LA METHODE DE DECOMPOSITION DU DOMAINE POUR LES INEQUATIONS QUASI-VARIATIONNELLES ELLIPTIQUES

LA METHODE DE DECOMPOSITION DU DOMAINE
POUR LES INEQUATIONS QUASI-VARIATIONNELLES ELLIPTIQUES

I.Q.V où le second membre dépend de la solution

 Problème continu

On concidère le problème suivant : Trouver u ∈ H1 0 (Ω) solution de    a(u, v − u) ≥ (f(u), v − u), ∀v ∈ H1 0 (Ω) u ≤ Ψ, v ≤ Ψ. (1.18) Soit f(.) une forme non linéaire, non décroissante et lipchitizienne avec une constante α qui vérifie : α β < 1, où β est la constante définie dans (1.3). Eexistence et unicité de la solution continue d’I.Q.V Théorème 1.6 [5] Sous les hypothèses et les notations précédentes, le problème 1.18 admet une solution unique dans W2,p(Ω), 2 ≤ p < ∞. Propriété de monotonie de la solution continue d’I.Q.V Nous introduissons la propriété de monotonie de la solution continue. On note par : w = σ(f(u)), w˜ = σ(f(˜u).) Lemme 1.5 [15, 11] 30 Généralités sur Les I.V et Q.V M.Beggas 1. Si f(u) ≥ f(˜u), alors, σ(f(u)) ≥ σ(f(˜u)). 2. kσ(f(u)) − σ(f(˜u))kL∞(Ω) ≤ 1 β kf(u) − f(˜u)kL∞(Ω). 1.3.2 Problème discret On va introduire le problème discret et effectuer une étude similaire à celle entreprise précédement pour le problème continu. Pour insister sur la symétrie de l’étude, on suivra exactement la même démarche qu’au cas continu. On établit sur Ω une trianglation régulière quassi-uniforme et on introduit Vh l’espace des éléments finis conformes suivant : Vh = {vh ∈ C(Ω) ∩ V, telque vh/τh ∈ P1} (1.19) Soit Ms, s = 1, 2, ….m(h) les sommets de la triangulation τh qui n’appartiennent pas à ∂Ω. Pour décrire une fonction g ∈ Vh, nous pouvons choisir comme parametres les valeurs g(Ms) de la fonction g aux nœuds Ms. Ces valeurs sont appélées degrés de liberté. Les fonctions de base pour l’espace Vh ϕ1, ϕ2, …ϕs sont alors définies par : ϕs(Ml) = δsl =    1 0 s, l = 1, 2, …m(h) Puisque toute fonction g de Vh peut être représentée par une combinaison liniéaire des ϕs nous avons : g(x) = mX (h) s,l=1 g(Ml)ϕs(x, y) On introduit également l’opérateur de restriction rh : Pour v ∈ C(Ω ∩ H1 0 (Ω) : rhv = mX (h) s,l=1 v(Ml)ϕs(x, y) (1.20) 31 Généralités sur Les I.V et Q.V M.Beggas L’ordre sur Vh sera celui induit par R m(h) . Nous introduisons, d’une manière naturelle, la matrice de discrétisation A de cœfficients générique a(ϕl , ϕs), où ϕs, s = 1, 2, …m(h) sont les cœfficients de base usuelle. Hypothèse du principe du maximum discret (PMD) On suppose que la matrice A est une M-matrice (On trouvera dans [32] des conditions géométriques simples pour lesquelles l’hypothèse du(PMD) est satisfaite). Considérons le problème discret associé au problème continu (1.19). Trouver uh ∈ Vh solution de    a(uh, vh − uh) ≥ (f(uh), vh − uh), ∀vh ∈ Vh uh ≤ rhΨ, vh ≤ rhΨ, (1.21) où Vh = {vh ∈ C(Ω) ∩ V, tel que vh/rh ∈ P1}. Théorème 1.7 [9, 5] Sous les hypothèses et les notations précédentes et le principe du maximum discret, le problème (1.21) admet une solution discrete unique. Propriété de monotonie de la solution discrete d’I.Q.V D’une façon analogue au cas continu, on a : Lemme 1.6 [11, 15] On note par : wh = σh(f(uh)), w˜h = σh(f( ˜uh.)) 1. Si f(uh) ≥ f( ˜uh), alors σh(f(uh)) ≥ σh(fu˜h). 2. kσh(f(uh)) − σh(f( ˜uh))kL∞(Ω) ≤ 1 β kf(uh) − f( ˜uh)kL∞(Ω). Nous finissons cette section par un important théorème d’approximation : Théorème 1.8 [9] Soient u et uh respectivement, les solutions de 1.18 et 1.21, alors on a : ku − uhkL∞(Ω) ≤ C1h 2 | ln h| 2 . 32 Généralités sur Les I.V et Q.V M.Beggas 1.4 I.Q.V où l’obstacle dépend de la solution 1.4.1 Problème continu On considère le problème de l’obstacle suivant : Trouver u ∈ Kg solution de    a(u, v − u) ≥ (f, v − u) dans Ω u ≤ Mu; Mu ≥ 0 u = g; sur ∂Ω, (1.22) où f ∈ L ∞(Ω) et M opérateur donné par : Mu = k + inf ε≥0,x+ε∈Ω u(x + ε), où a(u, v) = Z Ω ∇u∇vdu, et (f, v) = Z Ω fvdu. On note : Kg = {v ∈ H 1 (Ω) : v = g sur ∂Ω, v ≤ Mu dans Ω}, tel que Kg est un ensemble convexe, fermé et non vide. Avec g une fonction régulière définie sur ∂Ω. Existence et unicité de la solution continu D’après le théorème (1.6), le problème (1.22) admet une solution unique dans W2,p(Ω), ; 2 ≤ p < ∞. 3

Généralités sur Les I.V et Q.V

M.Beggas Propriété de monotonie de la solution continue Dans ce qui suit, on va citer quelques résultat intéressant de monotonie de la solution par rapport à l’obstacle et à la fonction au bord, et ceci en commençant par un lemme qui nous donne la croissance de l’opérateure M. Lemme 1.7 [25] Soient u et u˜ dans Kg. Si u ≤ u, ˜ alors : Mu ≤ Mu. ˜ De plus, on a : M(u + λ) = M(u) + λ, ∀λ ∈ R. Proposition 1.8 [25] Sous les conditions du lemme précédent on a : kMu − Mu˜kL∞(Ω) ≤ ku − u˜kL∞(Ω). (1.23) Preuve. : On a : u ≤ u˜ + ku − u˜kL∞(Ω), alors en utilisant le lemme (1.7) on obtient : Mu ≤ M(˜u + ku − u˜kL∞(Ω)), ce qui donne Mu ≤ Mu˜ + ku − u˜kL∞(Ω), d’où Mu − Mu˜ ≤ ku − u˜kL∞(Ω). 34 Généralités sur Les I.V et Q.V M.Beggas Et de la même manière, en interchangeant les rôles de Mu et Mu˜, on obtient : Mu˜ − Mu ≤ ku − u˜kL∞(Ω). Alors kMu − Mu˜kL∞(Ω) ≤ ku − u˜kL∞(Ω).

Problème discret

On va introduire le problème discret et effectuer une étude similaire à celle entreprise précédement pour le problème continu. Pour insister sur la symétrie de l’étude, on suivra exactement la même démarche qu’au paragraphe précédent. On établit sur Ω une triangulation régulière quasi-uniforme et on introduit Vh l’espace des éléments finis conformes suivant : Vh = {vh ∈ C(Ω) ∩ V, telque vh/τh ∈ P1}. (1.24) Soit Ms, s = 1, 2, …, m(h) les sommets de la triangulation τh qui n’appartiennent pas à ∂Ω ou les nœuds intérieurs. Pour d’ecrire une fonction g ∈ Vh, nous pouvons choisir comme paramétres les valeurs g(Ms) de la fonction g aux nœuds Ms. Ces valeurs sont appélées degrés de liberté. Les fonctions de base pour l’espace Vh ϕ1, ϕ2, …, ϕs sont alors définies par : ϕs(Ml) = δsl =    1 0 s, l = 1, 2, …m(h) . Puisque toute fonction g de Vh peut être représentée par une combinaison liniéaire des ϕs, alors nous avons : g(x) = mX (h) s,l=1 g(Ml)ϕs(x, y) 35 Généralités sur Les I.V et Q.V M.Beggas . On introduit également l’opérateur de restriction rh. Pour v ∈ C(Ω ∩ H1 0 (Ω) : rhv = mX (h) s,l=1 v(Ml)ϕs(x, y). (1.25) L’ordre sur Vh sera celui induit par R m(h) . Nous introduisons d’une manière naturelle la matrice de discrétisation A de cœfficients générique a(ϕl , ϕs), où ϕs, s = 1, 2, …m(h) sont les cœfficients de base usuelle. Hypothèse du principe du maximum discret (PMD) On suppose que la matrice A est une M-matrice. (On trouvera dans[32] des conditions géométriques simples pour lesquelles l’hypothèse du (PMD) est satisfaite). Problème discret On considère le problème discret : Trouver uh ∈ Kgh solution de    a(uh, v − uh) ≥ (f, v − uh) ∀uh, v ∈ Kgh uh ≤ rhMuh , (1.26) où f ∈ L ∞(Ω) et Muh = k + inf ε≥0,x+ε∈Ω uh(x + ε). Ici, Kgh = {v ∈ Vh : v = πhg sur ∂Ω, v ≤ rhMuh dans Ω}, πh l’opérateur d’interpolation sur ∂Ω. Existence et unicité de la solution discrete D’après le théorème 1.7, le problème (1.26) admet une solution discrete unique. Propriété de monotonie de la solution discrete D’une façon analogue à celle du cas continu, les résultats restent vrais pour le cas discret. 36 Généralités sur Les I.V et Q.V M.Beggas Lemme 1.8 [25] Soient uh et u˜h dans Kgh solutions de (1.32). Si uh ≤ u˜h alors Muh ≤ Mu˜h. De plus, on a : M(uh + λ) = M(uh) + λ, ∀λ ∈ R. Proposition 1.9 Sous les mêmes donnés du lemme précédent on a : |Muh − Mu˜hkL∞(Ω) ≤ kuh − u˜hkL∞(Ω). (1.27) Preuve. : Similaire au cas continu. 1.5 I.Q.V où l’obstacle et le second membre dépendent de la solution Soit Ω un ouvert de R n à frontière suffisamment régulière ∂Ω. Pour u, v ∈ H1 (Ω), considérons la forme bilinéaire suivante : a(u, v) = Z Ω  X 1≤i,j≤n aij (x) ∂u ∂xi ∂v ∂xj + X 1≤i,j≤n ai(x) ∂u ∂xi + a0(x)u.v dx, (1.28) où aij (x), ai(x), a0(x), x ∈ Ω, 1 ≤ i, j ≤ n sont suffisamment réguliers et satisfont les conditions suivantes : X 1≤i,j≤n aij ξiξj ≥ ν|ξ| 2 , ξ ∈ R n , ν > 0, (1.29) a0(x) ≥ β > 0, (1.30) où β est une constante et M opérateur donné par : Mu = k + inf ε≥0,x+ε∈Ω u(x + ε), où k > 0 et M satisfait : Mu ∈ W2,∞(Ω), Mu ≥ 0, sur ∂Ω : 0 ≤ g ≤ Mu, (1.31) 37 Généralités sur Les I.V et Q.V M.Beggas et g une fonction régulière définie sur ∂Ω. Soit f(.) une fonction non linéaire, non décroissante et lipschitzienne avec une constante α qui vérifie : α β < 1, f ∈ L ∞(Ω), (1.32) Kg(u) est un convexe, fermé et non vide défini par : Kg(u) = {v ∈ H 1 (Ω), v = g sur ∂Ω, v ≤ Mu, dans Ω}. 1.5.1 Problème continu Considérons le problème suivant : Trouver u ∈ kg(u) solution de :    a(u, v − u) ≥ (f(u), v − u) dans Ω, ∀v ∈ Kg(u) u ≤ Mu; v ≤ Mu u = g; sur ∂Ω. (1.33) Existence et unicité de la solution continue Théorème 1.9 [5, 9] Sous les conditions précédantes, le problème (1.34) admet une solution unique u ∈ Kg(u). De plus on a : u ∈ W2,p(Ω), 2 ≤ p ≤ ∞ Propriété de monotonie de la solution continue Lemme 1.9 [25]. Pour tout u et u˜ dans Kg(u), on a : 1. Si u ≤ u, ˜ alors Mu ≤ Mu˜, et M(u + λ) = M(u) + λ, ∀λ ∈ R. 2. kMu − Mu˜kL∞(Ω) ≤ ku − u˜kL∞(Ω). 38 Généralités sur Les I.V et Q.V M.Beggas Caractérisation de la solution continue comme envoloppe des sous-solutions continues On appelle l’ensemble des sous-solutions nôté X, pour l’I.Q.V, l’ensemble des z ∈ K tel que :    a(z, v) ≥ (f(z), v), ∀z ∈ Kg(u), v ≥ 0 z ≤ Mz, v ≤ Mz. Théorème 1.10 [16] Sous les hypothèses précédentes, la solution u du problème (1.34) est le plus grand élément de X. 

Problème discret

On garde la même triangulation du paragraphe précédent, ainsi que l’hypothèse du (PMD). Trouver uh ∈ Kgh(uh) solution de    a(uh, v − uh) ≥ (f(uh), v − uh) ∀uh, v ∈ Kgh(uh) uh ≤ rhMuh uh = πhg sur ∂Ω, (1.34) où f ∈ L ∞(Ω), Muh = k + inf ε≥0,x+ε∈Ω uh(x + ε) et Kgh(uh) = {v ∈ Vh : v = πhg sur ∂Ω; v ≤ rhMuh dans Ω}, πh l’opérateur d’interpolation sur ∂Ω et rh l’opérateur de restriction. Existence et unicité de la solution discrete D’après le théorème (1.7), le problème (1.36) admet une solution dicrete unique. Propriété de monotonie de la solution discrete D’une façon analogue à celle du cas continu, les résultats restent vrais pour le cas discret. 39 Généralités sur Les I.V et Q.V M.Beggas Lemme 1.10 Soient uh et u˜h, dans Kgh(u), on a : 1. Si uh ≤ u˜h, alors Muh ≤ Mu˜h. Et M(uh + λ) = M(uh) + λ, ∀λ ∈ R. 2. kMuh − Mu˜hkL∞(Ω) ≤ kuh − u˜hkL∞(Ω). Caractérisation de la solution discrete comme envoloppe des sous-solutions discretes On appelle l’ensemble des sous-solutions,nôté, Xh pour l’I.Q.V, l’ensemble des zh ∈ Kgh(u) tel que :    a(zh, ϕi) ≤ (f(zh), ϕi) ∀i = 1, …, m(h) zh ≤ rhMzh. (1.35) Théorème 1.11 [16] Sous les hypothèses précédentes, la solution uh du problème (1.35)est le plus grand élément de Xh. 1.5.3 Approximation en norme L ∞ Nous terminons cette section par une importante résultat d’approximation, qui concerne les trois modèles des inéquations quasi-variationnelles étudiées. Théorème 1.12 [16] Soient u et uh respectivement, les solutions des problèmes continu et discret, alors on a : ku − uhkL∞(Ω) ≤ Ch2 | ln h| 2 . Idée du démonstration : Première partie : 40 Généralités sur Les I.V et Q.V M.Beggas construction d’une fonction discréte αh proche de u qui verifie : αh ≤ uh et kαh − ukL∞ ≤ Ch2 | log h| 2 . Deuxième partie : construction d’une fonction discrete βh proche de uh qui verifie : βh ≤ u et kβh − uhkL∞ ≤ Ch2 | log h| 2 .