Les inégalités géométriques de type isopérimétrique

Inégalités fonctionnelles et iso périmétrie pour des modèles continus cas d’égalités et phénomènes de rigidité

Introduction générale dans le cadre continu

Ce chapitre introductif présente les éléments de base de notre rapport. Nous mettons l’accent sur les inégalités géométriques de type isopérimétrique et les inégalités fonctionnelles telles que les inégalités de Sobolev, Sobolev logarithmique et trou spectral. Ces inégalités fonctionnelles et géométriques sont présentées d’abord dans leur cadre naturel qui est celui des variétés riemanniennes. Ces inégalités ont été étendues, par Bakry et Émery, dans un cadre plus abstrait qui fait appel à des opérateurs de diffusions. En particulier, nous nous intéressons à l’obtention de ces inégalités avec des constantes optimales. L’accent est mis sur la rigidité et la stabilité de ces inégalités. Notons que les travaux ré- cents, menés notamment par l’école italienne, dus à la notion de minoration de courbure de Ricci sur des espaces métriques mesurés ont abouti à l’établissement de ces inégalités avec constantes optimales dans ce cadre plus général.

Éléments de géométrie riemannienne

Cette section présente très succinctement quelques éléments de géométrie riemannienne en lienavec les thèmes de la thèse, notamment la notion la courbure de Ricci. Pour une présentation plus complète, nous renvoyons le lecteur à des ouvrages de références tels que [Cha] ou [G-H-L]. Nous(t)+R(t)J (t) = 0. Alors R(t) est une matrice symétrique et R(t) (t ) =0 .D eplus ,l aquantit é tr(R(t) )n edépen dqu ed upoin t x = ( t) et duvecte u r v= ( t) .Enparticul iere lle estindépenda nt edurep èrechoi si .Onp eutai nsidéfi nLe problème isopérimétrique consiste à trouver le profil isopérimétrique ainsi que les ensembles atteignant l’infimum à mesure fixée. C’est en général un problème très difficile ; il est complètement résolu dans peu d’espaces. Un catalogue récent de ces espaces sont décrits dans [E-M], appendice.

La culture est difficile en raison des multiples exigences métaboliques. Le CO2 est nécessaire à la croissance du gonocoque (8 à 1 0 %). La température optimale de croissance est de 36 à 37°C. Le gonocoque est sensible aux acides gras contenus dans la gélose d’où la nécessité d’ajouter de l’hémine, du sang ou d e l’amidon pour prévenir cette toxicité. Il e st aussi sensible aux métaux lourds. L’exigence en cystéine est caractéristique de l’espèce. Certaines souches sont exigeantes en glutamine, thiamine, ou thiamine pyrophosphate. Ces composés devront être ajoutés au milieu après stérilisation. Le fer est également indispensable. La croissance de N. gonorrhoeae est inhibée par certaines espèces (streptocoque hémolytique du gr oupe B, levures) aussi ajoute-t-on les antibiotiques dans le milieu de culture sélectif (Milieu VCF ou VCN) .

Cette variabilité génétique peut expliquer la chronicité des infections non traitées et l’absence de protection contre les réinfections. Elle permet aussi de comprendre les difficultés de la mise au point d’un vaccin. Les infections gonococciques disséminées sont liées à u ne déficience en certains composants du complément, en particulier C6, C7 et C8, qui entraîneraient une prédisposition aux infections à N. gonorrhoeae.

Soutenu le 31 Octobre 2007 Résumé: La baisse de la fertilité des sols dans les pays sahéliens a entraîné une baisse de la productivité des écosystèmes. Pour réhabiliter ces sols appauvris en éléments minéraux (N et P), des expériences de revégétalisation ont été conduites dans ces régions en utilisant des légumineuses ligneuses exotiques à croissance rapide comme les acacias australiens : exemple Acacia mangium. Il a été démontré que leur croissance pouvait être significativement stimulée en leur inoculant des souches de rhizobia ou de champignons mycorhiziens préalablement sélectionnés quant à leur impact sur le développement de la plante hôte. Toutefois des résultats récents ont montré l’importance de la diversité des communautés de symbiotes fongiques pour le maintien de la productivité de la strate végétale épigée. Ces résultats intéressent tout particulièrement les symbiotes mycorhiziens à arbuscules mais il n’existe pas de données concernant la symbiose ectomycorhizienne. Les résultats ont montré que l’inoculation avec des Rhizobia et/ou des champignons améliore la croissance de Acacia mangium. L’étude de l’influence de la diversité des champignons ectomycorhiziens sur la croissance de A. mangium a montré que la diversité des champignons ectomycorhiziens améliore significativement la croissance de cette essence exotique. L’effet de la combinaison des souches sur la mycorhization a été étudié. Ces résultats ont permis de voir que le taux de mycorhization était amélioré par la diversité de souches fongiques dans l’inoculum. Cette combinaison de souches fongiques augmente significativement le nombre de nodules par plant. Les dosages des taux de phosphore et d’azote a montré que la diversité des champignons ectomycorhiziens augmente significativement le taux de phosphore et d’azote dans les parties aériennes de la plante. Bien qu’ayant été obtenus dans des conditions contrôlées, ces résultats mettent en exergue l’importance de la conservation et de la valorisation de la diversité des communautés de champignons ectomycorhiziens afin d’assurer la pérennité des écosystèmes forestiers et de promouvoir la productivité des plantations forestières Mots clés : Acacia mangium, Champignons ectomycorhiziens, Diversité, Nodulation, Croissance.