La mécanique des fluides : de l’histoire aux applications 

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Subdivisions de la mécanique des fluides

La statique et la dynamique des fluides consistent en l’étude de fluides respectivement à repos et en mouvement. La statique des liquides (ou hydrostatique) et la statique des gaz (ou aérostatique) forment le deux ailes de la statique de fluide. Dans la dynamique des fluides, nous distinguons la dynamique des liquides (ou hydrodynamique), la dynamique des gaz (ou aérodynamique) et la dynamique des fluides conducteurs de l’électricité en présence de champs magnétiques (ou magnétohydrodynamique).
Fig. 1.6 – Le Microgravity Research Center (MRC) de l’Université Libre de Bruxelles (ULB), a réalisé plusieurs expériences de physique de fluide avec la capsule russe Foton c SIC-Progress (à gauche) ; Cyclone (à droite).
La maîtrise de l’eau pour les différentes constructions navales, ainsi que la construction de nombreux instruments dans lesquels interviennent des écoulements de fluides dans des conduites (pompes, moteurs, échangeurs de chaleur, horlogue hydraulique…) sont basées sur l’hydrodynamique. Les courants marins, qui servent aux échanges de chaleur entre pôles et tropiques, forment un de nombreux exemples de la présence de l’hydrodynamique dans l’océa-nographie.
Les avions, les fusées et les navettes spatiales ne se réalisent pas sans l’aérodynamique. Les recherches consistent surtout à établir des formes « aérodynamiques » qui minimisent la résis-tance de l’air. Un bon exemple est l’architecture des ailes d’avion où l’écoulement de l’air sert à modifier la répartition de pression, ce qui a comme conséquence maintenir l’avion en équi-libre. L’étude de la diminution de la consommation d’énergie des véhicules aériens est aussi une branche assez important de l’aérodynamique. L’aérodynamique, qui joue un rôle empereur dans la météorologie, étudie aussi les phénomènes atmosphériques des autres planètes.
L’étude des gaz ionisés, ou plasmas, est une discpline de la magnétohydrodynamique qui joue aussi un grand rôle en astrophysique (modèles d’étoiles, dynamique de la matière interstellaire).

Les fluides

Qu’est-ce qu’un fluide ?

Fluide : « qui n’est ni solide, ni épais, qui coule aisément ».
Solide : « qui a de la consistance, qui n’est pas liquide, tout en pouvant être plus ou moins mou ».
Le petit Robert3
Un fluide (liquide ou gaz), selon les physiciens, est un corps simple composé d’atomes ou de molécules identiques. Du point de vue mécanique, la définition d’un matériau est liée à sa dé-formation en fonction des contraintes : « un fluide, c’est quelque chose qui coule » sous l’action d’une contrainte donnée et même si la déformation est grande, ceci ne provoque pas la perte de cohésion entre ses molécules. Par contre, un solide (indéformable, élastique ou plastique) ne coule pas sous contrainte et la déformation qui croît avec la contrainte appliquée provoque (si elle est grande) une rupture de solide. Alors, la mécanique des fluides s’intéresse aux déforma-tions des fluides.
La distinction mécanique entre fluide et liquide est insuffisante quand nous étudions des cas particuliers comme celui des pâtes aux silicones appelées « silly-putty ». En fait, les « silly-putty » se comportent à la fois comme des solides (cubes ou boules) et comme des liquides (s’étale comme une couche mince). C’est pour cela que la notion de fluidité dépend de l’échelle spatiale d’observation ainsi que du temps caractéristique d’observation du système.
Fig. 1.7 – Silly-Putty sous forme liquide (à gauche) ; Silly-Putty sous forme solide (à droite). c Fakr.

Fluides : liquides ou gaz

Liquide : « tout corps qui coule ou tend à couler ».
Le petit Robert
Selon la définition élémentaire, un liquide a « un volume propre, mais pas de forme propre », alors qu’un gaz n’a pas de « volume propre mais tend à occuper tout l’espace qui lui est offert ». Sous les conditions normales de pression et de température, la distinction entre liquide et gaz est évidente mais à cause de la continuité de l’état fluide le passage de la phase gazeuse à la phase liquide peut se faire sous simple modification (augmentation de la température par exemple).
Dans un liquide, où les forces d’interaction moléculaire caractérisent sa liquidité, le mouve-ment des molécules est contrôlé par la conservation d’une distance entre ces molécules corres-pondant environ à leur taille. Cependant, dans la phase gazeuse, ces forces n’interviennent que très peu. Les molécules d’un gaz sont en mouvement désordonné sans prendre en considération les grandes distances entre eux par rapport à leur dimension.
C’est à partir de son coefficient de compressibilité que nous distinguons un liquide d’un gaz. Ce coefficient, ayant la dimension de l’inverse d’une pression, est défini comme étant « le rapport de la diminution relative de volume à l’augmentation de pression, et ce à température constante ». Dans la pratique, une augmentation de pression de 2.1015 Pa se traduit par une diminution de volume de l’eau égale à un dix-millième du volume initial. Cependant que pour les gaz : à une pression voisine de la pression atmosphérique normale, la compressibilité de l’air est 20 000 fois plus grande que celle de l’eau !
Un écoulement gazeux est considéré comme incompressible si la vitesse de l’écoulement est très petite par rapport à celle du son. Autrement dit, si son nombre de Mach (rapport entre la vitesse de l’écoulement et la vitesse du son) est très inférieur à 1. Pratiquement, l’hypothèse d’écoulement incompressible est faite lorsque le nombre de Mach est inférieur à 0,3 en tout point de l’écoulement. Elle est donc très utilisée en aérodynamique pour des véhicules dont la vitesse ne dépasse pas 400 km/h.

Les fluides et le corps humain

Dans le corps humain, plusieurs fluides s’écoulent à chaque instant. L’eau, le fluide le plus présent dans chaque cellule humaine, n’est pas le seul fluide essentiel à la vie humaine. L’air inspiré et l’air expiré, qui forment un exemple d’un ensemble fluide-gaz, circulent dans l’appareil respiratoire humain et dans des branches de dimensions différentes dont la forme géométrique est moins fréquent parmi les domaines habituels de fluide rencontrés dans l’industrie et dans la nature. Le sang, nécessaire à la fonction des organes vivants et ayant les propriétés des fluides non newtonions, coule d’une manière non stationnaire de l’artériole à une veinule où le nombre de Reynolds varie avec la taille des vaisseaux.
Plusieurs exemples pratiques, provenant des travaux dans le domaine de la biomécanique des fluides, nous donnent une idée claire et chiffrée des variations de pressions et de nombre de Reynolds qui entrainent une modification totale de la nature de l’écoulement. Prenons cet exemple de [46] : les « changements très importants de niveau de pression peuvent être observés entre les bas niveaux de pression (inférieurs à 30 mmHg ≈ 4104 Pa) de la circulation pulmonaire et les hauts niveaux de pression (jusqu’à 120 mmHg ≈ 16104 Pa) de la circulation systémique », alors que « l’écoulement du sang s’effectuant dans des conduits de calibres variant de plus de trois ordres de grandeur » ce qui provoque que « le nombre de Reynolds diminue de 6 ordres de grandeur » .

Fluides visqueux

La viscosité d’un fluide, qui est la propriété inverse de la fluidité, est la caractéristique de résistance au glissement ou à la déformation d’un fluide. Ces forces de résistance proviennent du fait que les couches des fluides en mouvement ne peuvent pas glisser indépendament et libre-ment les unes sur les autres. Ce qui donne naissance à des forces des frottement qui s’opposent directement à l’écoulement. Cette viscosité, dite dynamique, s’exprime comme le quotient d’une masse par une vitesse (l’unité est le poiseuille noté Pa.s ou N.s.m−2 dans le système MKSA), et dépend de la température. Dans un liquide, elle est inversement proportionnelle à la tempé-rature. Au contraire, elle augmente avec la température dans le cas d’une phase gazeuse.
On mesure la viscosité dynamique d’un fluide, généralement fluide newtonien, à l’aide d’un viscosimètre. On distingue plusieurs genres de viscosimètres comme le viscosimètre à tube capillaire et le viscosimètre à chute de bille. Par exemple, avec un viscosimètre à tube capillaire on mesure le temps d’écoulement d’un liquide visqueux à travers un tube mince. Sachant que ce temps est proportionnel à la viscosité, on peut la calculer. On note aussi qu’il y a d’autre appareils qui mesure la viscosité comme le rhéomètre. Cet instrument mesure directement les contraintes et les taux de déformation.

Fluides parfaits

Un fluide parfait, dont l’écoulement se fait « sans frottements internes », est un fluide considéré comme non visqueux. Le modèle du fluide parfait permet de rendre compte assez convenable-ment de la structure de certaines régions d’écoulements réels ou de la modéliser, mais jamais de la structure complète de ceux-ci. Une des caractéristiques principales de la mécanique des fluides apparaît ici : pour représenter des faits ou des observations, elle fait appel à des modèles, dont le degré de raffinement est variable. En raison de l’extrême complexité des phénomènes qu’elle tente de décrire, elle ne peut se passer de tests expérimentaux (réalisation de maquettes, testées dans un bassin, qui serviront à la conception des navires ; essais en soufflerie pour la construction aéronautique, etc.).

Les fluides newtoniens

Ces fluides sont les fluides qui ont une viscosité indépendante de la contrainte appliquée.
Exemples : eau, la plupart des solvants, huiles minérales.

Les fluides non newtoniens

Le caractère non newtonien le plus répandu est la variation de la viscosité avec la vitesse de cisaillement. Ce type de comportement est de loin le plus fréquent. Il concerne les polymères à longues chaînes en solution ou à l’état fondu, les pâtes à papier, les colles, les ciments.
Nous distinguons :
1. Fluides rhéofluidifiants que l’on nomme également pseudoplastiques : la viscosité de ces fluides diminue si la contrainte augmente. C’est le cas du sang, des polymères liquides à longue chaîne, des jus de fruits, des pâtes à papier, des colles et des ciments, des sham-poing.
2. Fluides à seuil ou plastiques ou fluides de Bingham : Ces fluides ne s’écoulent que si la contrainte appliquée est supérieure à une valeur seuil. Exemple : Dentifrice 4.
3. Fluides rhéoépaississants : ces fluides voient leur viscosité s’accroître lorsque la contrainte augmente. C’est le cas de certains amidons dans l’eau.
4. Fluides thixotropes : Les fluides thixotropes sont des fluides ayant une mémoire à courte et à grande échelle. Le comportement à un instant t d’un fluide thixotrope est fonction des contraintes subies dans un passé récent (mémoire à courte échelle). Lorsque la contrainte
4 La pâte dentifrice ne peut sortir du tube sous l’effet de son propre poids, il faut lui appliquer une contrainte nettement supérieure pour qu’elle s’écoule.
disparaît, le fluide recouvre ses propriétés d’origine (mémoire à grande échelle). Exemple : ketchup, yaourt.

Viscoélasticité linéaire

Un autre comportement non newtonien très important est le caractère viscoélastique, très fréquent dans les solutions de polymères et dans les polymères fondus. C’est un comportement visqueux (liquide) et élastique (solide). La réponse du fluide à une déformation présente à la fois un aspect visqueux (contrainte proportionnelle à la vitesse de déformation) et un aspect élas-tique (contrainte proportionnelle à la déformation). Un exemple typique de fluide viscoélastique est la pâte « silly-putty » : une boule de silly-putty apparaît comme une boule de caoutchouc (aspect solide) ou s’étale comme un fluide visqueux (aspect liquide).

Fluides compressibles ou fluides incompressibles

Un fluide est dit incompressible lorsque sa masse volumique ne dépend pas de la pression ou de la température. Généralement, en statique des fluides, les liquides sont considérés comme incompressibles et les gaz sont compressibles. C’est la nature de l’écoulement qui permet de distinguer l’écoulement compressible de l’écoulement incompressible et non la nature du fluide.

Les écoulements des fluides

Dans la vie quotidienne, dans la nature et dans le domaine industriel, les écoulements sont toujours présents. La circulation de l’oxygène dans notre organisme est l’un des exemples de l’importance de l’écoulement dans la vie humaine. Les tsunamis, les cyclones ou les coulées de lave sont aussi des exemples de l’écoulement mais qui conduisent quelquefois à de grand dégâts pour l’humanité.
A part le critère physique qui distingue écoulements compressibles et incompressibles, ainsi que écoulements visqueux et non visqueux, il existe d’autres critères qui distinguent les écoule-ments de fluides.
1. Le critère géométrique :
• Les écoulements internes : ils s’effectuent à l’intérieur d’une conduite. Exemples : rivière, canal.
• Les écoulements externes : ils se font autour des corps solides, par exemple un navire ou un avion.
2. Le critère cinématique :
• Les écoulements uniformes, si ses composantes de vitesse sont indépendantes des coordonnées d’espace.
• Les écoulements permanents ou stationnaires, si ses composantes de vitesse sont indépendantes de la variable temps.
Fig. 1.9 – Vague de tsunami (à gauche) ; Cyclone en Australie de l’ouest (à droite).
Un écoulement peut également être tourbillonnaire : le cyclone en est l’exemple typique ; de la même façon, lors d’une promenade en bateau, on peut observer des tourbillons dans le sillage de l’embarcation.
En aérodynamique, le nombre de Mach ε permet de distinguer l’écoulement subsonique (ε < 1), l’écoulement supersonique (1 < ε < 5) et hypersonique (ε > 5) . Si le nombre de Mach est proche de l’unité, l’écoulement est dit transsonique. Les écoulements subsonique et super-sonique se comportent de manière très différente, l’écoulement transsonique étant caractérisé par des instabilités (le fameux « mur du son »).
Une dernière distinction concerne les écoulements laminaires où l’écoulement peut être dé-crit comme un ensemble de lames (filets, couches) de fluide qui glissent les unes sur les autres et les écoulements turbulents où on ne peut plus définir de lames fluides qui garderaient leur in-dividualité. Un écoulement turbulent est caractérisé par son irrégularité temporelle et spatiale. Les exemples d’écoulements turbulents ne manquent pas : torrents, sillages d’avion…
Plus la viscosité d’un fluide est grande, plus le régime turbulent s’établit difficilement. Le passage de l’écoulement laminaire à l’écoulement turbulent se fait à partir d’une certaine valeur de la vitesse moyenne. Le diamètre du tube dans lequel se produit l’écoulement joue également un rôle dans la transition de l’état laminaire à l’état turbulent. L’influence de ces trois gran-deurs est décrite par un nombre, sans dimension physique, appelé nombre de Reynolds Re5, une valeur du nombre de Reynolds caractérise le type de l’écoulement.
On admet que :
– si Re < 2 000, l’écoulement est laminaire ;
– si 2 000 < Re < 8 000, on a un écoulement de transition ;
– si 8 000 < Re, l’écoulement est turbulent.
Fig. 1.11 – Spot Turbulent : On observe sur la figure un « spot turbulent », domaine au sein duquel l’écoulement apparaît désordonné, entouré d’un écoulement laminaire. Les contours de ce spot se déforment au cours du temps, mais la part de l’écoulement qu’il occupe, la fraction turbulente, demeure essentiellement constante. Source : http ://www-drecam.cea.fr/ComScience
Fig. 1.12 – Anneau hexagonal de fumée. La croissance des vagues autour d’un angle de l’hexagone s’appelle souvent l’instabilité de Widnall, elle a produit un modèle remarquablement symétrique de fumée en air (à gauche). La fumée à un nombre de Reynolds environ de 13.000 (à droite). Source : An Album of Fluid Motion [98].

Rhéologie

Rhéologie : «Branche de la mécanique qui étudie le comportement des matériaux lié aux contraintes et aux déformations ».
Le Petit Robert.
Mot créé aux États Unis en 1929 par Eugène Cook Bingham (1878-1945). La rhéologie est une science qui traite de l’écoulement, des déformations, et plus généralement de la viscosité des matériaux sous l’action de contraintes. La rhéologie est capable d’intégrer l’étude de l’ensemble des substances, qu’elle soient liquides (surtout liquides épais) ou solides (en particulier solides pâteux).

Table des matières

I Introduction générale 
1 La mécanique des fluides : de l’histoire aux applications 
1.1 Introduction
1.2 La mécanique des fluides
1.2.1 Une partie de l’histoire de la mécanique des fluides
1.2.2 La mécanique des fluides : de l’aéronautique à la géophysique
1.2.3 Subdivisions de la mécanique des fluides
1.3 Les fluides
1.3.1 Qu’est-ce qu’un fluide ?
1.3.2 Fluides : liquides ou gaz
1.3.3 Les fluides et le corps humain
1.3.4 Fluides visqueux
1.3.5 Fluides parfaits
1.3.6 Les fluides newtoniens
1.3.7 Les fluides non newtoniens
1.3.8 Viscoélasticité linéaire
1.3.9 Fluides compressibles ou fluides incompressibles
1.4 Les écoulements des fluides
1.4.1 Rhéologie
1.5 Bibliographie
2 Introdution : la problématique, les équations et les résultats 
2.1 Description d’un fluide en mouvement
2.1.1 Conservation de la masse ou équation de continuité
2.1.2 Notion de viscosité dans un fluide en mouvement
2.1.3 Conservation de l’impulsion ou équation du mouvement
2.1.4 Conservation du moment angulaire
2.1.5 Conservation de l’énergie du fluide
2.2 Equation des fluides isothermes
2.2.1 Ecoulement stationnaire
2.2.2 Les équations de Stokes
2.3 Comportement non-newtonien
2.4 Modèle d’Oldroyd
2.5 Modèle d’Oldroyd-B : cas d’un fluide viscoélastique non stationnaire incompressible
2.5.1 Quelques résultats
2.6 Modèle d’Oldroyd-B : cas d’un fluide viscoélastique faiblement compressible
2.6.1 Écoulement d’un fluide faiblement compressible stationnaire dans un domaine borné avec des conditions aux bords de type « rentrantes-sortantes »
2.6.2 Écoulements de fluides viscoélastiques viscoélastiques, stationnaires et faiblement compressibles de type Oldroyd dans un domaine borné avec coins
2.6.3 Existence globale de solutions régulières à petites données et limite incompressible pour des écoulements de fluides viscoélastiques faiblement compressibles
II Analyse mathématique de quelques écoulements de fluides viscoélastiques faiblement compressibles et stationnaires dans un domaine singulier
3 Écoulements de fluides viscoélastiques, stationnaires et faiblement compressibles à travers un domaine borné avec des conditions aux bords de type « rentrantes-sortantes » 
3.1 Introduction
3.2 Modélisation
3.2.1 Écoulement de fluides viscoélastiques compressibles
3.2.2 Équations sans dimension
3.2.3 Écoulement de fluides faiblement compressibles
3.2.4 Description du domaine
3.3 Notations et résultat
3.3.1 Notations, espaces et normes
3.3.2 Résultat principal
3.4 Formulation du problème
3.4.1 Changement de variables
3.4.2 Linéarisation du problème non linéaire
3.5 Résolution des problèmes auxiliaires
3.5.1 Résolution du problème concernant la pression p
3.5.2 Résolution du problème concernant le tenseur τ
3.5.3 Existence et unicité du vecteur vitesse u
3.6 Résolution du problème linéaire
3.7 Estimations
3.7.1 Estimations de f0, g0 et h0
3.7.2 Estimations de F, G et H
3.8 Résolution du problème non linéaire
3.8.1 Application contractante et point fixe
3.8.2 Preuve du théorème 3.3.1
4 Écoulements de fluides viscoélastiques viscoélastiques, stationnaires et faiblement compressibles de type Oldroyd dans un domaine borné avec coins
4.1 Introduction
4.2 Modélisation et Description du domaine
4.2.1 Modèle d’écoulement d’un fluide compressible
4.2.2 Description du domaine
4.2.3 Équations sans dimension
4.2.4 Modèle d’écoulement d’un fluide faiblement compressible
4.3 Notations, espaces et normes
4.3.1 Les espaces de Hölder et de Sobolev avec poids
4.3.2 Résultat principal
4.4 Formulation du problème
4.4.1 Transformation du problème
4.4.2 Linéarisation du problème non linéaire
4.5 Résultats préliminaires
4.5.1 Espaces, définitions et lemmes préliminaires
4.5.2 Résultats modifiés des problèmes classiques
4.6 Résolution du problème du transport
4.7 Résolution du problème linéaire
4.7.1 Preuve du théorème 4.7.1
4.8 Résolution du problème non linéaire
4.8.1 Preuve du théorème 4.3.4
III Sur la limite d’un écoulement de fluides viscoélastiques, compressible et non stationnaire, pour un faible nombre de Mach
5 Existence globale de solutions régulières à petites données et limite incompressible pour des écoulements de fluides viscoélastiques faiblement compressibles
5.1 Introduction
5.2 Modélisation
5.2.1 Écoulement de fluides viscoélastiques compressibles non stationnaires
5.2.2 Définitions mathématiques des quantités physiques
5.2.3 Conditions bien préparées
5.2.4 Équations sans dimension
5.3 Notations et résultats principaux
5.3.1 Résultats principaux
5.4 Existence et unicité de solutions locales
5.4.1 Problème linéaire
5.4.2 Problème linéaire concernant la vitesse u
5.4.3 Équations de transport en densité σ et en contraintes τ
5.4.4 Preuve du Théorème 5.4.1
5.5 Estimations
5.6 Estimation de div u à l’intérieur de
5.7 Estimation de div u sur ∂
5.7.1 Estimation a priori des dérivées normales de div u sur ∂
5.8 Existence globale
5.8.1 Preuve du théorème d’existence globale 5.3.1
5.9 Passage à la limite
IV Perspectives 
6 Perspectives 
6.1 Étude mathématique d’écoulements de fluides viscoélastiques viscoélastiques, stationnaires et faiblement compressibles de type Oldroyd dans un polygone convexe ou non convexe
6.2 Écoulements de fluides viscoélastiques, stationnaires, faiblement compressibles et non isothermes avec des conditions au bord de type « rentrantes-sortantes »
6.3 Limite incompressible pour des écoulements de fluides viscoélastiques faiblement compressibles avec des conditions bien ou mal préparées
V Bibliographie et Index 
Références
Index thématique général

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