Nettoyage de feuilletages

Sur deux questions connexes de connexité concernant les feuilletages et leurs holonomies

Existence des champs de Szekeres

Théorème 1.1 (Szekeres). Tout difféomorphisme f ∈ Dr ([a, b[), r ≥ 2, sans point fixe dans ]a, b[ est le temps 1 du flot d’un champ de vecteurs de classe C 1 sur [a, b[ et C r−1 sur ]a, b[. On appellera champ de Szekeres de f tout champ de vecteurs ayant ces propriétés. On verra dans la section suivante qu’un tel champ est en fait unique. La proposition 1.3 donne des informations plus précises sur ce champ, qui seront utiles au chapitre 3. Remarque 1.2. Si f n’est pas C r -tangent à l’identité en a, un théorème de F. Takens [Ta] (cf. théorème 3.4) affirme que f admet un champ de Szekeres de classe C r−1 sur [a, b[. En revanche, il existe des difféomorphismes f ∈ D∞([a, b[) (infiniment tangents à l’identité en a) qui ne sont pas sur un flot C 2 (cf. chapitre 2). Ce défaut de régularité motive toute la première partie de cette thèse et nous complique bien la tˆache dans la seconde (cf. chapitre 5). Etant donné ´ f ∈ Dr ([a, b[), on pose η0 = (f − Id)∂x et ηk = (f k ) ∗ (η0) pour k ≥ 1. Ces champs de vecteurs sur [a, b[ sont de classe C r et C r−1 respectivement. Proposition 1.3. Soit f ∈ Dr ([a, b[) satisfaisant f(x) < x pour tout x ∈ ]a, b[. 

La suite ηk converge C

1 -uniformément sur tout compact de [a, b[ vers un champ ηf = η∞ dont f est le flot au temps log Df(a) Df(a)−1 (1 si Df(a) = 1) . 2. La convergence de ηk est C r−1 -uniforme sur tout compact de ]a, b[. La restriction de ηf à ]a, b[ est donc C r−1 . 3. Pour tous 0 ≤ i, j ≤ ∞ et tout c ∈ ]a, b[, sup ]a,c]     log ηj ηi     ≤ D log Df | [a,c] 0 (c − a). 4. Si (f − Id) | [a,c] 2 < δ < 1 pour un c ∈ ]a, b[, sup [a,c] |Dηk| < δ + δ(c − a) 1 − δ e δ(c−a) 1−δ pour tout 0 ≤ k ≤ ∞. Démonstration du théorème 1.1 à partir de 1.3. Si f ∈ Dr ([a, b[) satisfait f(x) < x pour tout x ∈ ]a, b[, le champ log Df(a) Df(a)−1 ηf est un champ de Szekeres de f. Dans le cas contraire, on applique la proposition 1.3 à f −1 , qui est donc le temps 1 du flot de log Df−1 (a) Df−1(a)−1 ηf−1 , et l’opposé de ce champ de vecteurs fournit un champ de Szekeres de f. Corollaire 1.4. Soient a, b ∈ R, a < b. Si f ∈ Dr ([a, b[), sans point fixe dans ]a, b[, vérifie kf − Idk2 < δ < 1, alors f admet un champ de Szekeres ν satisfaisant sup ]a,b[     log ν f − Id     < u(δ) et sup [a,b[ |Dν| < u(δ) pour une fonction u: [0, 1[ → R indépendante de f et tendant vers 0 en 0. Remarque. La fonction u dépend a priori de la longueur du segment [a, b] mais peut ˆetre choisie indépendante de cet intervalle si par exemple on sait que [a, b] ⊂ [0, 1] (cf. chapitre 3 o`u le corollaire 1.4 est utilisé). Notons que si f est un difféomorphisme du segment [a, b] préservant l’orientation et sans point fixe dans ]a, b[, il possède (au moins) un champ de Szekeres sur [a, b[ et un autre sur ]a, b]. En général cependant, f n’appartient pas à un flot C 1 sur [a, b] tout entier (cf. Kopell [Ko] et Mather [Ma2]). Démonstration de la proposition 1.3. On s’inspire ici des preuves du théorème de Szekeres données par Yoccoz dans [Yo] et A. Navas dans [Na]. La clef de la démonstration est l’étude de la fonction θ définie sur [a, b[ par θ(x) = log Z 1 0 Df.