Corrélation de Bruit et Traitement d’Antenne pour l’Imagerie Lithosphérique 

Télécharger le fichier original (Mémoire de fin d’études)

Ondes de surface

Dans la nature, les solides ne sont pas infinis et leurs frontières peuvent générer d’autres types d’ondes. Dans le cas simple d’une surface libre de contrainte au sommet d’un demi-espace homogène (comme décrit précédemment), les ondes P et SV interfèrent
à la surface pour générer l’onde de Rayleigh. Sa polarisation en surface est elliptique rétrograde et contenue dans le plan défini par la direction de propagation et la verticale. Sa vitesse est légèrement inférieure à celle des ondes S (∼ 0.9β). L’onde de Rayleigh est un cas particulier de l’onde de Stoneley qui apparaît toujours aux interfaces de type fluide/solide et sous des conditions particulières dans le cas solide/solide.
Si le milieu est tabulaire (milieu comprenant une superposition de couches homo-gènes), et avec un gradient positif de vitesses (la vitesse des couches croît avec la pro-fondeur), alors une onde SH peut être piégée (guidée) en proche-surface et interférer avec elle-même. Le résultat de cette interférence est une onde de Love. Cette onde est polarisée dans le plan de la surface, transversalement à la propagation (SH le long de la surface). Sa vitesse est proche de celle de l’onde SH.
L’amplitude de ces deux ondes décroît avec la profondeur. Elles sont généralement dispersives, c.-à-d. que leur vitesse est fonction de leur fréquence. Cette dispersion pro-voque une déformation de la forme de l’onde : elle s’étale dans le temps. On peut alors distinguer deux types de vitesses : la vitesse de phase, correspondant à la vitesse à une fréquence particulière, et la vitesse de groupe, correspondant à la vitesse d’un « paquet » d’ondes (gamme de fréquences). Puisque ces ondes sont confinées à la surface, leur di-vergence géométrique n’est pas sphérique mais cylindrique (1/√r). C’est une des raisons pour laquelle elles dominent les sismogrammes (figure 1.1 et 1.2 )
La figure 1.1 montre un exemple d’enregistrement d’un séisme (sismogramme) à une distance épicentrale de 110◦ (mesurée à la surface de la Terre). Le capteur enregistre le déplacement du sol selon 3 directions. Différentes ondes, ou phases, dont les temps d’arri-vées à la station sont différents, sont identifiables sur ces enregistrements. Le présence de phases multiplement réfléchies et transmises traduit la complexité de la structure interne de la Terre. On remarque également des différences d’amplitude entre ces phases. L’onde de Rayleigh est bien visible sur les composantes verticale et radiale. L’onde de Love est uniquement visible sur la composante transversale. Le caractère dispersif de ces ondes se traduit ici par l’arrivée plus rapide des basses fréquences.

Fonction de Green

Par définition, on appelle fonction de Green de l’équation d’onde la solution élémen-taire G(x, t) telle que : G(x, t) = δ(x)δ(t) (1.14) avec δ la fonction Dirac. En terme de fonction de transfert, la fonction de Green est la réponse impulsionnelle spatiale et temporelle du système défini par l’équation d’onde. C’est le signal qu’enregistrerait un capteur parfait, dans n’importe quel milieu de propa-gation, si la source était une impulsion (δ(x)δ(t)). Puisque par définition, δ contient toutes les fréquences, G à la particularité de contenir toute l’information liée à la pro-pagation. Connaître G, c’est connaître la structure du milieu. C’est donc l’objectif que l’on souhaite atteindre en prévision des études d’imagerie.
En sismologie, la source du signal nécessaire à l’imagerie est complexe. Qu’il s’agisse d’un séisme, d’une explosion ou de camion vibreurs, le signal enregistré au niveau des récepteurs contient toujours la signature de la source. Il devient alors difficile de déter-miner quelle part du signal correspond respectivement à la source et au milieu. Seule une connaissance précise de la source (bande de fréquence, amplitude) peut permettre, par une opération de convolution, de remonter à G. Dans la nature, cette connaissance est toujours limitée et G ne peut être qu’approximée.

Diffraction – Diffusion

La Terre est un milieu hétérogène. Si la dimension de ces hétérogénéités est infé-rieure à la longueur d’onde de l’onde incidente, alors ces hétérogénéités se comportent comme des sources secondaires ponctuelles : des points diffractants. Chaque point va réémettre une onde sphérique avec une amplitude proportionnelle à l’onde incidente. Cette approche du phénomène de diffraction correspond au principe de Huygens-Fresnel et permet de conserver l’approximation des hautes fréquences (équation de l’Eikonal 1.13) souvent plus simple à se représenter. Suivant ce principe, une hétérogénéité plus étendue dans l’espace peut être considérée comme une succession de points diffractants. Les fronts d’ondes générés par ces diffracteurs sont libres d’interférer de façon cohérente ou incohérente pour former un champ d’ondes plus complexe au sein du volume. Dans ce type de milieu, les ondes directes (balistiques), émises depuis une source (primaire), sont atténuées aux dépens des ondes diffractées. Si l’hétérogénéité devient trop importante, alors les ondes balistiques disparaissent totalement et l’équation d’onde (équation 1.3) tend à ne plus décrire le transport d’énergie dans le milieu : le champ devient diffus.
En sismologie la diffusion complète du champ d’ondes intervient, à relativement haute fréquence, dans des structures extrêmement perturbées comme les volcans ou certaines zones de failles. Par contre une diffraction forte peut être observée à différentes échelles de la Terre. L’enregistrement d’un séisme à la surface laisse apparaître des arrivées (phases) tardives dont l’amplitude décroit exponentiellement avec le temps : c’est la coda sis-mique [Aki, 1969, Aki and Chouet, 1975]. Un exemple est donné dans la figure 1.2 pour un séisme de magnitude Mw = 6.6 enregistré à 2600 km (régional). A cette échelle, c’est l’hétérogénéité de la croûte qui est responsable de la coda.

Différentes échelles d’applications

L’étude des ondes mécaniques trouve de nombreuses applications à des échelles extrê-mement variées. A petite échelle, elles permettent par exemple le contrôle non destructif de matériaux dans l’industrie (échelle du millimètre). C’est le domaine ultra-sonore (kHz-MHz). A grande échelle, c’est en partie l’observation des ondes voyageant profondément à l’intérieur de la Terre qui a permis de découvrir, de vérifier ou de préciser l’existence de ses grandes structures : croûte, manteau, noyau ; c’est le domaine de la sismologie glo-bale où les fréquences d’intérêt peuvent être largement inférieures au Hz. Le tableau 1.1 illustre des domaines d’applications possibles ainsi que les ordres de grandeur (spatiaux et temporels) associés.

Traitements et filtrages classiques

La première étape de l’étude d’un champs d’ondes est sa mesure. Les capteurs utilisés en sismologie enregistrent les variations de déplacement, de vitesse ou d’accélération du sol au cours du temps. L’enregistrement contient le signal utile, porteur d’information, et une part de bruit, c.-à-d. l’ensemble des signaux parasites provenant du milieu ou de l’instrumentation. L’objectif du « traitement du signal » est l’extraction du signal utile. Cette extraction est réalisée lorsque l’amplitude du signal porteur d’information est suffisamment importante, relativement à l’amplitude du bruit (rapport signal/bruit, SNR), pour réaliser une mesure. Le bruit peut être considéré comme un signal cohérent ou incohérent (aléatoire). Dans le premier cas, il pourra être étudié, traité et éventuel-lement interprété comme une partie « utile » du champ d’onde. Dans le second cas, la connaissance de ses caractéristiques restera plus superficielle (amplitude relative, lar-geur de bande fréquentielle) ; des méthodes de traitement (souvent par sommation et/ou matricielle) permettront au mieux de limiter ses effets. Les techniques de filtrages consti-tuent un sous-ensemble de méthodes de traitement du signal qui ont pour but de séparer les ondes et ainsi d’augmenter (artificiellement) le SNR. Un filtrage classique (de type gabarit) est décomposable en trois étapes :
• La projection (directe) des données de leur domaine initial (le plus souvent temps-espace) dans un autre domaine où la séparation est possible.
• L’application d’un masque (gabarit), c.-à-d. conserver ou retirer une partie du signal.
• Le retour dans le domaine initial par la projection inverse.
Sans même parler de filtrage, on peut noter que la projection des données est sou-vent un moyen d’observation à part entière. Des mesures peuvent être réalisées dans un domaine qui n’est pas celui d’origine (temps-espace).
Ce paragraphe a pour objectif d’illustrer certains traitements utilisés classiquement en sismologie et utiles dans la compréhension du manuscrit. Il ne s’agit pas d’une description exhaustive ; de nombreux ouvrages sur le traitement du signal discutent les méthodes de projections ainsi que des critères de filtrage et leurs applications : Yilmaz [2001], Mari et al. [2001], Mars [2003] en prospection sismique, ou Rost and Thomas [2002, 2009] en sismologie.

Transformation de Fourier en temps et en espace

La transformation de Fourier (TF) est la généralisation de la décomposition en sé-rie de Fourier pour des fonctions non périodiques. C’est une transformation standard, à la base du traitement du signal. Pour un signal temporel p(t), cette opération (ou projection) permet d’accéder au contenu fréquentiel P (f ) ou spectre du signal. Si le si-gnal d’origine n’est pas temporel mais échantillonne l’espace (p(x)), via un ensemble de capteurs (un réseau 1 ), la transformation est identique et le résultat est fonction d’une fréquence spatiale. Ramenée à un terme de pulsation, cette fréquence spatiale appelée nombre d’ondes (k), correspond à la norme du vecteur d’onde k défini pour les solutions de type harmonique (équation 1.10). C’est l’inverse de la longueur d’onde. Le résultat d’une TF spatiale est noté P(k). Par commodité, le terme fréquence utilisé seul, indique une fréquence temporelle. La transformation de Fourier inverse (TF−1 ) permet de revenir dans le domaine initial (temps ou espace).
Dans les deux cas (spatial et temporel), les signaux à traiter étant discrets, il est nécessaire que l’échantillonnage soit suffisamment dense pour être en mesure de décom-poser les plus hautes fréquences du signal. A deux échantillons successifs doit corres-pondre au minimum une demie oscillation, associée à la plus haute fréquence contenue dans le signal (critère de Nyquist-Shannon). Dans le cas inverse, les hautes fréquences mal échantillonnées vont introduire des erreurs dans le spectre : c’est le phénomène de repliement ou aliasing. De plus, la fenêtre d’observation dans la dimension considérée (support des signaux) étant finie, la résolution, c.-à-d. la capacité de séparation de deux ondes quasi-similaires, l’est aussi (critère de Rayleigh dans la théorie de la diffraction).
Dans le cas où des signaux enregistrés sur différents capteurs sont pris indépendam-ment les uns des autres (p(t), traces sismiques), un filtrage dans le domaine des fréquences permet de séparer deux ondes qui ne possèdent pas le même contenu spectral (temporel). Si maintenant on considère ce même jeu de données mais que les traces sont ordonnées suivant une dimension spatiale x telle que p(t, x) échantillonne le temps et l’espace, une TF sur ces deux dimensions (TF2D) permet de représenter les données dans le domaine fréquence-nombre d’onde (P (f, k), domaine fk). Cette transformation est interprétable comme la projection des données sur un ensemble d’ondes planes couvrant l’espace des phases : à chaque onde correspond un couple [f, k] comme défini pour la solution har-monique (équation 1.10).
En laboratoire et parfois en prospection sismique, où un grand nombre de capteurs peuvent être déployés de façon équidistante à la surface, ce type de transformation est très courant. L’échantillonnage régulier en espace permet d’appliquer strictement la même transformation sur les deux dimensions : le plus souvent un algorithme de fft (fast fou-rier transform). Or en géophysique, et en sismologie en particulier, cet échantillonnage régulier dans l’espace est rare. Le moyen le plus simple pour parer à cet inconvénient est de projeter la dimension spatiale les données sur un ensemble d’ondes planes définies a priori pour une gamme de vecteurs d’ondes k (TF discrète). La seule limitation est le problème d’aliasing énoncé précédemment : le réseau de capteurs doit être suffisamment dense pour échantillonner correctement dans la gamme de vecteurs d’ondes considérée.
La projection dans le domaine fk peut être généralisée pour des données échantillon-nant des dimensions spatiales supplémentaires (p(t, x, y, z)). Chaque dimension ajoutée étant un moyen supplémentaire de séparer davantage les différentes ondes incidentes sur le réseau. Ainsi le résultat de la transformation (P (f, kx, ky , kz )) donne accès au vecteur d’onde complet. En géophysique la surface de la Terre impose (le plus souvent, si on ne considère pas le cas des récepteurs enterrés) de limiter le déploiement des réseaux aux deux dimensions x et y. Dans ce cas, seules les composantes horizontales du vecteur d’onde sont connues.
La fréquence et le vecteur d’onde sont reliés par la vitesse tels que : k = ω/c = ω.u, avec ω = 2πf la pulsation, c le vecteur vitesse et u le vecteur lenteur. Ainsi à fréquence donnée, le domaine fk est directement proportionnel au domaine f-lenteur, domaine souvent plus simple à interpréter. Dans le cas où le réseau est déployé à la surface, le vecteur lenteur considéré n’est que la projection horizontale du vecteur lenteur de l’onde incidente : on parle de lenteur apparente, ou horizontale. Une schématisation de la transformation fk est donnée figure 1.3.
D’un point de vue pratique, il n’est pas toujours nécessaire de projeter les données dans les domaines des fréquences et des nombres d’ondes simultanément. Ces deux trai-tements peuvent être réalisés séparément, ou être remplacés par d’autres projections en onde plane, ou d’autres transformations permettant la séparation des ondes.

Slant stack / τ − p / Vespa

Un autre traitement basique très utilisé aussi bien en prospection sismique qu’en sismologie repose sur la décomposition du champ d’onde enregistré via l’utilisation de la lenteur apparente sur le réseau. Pour un jeu de données p(t, x) cette transformation comprend un changement de variable et une sommation, telle que : p(τ, u) = p(t − ux, x) (1.15) avec τ = t − ux. Cette transformation a surtout l’avantage de ne pas faire intervenir de TF et est donc moins coûteuse en temps de calcul. Également valable pour des réseaux de capteurs déployés sur deux dimensions de l’espace, cette projection porte plusieurs noms suivant ses domaines d’utilisations. En prospection sismique c’est un slant-stack [Schultz and Claerbout, 1978] en référence à la sommation pour différentes vitesses (pentes dans le domaine temps-espace), ou encore une transformation τ − p avec p le paramètre de rai (la lenteur apparente). En sismologie on retrouve ce type de traitement sous le nom de Vespa (Velocity spectral analysis, Davies et al. [1971]) ou formation de voies (beamforming, Lacoss et al. [1969]). Ces méthodes sont discutées plus en détail chapitre 2 et 4.
On peut toutefois remarquer l’analogie de cette transformation avec la TF spatiale définie précédemment sauf qu’ici la projection en onde plane correspondant au terme ux (loi de retard) n’est pas réalisée dans le domaine spectral. Pour être précis, cette transformation correspond à une TF discrète mais sans l’hypothèse sur la nature harmo-nique de l’onde. Comme pour une TF, la transformation est réversible et un filtrage par gabarit peut être appliqué : on peut ainsi conserver, ou au contraire supprimer les ondes planes correspondant à une gamme de lenteurs. Enfin on peut également remarquer que pour un slant-stack, la loi de retard est linéaire (onde plane). L’utilisation d’autres lois de retard, correspondant à des fronts d’ondes avec des géométries plus complexes inter-ceptant le réseau de capteurs est possible via la transformation de Radon (généralisation de la transformation τ − p). Ce type de projection est utilisé par exemple en prospec-tion sismique pour traiter la forme hyperbolique des ondes réfléchies ou pour traiter le problème des multiples [Foster and Mosher, 1992].

Analyse temps-fréquence

Des méthodes comprenant une analyse spectrale et temporelle simultanées existent également. Une TF sur des fenêtres temporelles glissantes permet de mesurer et éven-tuellement filtrer les variations temporelles du contenu spectral du signal. Cette méthode (spectrogrammes) est notamment utilisée en sismologie pour trier des événements sis-miques dont le contenu fréquentiel diffère : par exemple des séismes proches et lointains, des éboulements, des sources d’origine humaine, etc.. Pour l’imagerie, cette méthode per-met également de mesurer la dispersion des ondes de surface sans recourir à un réseau de capteurs. Si la distance à la source est connue, un diagramme vitesse-fréquence permet de construire la courbe de dispersion (variation de la vitesse en fonction de la fréquence) pour l’onde et le trajet considérés (FTAN, Dziewonski et al. [1969]). Il faut noter que traiter des traces plus courtes dans le temps induit directement une diminution de la résolution lors de la décomposition du champ d’onde.
Pour améliorer la qualité des mesures, d’autres méthodes ont été introduites comme la transformation en ondelette [Daubechies, 1990, Chakraborty and Okaya, 1995] ou plus récemment la S-transform [Stockwell et al., 1996] ou les curvelets [Candès et al., 2006]. Ces méthodes généralisent la TF en décomposant le signal sur des fonctions limitées dans le temps et non sinusoïdales : les ondelettes.

D’autres méthodes

Le domaine du traitement du signal est extrêmement vaste. De nombreuses autres méthodes permettent l’étude et/ou le filtrage d’un signal. Parmi elles, on peut identifier les méthodes matricielles décomposant les données dans un sous-espace de signal (cohé-rent) et un sous-espace de bruit (incohérent) [Mars et al., 2004]. La plus utilisée étant la décomposition en valeur singulière et ses variantes comme par exemple la méthode MUSIC (MUltiple SIgnal Characterization, Schmidt [1986]).
Des méthodes non-linéaires ont également été développées essentiellement pour amé-liorer la résolution des détections. On peut citer par exemple les techniques de fk haute-résolution initialement proposées par Capon [1969] (Minimum Variance Distortionless Response, MVDR). La méthode MVDR minimise l’impact du réseau sur la résolution par une pondération adaptative des signaux considérés. Dans cette transformation, la phase du signal n’est pas conservée.
Des variantes, ou généralisations, aux méthodes de type fk (adaptative ou non) sont également très utilisées pour la localisation des sources (matched field, Bucker [1976]). Dans ce cas, il ne s’agit pas simplement de mesurer la direction d’incidence d’une onde plane sur le réseau mais de tester chaque position de l’espace en tant que source du signal. Concrètement cela revient à une comparaison des données avec un signal théorique (un replica). Dans le cas d’un slant-stack, le replica est une onde plane (source à l’infini).
Enfin, tout un ensemble de filtrages repose sur le principe simple de soustraction d’une partie du champ. La partie soustraite étant généralement modélisée numériquement au préalable.

Conclusion

De nombreuses méthodes dérivent et/ou combinent celles présentées dans ce chapitre. On peut noter que les méthodes utilisant des réseaux de capteurs dans le but de mesu-rer les propriétés spatiales (directivité, vitesse) du champ d’onde, ou plus généralement d’utiliser ces propriétés pour améliorer le SNR, peuvent être regroupées dans le domaine du traitement d’antenne. A toutes les échelles de la géophysique, le traitement d’an-tenne s’est développé ces dernières années parallèlement aux capacités informatiques de stockage des données et des puissances de calculs. Aujourd’hui, il n’est pas rare qu’une campagne d’acquisition dans l’industrie pétrolière mette en jeu des dizaines de milliers de capteurs, ce qui représente un volume de données extrêmement important.
Dans ce chapitre, il n’a été question que de traitements visant des réseaux de récep-teurs, hors la plupart des traitements peuvent être appliqués à des réseaux de sources de façon similaire. Ceci fera l’objet du chapitre 2 à l’échelle de la géophysique de prospection (km) et du chapitre 4 à l’échelle continentale.

Table des matières

Introduction 
I Techniques de Filtrages 
1 Ondes Sismiques et Filtrages 
1.1 Généralités
1.1.1 L’équation d’onde
1.1.2 Différents types d’ondes
1.1.2.1 Ondes de volume
1.1.2.2 Ondes de surface
1.1.3 Rai et front d’onde
1.1.4 Fonction de Green
1.1.5 Diffraction – Diffusion
1.1.6 Différentes échelles d’applications
1.2 Traitements et filtrages classiques
1.2.1 Transformation de Fourier en temps et en espace
1.2.2 Slant stack / τ − p / Vespa
1.2.3 Analyse temps-fréquence
1.2.4 D’autres méthodes
1.2.5 Conclusion
2 Double Formation de Voies : du Laboratoire à la Géophysique 
2.1 Contexte
2.1.1 Réseaux de sources
2.1.2 Double traitement d’antenne
2.2 Application en laboratoire
2.3 Double beamforming in a seismic prospecting context
2.3.1 Introduction
2.3.2 Double beamforming processing
2.3.3 Application to synthetics
2.3.4 Application to a real prospecting data set
2.3.5 Conclusion
2.4 Discussion
II Corrélation de Bruit et Traitement d’Antenne pour l’Imagerie Lithosphérique 
3 Corrélation du Bruit Sismique Ambiant 
3.1 Introduction
3.1.1 Contexte
3.1.2 Principe et approches théoriques
3.1.3 Applications récentes en sismologie
3.2 Origines du bruit ambiant
3.2.1 Contexte
3.2.2 Sources d’origines humaines
3.2.3 Les deux pics micro-sismiques
3.2.4 Le Hum
3.3 Discussion sur la distribution des sources
3.4 Préparation des données
3.4.1 Première étape
3.4.2 Deuxième étape
3.4.3 Comparaison des traitements
4 Imagerie Lithosphérique : Application au Réseau USArray
4.1 Contexte
4.1.1 Le réseau USArray
4.1.2 Directivité du bruit et impact sur les corrélations
4.2 Phase velocity tomography of surface waves using noise cross-correlation and array processing
4.2.1 Introduction
4.2.2 Data and pre-processing
4.2.3 Double beamforming method
4.2.4 phase shift measurement
4.2.5 Forward and inverse problem
4.2.6 Phase velocity map
4.2.7 Discussion
4.2.8 Conclusion
4.3 Discussion et perspectives
III Corrélation de Bruit et Ondes de Volume à l’Echelle Globale
5 Ondes de Volume : Observation et Exemples d’Applications
5.1 Contexte
5.1.1 Introduction
5.1.2 Objectifs et moyens
5.2 Teleseismic correlations of ambient seismic noise for deep global imaging of the Earth
5.2.1 Introduction
5.2.2 Data and cross-correlations
5.2.3 Possible applications
5.2.4 Conclusion
5.2.5 Details on data processing
5.3 Discussion
6 Ondes de Volume : Différentes Contributions 
6.1 Contexte
6.2 Reverberations, coda waves and ambient noise : correlations at the global scale and retrieval of the deep phases
6.2.1 Introduction
6.2.2 Data and processing
6.2.3 Contributions to correlations
6.2.4 Long period processing
6.2.5 A specific geometry : FNET-LAPNET dataset
6.2.6 Conclusion
6.2.7 Details on dataset
Conclusions et Perspectives 
Bibliographie 

Télécharger le rapport complet