ALGEBRE DE LORENTZ ET ALGEBRE DE POINCARE

ALGEBRE DE LORENTZ ET ALGEBRE DE POINCARE

GROUPE DE LIE ET ALGEBRE DE LIE 

 GROUPES ALGEBRIQUES

Un groupe algébrique sur un corps K est une structure de variété algébrique G sur un corps K. Notre objectif dans ce chapitre est d’étudier les groupes algébriques linéaires : ceuxci correspond aux cas oú c’est le lieu des zéros d’une famille de polynômes dans K[x1, · · · , xn]. La plupart des sous-groupes usuels GL(K) correspondent à des groupes algébriques linéaires. Ces résultats sont référenciés . 

Ensembles algébriques 

Dénition 1. Soit K un corps et A = Kn. On dit qu’un ensemble S est un ensemble algébrique s’il existe une famille {Pi(x1, · · · , xn)}i∈I de polynômes sur K[x1, · · · , xn] telle que S = {(x1, · · · , xn) ∈ A/Pi(x1, · · · , xn) = 0 pour tout i ∈ I}. Autrement dit est l’ensemble des solutions d’un système de polynômes nuls. Exemple 1. 1. Le cercle unitaire est un ensemble algébrique. En eet, le cercle unitaire s’exprime sous la forme : S = {(x, y) ∈ R 2 : x 2 + y 2 = 1} = {(x, y) ∈ R 2 |P1(x, y) = 0} oú P1(x, y) = x 2 + y 2 − 1. Alors le cercle de centre (0, 0) et de rayon 1 est un ensemble algébrique. 2. On considère K = R, A = R 2 et S = {(x, y) ∈ R 2 |P1(x, y) = 0 et P2(x, y) = 0} avec P1(x, y) = x 2 + y 2 − 1 et P2(x, y) = x − y. L’ensemble S est l’intersection entre le cercle de centre (0, 0) et de rayon 1 et la première bissectrice, on montre que S = {( √ 2 2 , √ 2 2 ),(− √ 2 2 , − √ 2 2 )}. 3. On considère que A = R 3 et S = {(x, y, z) ∈ R 3 |P1(x, y, z) = 0 et P2(x, y, z) = 0} oú P1(x, y, z) = x 2 +y 2 +z 2 −1 et P2(x, y, z) = x+y +z. Dans ce cas, S est l’intersection entre la sphère et le plan qui est un disque. 

 Homomorphismes d’ensembles algébriques

 Soit S1 et S1 deux ensembles algébriques tels que S1 ⊂ Kn et S2 ⊂ Km. On dit que f est un homormorphisme d’ensembles algébriques si pour tout (x1, · · · , xn) ∈ S1, on 11 12 CHAPITRE 1. GROUPE DE LIE ET ALGEBRE DE LIE a f(x1, · · · , xn) = (y1, · · · , ym) tel que yi = Pi(x1, · · · , xn) pour tous i = 1, · · · , m. On dira que f est une fonction polynômiale. Exemple 2. On considère que S1 = {(x, y, z) ∈ Q3 |x 2 +y 2 +z 2 = 1}, S2 = {(x, y) ∈ R 2 |x = y} et f : S1 → S2 dénit par f(x, y, z) = (x 2 −1, −y 2 −z 2 ). En eet, pour tout (x, y, z) ∈ S1, on a x 2 + y 2 + z 2 = 1, ce qui implique que x 2 − 1 = −y 2 − z 2 . On pose X = x 2 − 1 et Y = −y 2 − z 2 , alors on a X = Y , par la suite on a f(x, y, z) = (X, Y ) ∈ S2. Donc f est bien dénit et est un homorphisme d’ensembles algébriques. Exemple 3. On considère l’ensemble algébrique S = {(x, y, z, t) ∈ K4 |xt − yz = 1} et l’application Ω: S→M2(K) dénit par Ω(x, y, z, t) =  x y z t , alors Im(Ω) est un ensemble algébrique. 

 Groupe linéaire général 

Soit K un corps et V un K espace vectoriel. On dénit par GL(V ) = {T : V → V |T linéaire et bijective }. GL(V ) munit de la loi de composition des applications est un groupe. On appelle (GL(V ), ◦) le groupe linéaire général. Si est de dimension nie (dim V = n ), on peut dénir le groupe comme une représentation matricielle : GL n (K) := {M ∈ Mn(K)| det(M) 6= 0}, dans ce cas, on peut montrer le thérème suivant : Théorème 1. Soit K un corps et V un K-espace vectoriel de dimension n, alors on a GL(V ) est isomorphe à GLn(K) Dénition 2. Un groupe G est dit groupe algébrique si G est un sous-groupe de GLn(K) et G est un ensemble algébrique. Exemple 4. On considère l’ensemble SL2(K) dénit par SL 2 (K) = {M ∈ M2(K)| det(M) = 1} En eet, SL2(K) est un sous-groupe de GL2(K) et il est aussi un ensemble algébrique car SL2(K) = Im(Ω). On peut conclure que SL2(K) est groupe linéare algébrique. En général, SLn(K) est aussi un groupe linéaire algébrique. Remarque 1. Tout groupe G isomorphe à un groupe linéaire algèbrique est aussi linéaire algébrique. Exemple 5. On considère l’ensemble S = {(x, y, z, t) ∈ K4 |xt − yz = 1} est un groupe linéaire algébrique car S est isomorphe à SL2(K) qui est un groupe linéaire algébrique. Exemple 6. Z2 est un groupe linéaire algébrique. Pour faire la preuve, on montre que Z2 est isomorphe à un groupe linéaire algébrique. Montrons que Z2 est isomorphe à G = {−1, 1}. On sait que (Z2, +) et (G, .) sont des groupes. Pour prouver que Z2 est isomorphe à G. On considère l’application ϕ: Z2 → G telle que ϕ(0) = 1 et ϕ(1) = −1. 1. ϕ est un homomorphisme car ϕ verie les conditions suivantes :  ϕ(0 + 1) = ϕ(1 + 0) = ϕ(0).ϕ(1) ϕ(1 + 1) = ϕ(1).ϕ(1)  ϕ(0 + 0) = ϕ(0).ϕ(0). 2. ϕ est surjective par dénition et on a de plus dim Z2 = dim G, alors ϕ est une application bijective. On peut conclure que Z2 est isomorphe à G. Comme G peut être exprimer sous la forme G = {x ∈ R|x 2 − 1 = 0} = {x ∈ R|P(x) = 0}, alors G est un ensemble algébrique. De plus G est un sous-ensemble de R ∗ = GL1(R). On peut dire que G est un groupe linéaire algébrique, ce qui implique que Z2 est aussi un groupe linéaire algébrique. Proposition 1. Soit un sous-ensemble de M2(R), on dénit l’application φ par : φ: C → A (a + ib) →  a b −b a , alors φ est un isomorphisme Preuve :  Pour tous x, y ∈ C et pour tout λ ∈ R, on a φ(x + λy) = φ(x) + λφ(y), donc φ est une application linéaire.  Soit x ∈ ker(φ), alors φ(x) =  a b −b a =  0 0 0 0 , ce qui implique a = b = 0, d’oú x = 0. Alors φ est injective.  φ est surjective par dénition.  On a aussi pour tous x, y ∈ C : φ(x.y) = φ((a + ib)(c + id)) = φ(ac − bd + i(bc + ad)) =  ac − bd bc + ad −(bc + ad) ac − bd =  a b −b a .  c d −d c φ(x.y) = φ(x).φ(y), donc φ est un homorphisme. On peut conclure que φ est un isomorphisme. Exemple 7. Z3 est groupe linéaire algébrique. Pour faire la preuve, on montre que Z3 est iomorphe à groupe linéaire algébrique. (1) Montrons que Z3 est isomorphe à G = {1, ω, ω2} oú ω = exp( 2πi 3 ). On considère l’application φ: Z3 → G dénit par φ(0) = 1, φ(1) = ω et φ(2) = ω 2 .  On a φ(x + y) = φ(x).φ(y), alors φ est un homorphisme.  φ est surjective par dénition et on a de plus dim(Z3) = dim(G) = 3, alors φ est bijective. On peut conclure que Z3 est isomorphe à l’ensemble G. (2) Écrivons ω et ω 2 sous leurs formes algébriques : ω = cos(2π 3 ) + isin(2π 3 ) = 1 2 + +i √ 3 2 ω 2 = cos(4π 3 ) + isin(4π 3 ) = − 1 2 + i √ 3 2 14 CHAPITRE 1. GROUPE DE LIE ET ALGEBRE DE LIE En faisant quelques calculs, on obtient ω 3 = 1, alors on peut conclure que G est un groupe. Comme G est un sous-groupe de C, d’sprès la proposition 1, on a G est isomorphe à A0 oú A 0 = 1 0 0 1 ,  1/2 √ 3/2 − √ 3/2 1/2  ,  −1/2 √ 3/2 − √ 3/2 1/2  . A0 est un groupe formé de matrices inversibles, alors A0 est sous-groupe de GL2(R). De plus A0 peut être écrit sous la forme A0 = x y z t |x − t = 0, x + y = 0, x2 + y 2 = 1 , ce qui implique que A0 est un ensemble algébrique. Donc A0 est un groupe linéaire algébrique. Comme G est isomorphe à A0 , alors G est un groupe lin’eaire algébrique. On peut conclure que Z3 est un groupe linéaire algébrique. Théorème 2. Zn est un groupe linéaire algébrique pour tout n ≥ 2. Démonstration. On fait la démonstration de manière analague. (1) Montrons que Zn est isomorphe à G = {1, ω, · · · , ωn} oú ω = exp( 2πi n ). On considère l’application ψ: Zn → G dénit par ψ(k) = ω k .  On a ψ(k + k 0) = ψ(k).ψ(k 0), alors ψ est un homorphisme de groupes.  ψ est surjective par dénition et dim(Zn) = dim(G) = n, alors ψ est bijective. On peut conclure que Zn est isomorphe à G. (2) D’après la proposition 1, on a G est isomorphe à G0 oú G 0 = 1 0 0 1 ,  cos(2π/n) sin(2π/n) − sin(2π/n) cos(2π/n)  , · · · ,  cos(2(n − 1)π/n) sin(2(n − 1)π/n) − sin(2(n − 1)π/n) cos(2(n − 1)π/n)  . Ensuite, on sait que G0 peut s’exprimer sous la forme : G 0 = x y z t ∈ M2(F)|x − t = 0, y + z = 0, x2 + y 2 = 1 . D’après cette expression de G0 , on peut dire que G0 est un ensemble algébrique et de plus un sous groupe de GL2(F) car il est composé des matrices inversibles de M2(F). Ce qui nous permet de dire que G isomorphe à G0 est un sous-groupe algébrique. On peut conclure que Zn est groupe linéaire algébrique. Théorème 3. Tout corps intégre est un groupe linéaire algébrique. Démonstration. Soit K∗ un corps intégre, alors pour tous λ, µ ∈ K, on a λµ = 1. On montre facilement que K∗ est isomorphe à G oú G = λ 0 0 µ  |∀λ, µ ∈ K∗ , λµ = 1 qui est un groupe linéaire algébrique. Alors K∗ est aussi un groupe linéaire algébrique. Théorème 4. Soient G et H deux groupes linéaire algébriques, alors le produit cartésien G × H est aussi un groupe linéaire algébrique.

Caractère d’un groupe

 Dénition 3. Soit G un groupe quelconque, K un corps, tout homorphisme de groupe φ: G → K∗ est appelé caractère. Proposition 2. Soient φ1 et φ2 deux caractères, on dénit le produit de deux caractères par φ1φ2 : G → K∗ tel que φ1φ2(g) = φ(g)φ2(g). Alors φ1φ2 est un caractère sur G. Démonstration. on a : φ1φ2(hg) = φ(hg)φ2(hg) = φ1(h)φ1(g)φ2(h)φ2(g) = φ1(h)φ2(h)φ1(g)φ2(g) φ1φ2(hg) = φ1φ2(h)φ1φ2(g) Donc φ1φ2 est un caractère. Dénition 4. Soit G un groupe et K un corps. on dénit par : H(G) := {φ: G → K ∗ |φ soit un caractère } Proposition 3. H(G) munit de la loi de compositions des applications est un groupe. La loi ◦ est dénit par ◦ : H(G) × H(G) → H(G) (φ1, φ2) → φ1 ◦ φ2 Démonstration.  On considère ξ : G → K∗ telle que ξ(g) = 1 pour tout g ∈ G. On sait que ξ est un caractère sur le groupe G. On a aussi ξ ◦ φ = φ ◦ ξ, donc ξ est l’élément neutre de H(G).  Pour tout φ ∈ H(G), on consière φ 0 : G → K∗ telle que φ 0 (g) = (φ(g))−1 . En eet, φ 0 (hg) = φ 0 (h)φ 0 (g), pour tous h, g ∈ G, alors φ 0 est un caractère. On a aussi φ 0 ◦ φ = φ ◦ phi0 = ξ. Donc tout élément de H(G) admet une inverse.  On a φ ◦ ϕ = ϕ ◦ φ, alors H(G) est commutatif.  H(G) est associatif. On peut conclure que (H(G), ◦) est un groupe associatif, unitaire et abélien. Théorème 5. Soit G = Zn = {1, 2, · · · , n − 1} et soit K un corps quelconque. On dénit l’ensemble, µn(K) = {x ∈ K|x n = 1} l’ensemble des racines nième de l’unité, alors µn(K) est un groupe linéaire algébrique et µ(K) ∼= H(G). Démonstration. 1.  L’élément neutre 1 ∈ µn(K), car 1 n = 1.  Pour tous x, y ∈ µn, alors x n = y n = 1, ce qui implique que (x.y) n = x n.yn = 1, alors x.y ∈ µn. Pour tout x ∈ µn(K), on a x n = 1, ce qui implique que 1 = (x −1 ) n, alors x −1 ∈ µn(K) Alors µn(K) est un sous-groupe de K∗ = GL1(K) et µn(K) est aussi un ensemble algèbrique. Donc µn(K) est un groupe linéaire algébrique. 2. On considère l’application α: µn(K) → H(Zn) telle que α(x) = φx oú φx est un caractère dénit de Zn → K∗ par φx(k) = x k .  Pour tout x élément de µn(K), on a : φx(i + j) = φx(i + j) = x i+j = x i .xj = φx(i).φx(j), alors φx ∈ H(Zn).  α est un homorphisme de groupe car α(x.y) = α(x)α(y).  pour tout x ∈ ker(α), on a α(x) = φx = 0, ce qui implique à dire que x = 0. Donc α est injective.  α est surjective par dénition. Enn, on peut conclure que α est un isomorphisme. Proposition 4. Soit G et H deux groupes, alors H(G × H) est isomorphe à H(G) × H(H). Théorème 6. Soit G un groupe génératrice ni et abélien. Alors H(G) est un groupe linéaire algébrique. Démonstration. Comme G est un groupe génératrice ni et albélien, alors G est isomorphe à Z n × Zm1 × · · · × Zmq . Par la suite, H(G) est isomorphe à H(Z n × Zm1 × · · · × Zmq ). D’après la proposition 4, on a H(G) est isomorphe à H(Z) n × H(Zm1 ) × · · · × H(Zmq ) et d’après le théorème 5, H(G) est isomorphe à K∗ × µm1 × · · · × µmq . Donc H(G) est un groupe linéaire algébrique, car il s’exprime sous forme de produit de groupes linéaires algébriques.

Groupe de Lie et Algèbre de Lie 

Dans ce section, on étudie de manière générale les groupes de Lie et algèbres de Lie. Plus précisément, nous parlerons des sous-groupes du groupe linéaire général. Dans un premier temps, on donnera la dénition générale des groupes de Lie en géométrie diérentielle. Mais dans notre étude, nous travaillerons avec une dénition plus simple. 1.2.1 Dénition générale d’un groupe de Lie Dénition 5. Un groupe de Lie G est un groupe muni d’une structure de variétè lisse tel que les applications (g, h) → g.h de G × G dans G, g → g −1 de G dans G, soient lisses Exemple 8.  Le groupe additif R n est un groupe de Lie  Le groupe linéaire GL(n, K) des automorphismes de l’espace vectoriel R n est un groupe de Lie.  Si G et H sont des groupes Lie, alors G × H muni de la structure de groupe produit et de la structure de variétè, est un groupe de Lie.  Le cercle S 1 , vu comme le groupe multiplicatif des complexes de module 1, est un groupe de Lie. S 1 × S 1 × · · · × S 1 ∼= (S 1 ) n est un groupe de Lie, on l’appelle tore de dimenjsion n.  Donnons en l’exemple du groupe de Lorentz O(3, 1) des automorphismes de la forme quadratique x 2 + y 2 + z 2 − t 2 = 0, est un groupe de Lie. Le groupe de Lie ane correspondant à ce construction, et se réalise à l’instar du groupe de Galilée comme sous groupe de GL(1, 5). C’est le groupe de Poincaré de la relativité restreinte. 1.2.2 Groupe linéaire général Soit V un K-espace vectoriel, on note par L(V ) l’ensemble des endomorphismes linéaires tel que L(V ) := {T : V → V /T linéaire }. On note par GL(V ) l’ensemble des endomorphismes linéaire et bijectives. Théorème 7. Soit GLn(K) := {M ∈ Mn(K) : det(M) 6= 0}, alors les assertions suivantes sont vériées : 1. L(V ) est une algèbre et GL(V ) est un groupe. 2. GLn(V ) est un groupe. 3. GLn(K) ∼= GL(V ). 4. L(V ) ∼= Mn(K). Démonstration 1. 1. Trivial 2. On xe une base B de V et on considère l’application suivante : θ : L(V ) → Mn(K) T 7→ MB(T) oú MB(T) est la matrice représentative de T. Cette matrice MB(T) est dénie de la manière suivante dans la base de B = {e1, e2, · · · , en} de V . Alors, on a : T(e1) = a11e1 + a21e2 + · · · + an1en T(e2) = a12e1 + a22e2 + · · · + an2en . . . . . . T(en) = a1ne1 + a2ne2 + · · · + annen et la matrice représentative MB(T) de B est donnée par :   a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n . . . . . . · · · . . . an1 an2 · · · ann   . On montre les propriétès suivantes :  θ(T1 + λT2) = θ(T1) + λθ(T2) pour toutes applications linéaires T1, T2 : V → V et pour tout λ ∈ K  ker(θ) = {0}, donc θ est injective et surjective par déntion. On peut conclure que θ est un isomorphisme. 3. La preuve de (iii) se fait de la même manière que (ii). Dans notre travail nous étudierons seulement les groupes de Lie dans le cas des réels. En outre, tous les groupes de Lie que nous étudierons, sont des sous-groupes du groupe linéaire général. Donc la dénition la plus appropriés à notre étude est la suivante. Dénition 6. Un groupe de Lie est un groupe isomorphe à un sous groupe fermé du groupe linéaire général GLn(R) pour tout n ≥ 1. 

Exemples de groupes de Lie

 Le cercle S 1 

Il s’exprime sous la forme S 1 = {(x, y) ∈ R 2 /x2 + y 2 = 1} = {(cos(t),sin(t))/t ∈ R}. On considère SO(2) = {  cost sin t − sin t cost  : t ∈ R} qui est un sous-groupe de GL2(R). On montre aussi que SO(2) est isomorphe à S 1 . Pour montrer que S 1 est un groupe de 18 CHAPITRE 1. GROUPE DE LIE ET ALGEBRE DE LIE Lie, il sut simplement de montrer que SO(2) est un groupe de Lie. En eet, SO(2) peut s’exprimer de la forme : SO(2) = {  a b c d : a 2 + b 2 = c 2 + d 2 = 1, ac + bd = 0, ad − bc = 1}. Considérons l’application dénie par : g : R 4 ) → R 4 (a, b, c, d) 7→ (a 2 + b 2 = 1, c2 + d 2 = 1, ac + bd = 0, ad − bc = 1) . g est une application continue et {04} est ensemble fermé de R 4 muni de la topologie discrète. Comme g −1 ({04}) = SO(2) est un ensemble fermé de R 4 . Donc S 1 est un groupe de Lie. 2. La sphère S 3 : Elle s’exprime sous la forme : S 3 = {(x, y, z, t) ∈ R 4 /x2 + y 2 + z 2 + t 2 = 1} est groupe de Lie. En eet, soit SU(2) = {A ∈ GL(C) : AA t = 12, det(A) = 1}. On peut aussi écrire SU(2) sous la forme : SU(2) = {  α β −β α  : |α| 2 + |β| 2 }. On prend un élément quelconque A de SU(2) tel que A =  α β γ δ . D’après les conditions AA t = 12, det(A) = 1, les coecients de A vérient les conditions suivantes : |α| 2 + |β| 2 = 1, |γ| 2 + |δ| 2 = 1, αγ + βδ = 0, αδ − βγ = 1. Cela prouve que SU(2) est un groupe de Lie car le système d’équations est équivalent à un système d’équations polynomiales de coecients réels. Ensuite, on analyse les diérents cas : (*) α = 0, alors |β| = 1 et γ = 0. On a aussi βγ = −1, donc γ = −β −1 = −β. On peut conclure que A prend la nouvelle forme. (**) γ = 0, alors |γ| = 1, ce qui implique que α = 0 et on peut conclure comme dans le cas précédent. (***) On suppose que α, β 6= 0. D’après la troisième équation, on obtient γ = − βδ α et remplaçant γ dans la quatrième équation, on obtient : αγ + |β| 2γ α = 1 ce qui implique que |α| 2 δ + |β| 2 γ = α et ainsi on obtient δ = α. Similairement on obtient γ = −β. On montre que SU(2) est isomorphe à S 3 , comme SU(2) est un sous-ensembles fermé de GL2(C), alors on peut conclure que S 3 est un groupe de Lie. Lemme 1. Soient G1, G2, · · · Gn sont des groupes de Lie, alors Qn k=1 Gk est un groupe de Lie. 

GROUPE DE LIE ET ALGÈBRE DE LIE 

Démonstration. On fait la preuve par récurrence : Pour n = 1, on a un cas trivial. Si n = 2, G1 est un sous-groupe d’un certain GLn(R) et G2 est un sous-groupe d’un certain GLm(R). Alors, il existe un monomorphisme canonique G1 × G2 → GLn+m(R) déni par (x1, x2) →  x1 0 0 x2  Il est facile de montrer à travers ce monomorphisme que le produit cartésien de G1 × G2 est un sous-groupe fermé de GLn+m(R). Donc G1 × G2 est un groupe de Lie. La vérication pour n = 2. On suppose que Qn−1 k=1 Gk est un groupe de Lie. On montre de la même manière que Qn k=1 Gk est un groupe de Lie en considérant G1 = Qn−1 k=1 Gk et G2 = Gn. Exemple 9. Le tore T n de dimension n est un groupe de Lie car le tore est un produit de groupe de Lie. Le tore s’écrit sous la forme T n = S 1 × S 1 × · · · × S 1 . Tout les sous-groupe du groupe linéaire général sont des groupes de Lie. 1. Le groupe linéaire spécial : Soit V un K-espace vectoriel de dimension nie n. On a GL(V ) est isomorphe à GLn(K) et K∗ est isomorphe à GL1(K). Considérons l’application det : GLn(K) → K∗ M 7→ det(M) , c’est une application continue, alors ker(det) = SLn(K) est un ensemble fermé de GLn(K), donc SLn(K) est un groupe de lie. Ce groupe est appelé groupe linéaire spécial. 2. Le groupe orthogonal : Soit K un corps (K = R ou C). Soit V un K-espace vectoriel de dimension nie et soit Φ : V × V → R une forme bilinéaire symétrique nondégénérée. On dénit le groupe orthiogonal de la manière suivante : O(Φ) = {g ∈ GL(V ) : Φ(gv, gw) = Φ(v, w), ∀v, w ∈ V } Nous allons montrer que ce groupe est un groupe de Lie. On munit R n du produit scalaire euclidienne (x|y) = P i xiyi et la norme || x ||= p (x|x). On dénit le groupe : O(n) = {A ∈ GL n (R) : (Ax|Ay) = (x|y) x, y ∈ R }. Alors, nous avons : O(n) = {A ∈ GLn(R) : AAt = In}, oú At est la matrice transposée de A. et on a O(n) = {(aij ∈ R n 2 : Xn k=1 aikajk = δij , 1 ≤ i, j ≤ n}. Puis, on considère l’application f : R n 2 → R n 2 telle que (aij )1≤i,j≤n → ( Xn k=1 aikajk − δij )1≤i,j≤n. L’application f est continue et {0Rn2 } est un ensemble fermé de R n 2 . Alors f −1 ({0Rn2 }) = O(n) est un ensemble fermé. Ce qui implique que O(n) est un groupe de Lie. On peut aussi montrer que le groupe orthogonal n’est connexe. La composante connexe du groupe orthogonal est appelée groupe spécial orthogonal de Lie. On note par SO(Φ),  c’est un sous-groupe de O(Φ) formé par les éléments g de O(Φ) tels que det(g) = 1. Le déterminant de tout endomorphisme d’espace vectoriel de dimension nie est bien déni par un scalaire. Similairement, on peut dénir la version matricielle du groupe spécial orthogonal par : SO(n) := {x ∈ O(n) : det(x) = 1}. 3. Le groupe unitaire : On considère que K = C. Soit V un K-espace vectoriel de dimension nie et soit Φ: V × V → R une forme sesquilinéaire hermitienne nondégénérée. On dénit le groupe unitaire de la manière suivante : U(ψ) := {g ∈ GL(V )|ψ(gv, gw) = ψ(v, w) pour tous v, w ∈ V }. Nous essayerons d’expliciter que ce groupe est un groupe de Lie. Considérons dans C n la forme sesquilinéaire (x|y) := P i xiyi oú x = (xi) et y = (yi). Nous avons U(ψ) est isomorphe à U(n) oú U(n) s’écrit de la forme suivante : U(n) := {A ∈ GL n (R) : AAt = In} = {A ∈ GL n (C) : AAt = In} U(n) = {aij ∈ C n 2 | Xn k=1 akiakj = δij}. De manière analogue avec (2.), on montre que le groupe unitaire est un groupe de Lie. 4. Groupe symplectique : On considère un C-espace vectoriel V de dimension nie muni d’une forme bilinéaire ψ: V × V → C alternée et nondégénérée. L’existence d’une telle forme sur V implique que la dimension de V est paire, dim(V ) = 2n. On dénit alors le groupe symplectique : Sp(ψ) = {g ∈ GL(V )|ψ(gv, gw) = ψ(v, w), pour tous x, y ∈ V }. 5. Le groupe pseudo-orthogonal O(p, q) : c’est l’ensemble des matrices appartenants à GLp+q(V ) qui préserve la forme quadratique suivante : (x|x 0 )p,q = Xp i=1 xix 0 i − Xp+q i=p+1 xixii , x, x0 ∈ R p+q . On obtient le groupe orthonormal lorsque p = n et q = 0. 6. Le groupe pseudo-unitaire : C’est l’ensemble des matrices de GL(p + q, C) qui préserve la forme hermitienne suivante : −z1z1 − · · · − Z p zp + zp+1zp+1 + · · · + zp+qzp+q, alors on a U(p, q) := {g ∈ GL(p + q, C)|g t Ip,qg = Ip,q}. On obtient le groupe unitaire U(n) lorsque p = 0 et q = n.