienne de la fonction F par rapport ‡ x; o˘ F : D

Méthode de la moyennisation via le degré du Brouwer

Définition 2.3.1 (Degré de Brouwer pour des fonctions de C1 ) Soient g 2 C 1 (D); V D et Zg = fz 2 V : g(z) = 0g : Supposons aussi que Jg(z) 6= 0 pour tout z 2 Zg avec Jg(z) le déterminant jacobien de g en z. Ce qui assure que Zg est finie, alors dB(g; V; 0) = P z2Zg sign(Jg(z)): Remarque 2.3.1 Soit g : D ! R n fonction de classe C1avec g(a) = 0; o˘ D est un sous ensemble ouvert de R n et a 2 D, pour Jg(a) 6= 0; il existe un voisinage V de a tel que g(z) 6= 0 pour tout z 2 V n fag : Alors dB(g; V; 0) 2 f

La théorie de la moyennisation du premier ordre

Théoréme 2.3.1 On considére le systéme di§érentiel suivant x_(t) = « F1(t; x) + » 2R(t; x; « ); (2.3.1) o˘ F1 : R D ! R n ; R : R D

La théorie de la moyennisation du second ordre

Théoréme 2.3.2 On considére le systéme di§érentiel suivant x (t) = « F1 (t; x) + » 2F2 (t; x) + » 3R (t; x; « ); (2.3.3) o˘ F1; F2 : R D ! R n ; R : R D .

Bifurcation des orbites périodiques d’un centre isochrone uniforme

Dans ce chapitre, nous donnons le nombre maximum des cycles limites qui peuvent bifurquer des solutions périodiques d’un centre isochrone uniforme di§érentiel polynomial de degré 5 quand il est perturbé par des polynomes homogËnes de degré 5. Plus précisément, nous considérons le systËme di§érentiel polynomial x_ =

Table des matiéres

Introduction
1 Préliminaires
1.1 Systémes dynamiques
1.2 Flot d’une équation di§érentielle
1.3 Points d’équilibre et linéarisation
1.3.1 Nature des points critiques
1.4 Portrait de phase
1.5 Orbites périodiques et cycles limites
1.6 Ensemble isochrone
1.7 Bifurcation de Hopf
1.8 Théoréme de Bezout
2 Théorie de la moyennisation
2.1 Introduction
2.2 Méthode de la moyennisation dans le cas périodique
2.2.1 Méthode de la moyennisation du premier ordre
2.2.2 Méthode de la moyennisation du second ordre
2.2.3 Autre méthode de la moyennisation du premier ordre
2.3 Méthode de la moyennisation via le degré du Brouwer
2.3.1 La théorie de la moyennisation du premier ordre
2.3.2 La théorie de la moyennisation du second ordre
3 Bifurcation des orbites périodiques d’un centre isochrone uniforme
3.1 Introduction et résultats principaux
3.2 Preuve
4 Solutions périodiques pour les systémes di§érentiels dans R3 et R4
4.1 Introduction et résultats principaux
4.2 Preuve
5 Orbites périodiques et leur stabilité pour une classe d’équations différentielles du quatriéme ordre non autonomes
5.1 Introduction et résultats principaux
5.2 Preuves
6 Solutions périodiques pour une classe périodique des équations di§érentielles de Du¢ ng
6.1 Introduction et résultats principaux
6.2 Preuve
6.3 Applications
7 Bifurcation zero-Hopf en dimension 4 pour des systémes di§érentiel polynomiaux non-linéaires homogénes et cubiques
7.1 Introduction et résultats principaux
7.2 Preuve
Conclusion et perspectives
Bibliographie