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Probabilités variables aléatoires
Utilisation de la fonction de répartition de X pour déterminer la loi de Y = (X). On considère une v. a. a. c. X de densité uniforme sur [1, 1]. l°) Déterminer la loi (c’est-à-dire la densité) de Y = X2 . Application : on choisit un nombre X au hasard entre 1 et 1 en suivant la loi uniforme sur [1, 1]. Déterminer la probabilité que le carré Y de ce nombre soit supérieur à 1/2. Déterminer a tel que P(Y a) = P(Y > a). 2°) Déterminer la loi de Y = eX. 3°)Déterminer la loi de Y = aX + b (a différent de 0). 2. l°) Pour n appartenant à N, on considère In = . Montrer que l’intégrale In est convergente. Calculer I0. Exprimer In+1 en fonction de In et en déduire In en fonction de n. 2°) Pour n appartenant à N, On considère fn(t) = . Déterminer kn de façon que fn soit « la » densité d’une certaine variable aléatoire absolument continue Xn. Préciser alors E(Xn ) et V(Xn). 3. Déterminer a appartenant à R de façon que f : x a/(l + x2 ) soit la densité d’une certaine v.a.a.c X. X admet-elle une espérance ? une variance ? 4. Déterminer a appartenant à R de façon que f : x soit la densité d’une v.a. X. Montrer que X admet une espérance (et la calculer), mais pas de variance. 5. Déterminer a appartenant à R de façon que f : x soit la densité d’une v.a X. Déterminer alors FX, fonction de répartition de X, E(X) et V(X). 6. Un point X se promène au hasard à l’intérieur d’une sphère de centre 0 et de rayon R. La probabilité que ce point se trouve dans une portion de la sphère est proportionnelle au volume de cette portion. Quelle est la loi de la distance OM ? Espérance de cette v.a. ? 7. Soit X et Y deux variables aléatoires de loi uniforme sur [0, 1]. On définit les variable aléatoires U = inf(X, Y) et V = sup(X, Y) en posant, pour tout x réel : (U > t) = (X > t) (Y > t) ; (V t) = (X t) (Y t). 1°) Déterminer la fonction de répartition G, puis une densité g de U. 2°) Déterminer la fonction de répartition H, puis une densité h de U. 3°) Calculer l’espérance de U. 4°) Exprimer U + V en fonction de X et Y. En déduire l’espérance de V. 8. Si vous arrivez à un arrêt de bus à 10 h sachant que le bus arrivera à un certain instant qui est distribué uniformément entre 10 h et 10 h 30, quelle est la probabilité que vous deviez attendre plus de 10 minutes ? Si à 10 h 15 le bus n’est pas arrivé quelle est la probabilité que vous deviez attendre au moins 10 minutes supplémentaires ? 9. Un homme tirant sur une cible reçoit 10 points si son coup est à moins de 1 cm du centre de la cible, 5 points s’il s’en éloigne de 1 à 3 cm et 3 points s’il s’en éloigne de 3 à 5 cm. Trouver l’espérance du nombre de points si la distance au centre de la cible est uniformément distribué entre 0 et 10. 10. 1°) Une caserne de pompiers doit être construite sur une route de longueur A (A < ). Si un incendie se déclare en des points uniformément distribués sur [0, A], où doit être située la caserne pour minimiser l’espérance de la distance jusqu’au feu ? Autrement dit, trouver a tel que E(X a) soit minimisée lorsque X est distribué uniformément sur [0, A]. 2°) Supposer à présent que la route soit de longueur infinie – partant d’un point O vers +. Si la distance d’un incendie au point O est distribuée selon une loi exponentielle de paramètre , où doit se trouver la caserne ? Ici, on cherche à minimiser E(X a) où X est exponentielle de paramètre . 11. Soit X une variable aléatoire strictement positive et un réel strictement positif. On définit les variables aléatoires U et V par : U = 1 X et . 1. Déterminer les lois de U et de V si X suit une loi uniforme sur ]0, 1]. 2. Déterminer la loi de X pour que V suive une loi exponentielle de paramètre (>0). 12. Soit X une variable aléatoire de densité f définie par si x 0 et f(x) = 0 sinon. a) Vérifier que f est une densité de probabilité. b) Montrer que Y = X² est une variable aléatoire dont on donnera une densité. c) Calculer l’espérance et la variance de Y. 13. 1. Déterminer la fonction de répartition d’une variable aléatoire Y suivant la loi uniforme sur [0, 1]. Trois personnes ont convenu de se retrouver à la gare pour emprunter le même train de banlieue. L’origine des temps est prise à 17 h et l’unité de temps est l’heure. Pour k appartenant à {1, 2, 3}, on désigne par Yk l’heure d’arrivée de la personne numéro k. On suppose que les trois variables Yk sont indépendantes et suivent la loi uniforme sur [0, 1] (ce qui signifie que les trois personnes arrivent au hasard entre 17 h et 18 h). 2. On note X la variable aléatoire représentant l’heure d’arrivée de la dernière personne (qui n’est pas forcément la personne numéro 3 !). a. Soit t un réel appartenant à [0, 1]. Exprimer l’événement ( X t ) en fonction des événements ( Y1 t) , (Y2 t), ( Y3 t).
En déduire la fonction de répartition
Les personnes peuvent emprunter trois trains à 17 h 20, 17 h 40 et 18 h (ce qui correspond, dans le repère de temps choisi, aux instants 1/3, 2/3 et 1). Pour j appartenant à {1, 2, 3} on appelle Ej l’événement : « les trois personnes prennent le j-ième train « . Exprimer l’événement Ej à l’aide de la variable aléatoire X puis calculer sa probabilité. 4. On désigne par A l’événement : » La première personne arrivée attend moins de 20 minutes avant de monter dans le train avec ses amis ». a. Exprimer les événements A E1, A E2, A E3 en fonction des variables Y1, Y2, Y3. b. Déterminer alors la probabilité de A. 14. U désigne une variable aléatoire continue de loi uniforme sur l’intervalle [0; 1]. 1. (a) Donner une densité de U . (b) Déterminer la fonction de répartition F de la variable aléatoire U . (c) Exprimer, en fonction du réel x, la probabilité: P(U > x) . 2. La compagnie des remontées mécaniques a installé deux guichets au bas des pistes. On estime que le temps de passage d’un skieur à l’un des guichets suit la même loi que la variable aléatoire U . Trois skieurs A, B et C se présentent en même temps aux guichets. A et B s’adressent simultanément aux deux guichets, C attend que A ou B libère un guichet. On désigne par: • U1 et U2 les temps de passage respectifs de chacun des deux skieurs A et B , • V le temps d’attente du skieur C . On supposera que les variables aléatoires U1 et U2 sont indépendantes. (a) Justifier que : pour tout x réel, (V > x) = (U1 > x) (U2 > x) (b) En déduire, pour tout x réel, P(V > x) en fonction de P(U > x) . (c) Etablir que la variable V admet pour fonction de répartition la fonction G définie par: (d) En déduire une densité de probabilité g de la variable V.(e) Montrer que V admet une espérance et une variance que l’on calculera . Bienaymé-Tchebicheff, convergences, approximations 15. On rappelle l’inégalité de B.T : > 0 P( Y m ) , pour Y v.a quelconque d’espérance m et de variance 2. 1°) Démontrer que B.T est équivalente à : > 0 P( Y m < ) 1 . 2°) Soit (Xi)iN* une suite de v.a deux à deux indépendantes. On suppose que Xi suit la loi de Bernoulli de paramètre pi, avec 0 pi 1. Démontrer: > 0 En supposant les pi égaux entre eux, quel résultat démontrez-vous ? 16. (hec math 2 99, extrait ; voir chap. VIII.) Soit n et s des entiers supérieurs ou égaux à 2. On considère une urne contenant des boules de couleur C1, … , Cs. Les boules de couleur Ci sont en proportion pi. On a donc = 1 et on suppose que, pour tout i, pi > 0. On effectue n tirages successifs d’une boule avec remise. Pour tout i de {1,…,s},on note Xi la v.a égale au nombre de boules de couleur Ci obtenues à l’issue des n tirages (on remarque que la variable Xi dépend de n). On définit la v.a Un par : Un = . A. Etude des variables Xi. 1) Déterminer la loi de Xi, son espérance et sa variance. 2) Soit (i, j) {1,…,s}2 tel que i j. Déterminer la loi de Xi + Xj et sa variance. En déduire que cov(Xi, Xj) = npipj. B. On suppose dans cette partie que s = 2. 1) Montrer que Un = Z12 ,où Z1 = 2) Par quelle loi peut-on approcher la loi de Z1 lorsque n est grand ? C. On suppose dans cette partie que s = 3 et que p1 = p2 = e t p3 = . On pose Z1 = . 1) Montrer que Un = Z12 + Z22. (On utilisera la relation : X1 + X2 + X3 = n.) 2) Déterminer les espérances et les variances de Z1 et Z2 et cov(Z1, Z2). 3) Par quelle loi peut-on approcher celle de Z1 lorsque n est grand ? 17. (hec 2001, extrait) On réalise une suite de lancers indépendants d’une pièce de monnaie équilibrée. On associe à cette expérience une suite (Xn)nN de variables de Bernoulli indépendantes, définies sur un espace probabilisé (, A, P) et suivant la loi de Bernoulli de paramètre 1/2. Pour tout entier n supérieur ou égal à 1, on pose Sn = X1 + X2 + … + Xn. 1°) déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire Sn. Quelles sont l’espérance et la variance de Sn ? 2°) a) Montrer que, pour tout réel strictement positif, on peut trouver une constante K telle que, pour tout entier supérieur ou égal à n, on ait l’égalité . b) Déduire de la majoration obtenue que, pour tout réel r vérifiant 0 < r < 1/2, on a : 3°) Montrer d’autre part, à l’aide du théorème de la limite centrée, que la suite définie pour n supérieur ou égal à 1 par n admet une limite non nulle. 18. On utilise un dé cubique parfait. Combien faut-il effectuer de lancers pour pouvoir affirmer, avec un risque d’erreur inférieur à 5 %, que la fréquence d’apparition de l’As au cours de ces lancers différera de 1/6 d’au plus 1/100 ? On utilisera deux méthodes : –Inégalité de B.T. — Approximation par une loi normale, et on comparera les résultats. 19. Edith essuie les verres au fond du café et dans ce décor banal à pleurer elle a remarqué qu’un client sur quatre lui laissait un pourboire. l°) On note X le pourcentage de consommateurs qui laissent un pourboire sur 10 consommateurs. Etablir la loi de X. Déterminer E(X) et V(X). 2°) Pour 1000 clients, on note Y le nombre de clients qui laissent un pourboire. Etablir la loi de Y. Par quelle loi peut-on approcher la loi de Y ? Calculer P(245 < Y < 255). 20. Chaque fois qu’il fait une conférence en Belgique, B.H.L a une chance sur quatre de recevoir une tarte à la crème dans la figure. Combien de visites au plat-pays doit-il faire pour recevoir au moins 5 tartes avec une probabilité supérieure à 0,9 ? (Utiliser une approximation par une loi normale.) (Les ex. 19 et 20 sont extraits de « exercices de probabilités ordinaires », G. Frugier, ed. Ellipses.) 21. Une personne sur 100 est daltonienne. Au conseil de révision, la visite médicale permet de recenser les daltoniens. Sur n conscrits, on note Yn le pourcentage de daltoniens. Déterminer une valeur de n à partir de laquelle ce pourcentage se trouve dans l’intervalle [0,009 ; 0,011], avec une probabilité supérieure à 0,9 : a) en appliquant B.T. b) en utilisant une approximation par une loi normale. 22. On construit un immeuble de 600 logements. On estime la probabilité pour une famille de posséder une voiture à 0,4 et on néglige la probabilité de posséder plus d’une voiture. On adjoint un parking à l’immeuble. Quel nombre de places doit-il offrir pour que la probabilité de ne pas satisfaire toutes les demandes soit inférieure à 2 % ? Quelle est-elle si le parking construit possède 240 places ? 23. Une automobile crève en moyenne tous les 5 000 km. Cela vaut-il la peine de prendre 3 roues de secours pour un raid de 12 000 km ? 24. 20 000 personnes sont rassemblées dans un stade. La probabilité qu’une personne quelconque boive une bière est 0,4. De combien de bières doit-on disposer pour que la probabilité que l’on vienne à en manquer soit inférieure au sens strict à 0, 1 ? 25. On dispose de 1 000 pots de peinture. La probabilité qu’un pot soit défectueux est 0,2 %. Donner la probabilité qu’au moins quatre pots soient défectueux.
Soit un nombre réel a. On considère la fonction f définie sur R par f(x) = a.2x si x < 0 f(x) = a.2x si x 0 l°) Déterminer a pour que f soit la densité d’une v. a. X à valeurs réelles. Dans la suite de cet exercice, on prend a = ln(2)/2. 2°) a) Calculer, si elle existe, l’espérance de X. Déterminer la fonction de répartition F de la v.a. X. Tracer la courbe représentative de F. b) Soit un nombre réel x. Calculer la probabilité conditionnelle de l’événement (X < x) sachant que l’événement (X 1) est réalisé. 3°) Déterminer la fonction de répartition G de la v.a. Y = 2X/2. • (esg 91) A. Soit a un réel > 0. Soit X une v.a.a.c. admettant comme densité la fonction f définie par f(t)= 0 si t < 0, f(t) = a. exp(a.t) si t > 0 Déterminer la fonction de répartition de X. Calculer l’espérance mathématique et la variance de X. Rappel : une telle variable aléatoire suit une loi exponentielle de paramètre a. B. Une firme vend des appareils électriques. On admet que la durée de bon fonctionnement de chacun de ces appareils exprimée en mois est une v.a. X qui suit une loi exponentielle de paramètre a. On suppose que chacun de ces appareils a une probabilité p = 0,02 de tomber en panne pendant les 6 premiers mois de son utilisation. l°) Déterminer le paramètre a de la loi de X. On donne le logarithme népérien de 0,98 = 0,02. 2°) Calculer la probabilité de l’événement X 8, sachant que X 2. 3°) Cette firme a vendu N appareils. Soit Y la v.a. égale au nombre d’appareils qui tombent en panne pendant les 6 premiers mois de leur utilisation. Déterminer la loi de probabilité de Y et calculer l’espérance et la variance de Y. 4°) On suppose N = 100. On admet que Y suit alors approximativement une loi de Poisson de paramètre 2. Calculer alors la probabilité de l’événement (Y = 4), puis de (Y >4). 5°) La firme envisage de vendre ces appareils avec une garantie de 6 mois et pour cela majore de 20 F le prix de chaque appareil. En revanche elle assume durant cette période de garantie les réparations (toujours de même nature) qui lui coûtent 500 F par réparation. La majoration du prix de vente par appareil suffit-elle à couvrir avec une probabilité supérieure ou égale à 0,90 les frais de réparation entraînés par cette politique de vente dans le cas où a) N = 100 ? b) N = 200 ? ( On admet alors que Y suit la loi de Poisson de paramètre 4 approximativement.) • (escp 93) Soit f la fonction numérique définie sur R par les relations : f(x) = l°) Montrer que f est une densité de probabilité. 2°) Soit X une v.a. à valeurs dans [0, 1], de densité de probabilité f. a) Déterminer la fonction de répartition F de X. b) Calculer l’espérance et la variance de X. 3°) a) Montrer qu’à tout élément y de l’intervalle [0, 1], on peut faire correspondre un élément u et un seul de [0, 1] tel que . On note désormais (y) ce nombre. De quelle fonction la fonction ainsi définie est-elle la réciproque ? b) Montrer que est continue sur [0, 1] et dérivable sur ]0, 1[. Trouver les valeurs de y dans ]0, 1[ telles que ‘(y) = 3/4. c) Déterminer la fonction de répartition de la variable aléatoire Z = 3X2 2X3. Quelle est sa loi de probabilité ? 4°) On considère des v.a. X1 et X2 de même loi que X. On suppose que, pour tout couple (x1, x2) de réels, les événements (X1 x1) et (X2 x2) sont indépendants. On pose T = sup(X1, X2). (Autrement dit, T est la v.a qui prend la plus grande des valeurs prises par X1 et X2.) Trouver la fonction de répartition de T. En déduire sa densité de probabilité et son espérance. • (eme 93 ; bon exercice de révision) A. Soit X1 le nombre d’ordres de transactions qui parviennent à un centre de gestion de cartes bancaires, pendant un intervalle de temps d’une minute. l°) Statistiques : Une étude statistique permet d’observer les fréquences suivantes xi 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 fi 0.050 0.149 0.224 0.224 0.168 0.101 0.050 0.022 0.008 0.003 0.001 Calculer la moyenne et la variance du caractère statistique précédent. 2°) v.a. discrète et algorithmique : On suppose désormais que X1 est une v.a. qui suit la loi de Poisson de paramètre 3. a) Vérifier que, pour tout n de N, on a P(X1 = n + 1) = P(X1 = n). b) En déduire un programme, écrit en turbo-pascal, qui calcule et affiche les probabilités P(X1 = i), pour i variant de 0 à 10. c) Donner, à l’aide de la calculatrice, les valeurs approchées, à 104 près au plus proche, des probabilités P(Xi = i), pour i variant de 0 à 10. B. Soit A, B, C trois ordres de transaction successifs arrivés dans cet ordre. Soit T1 la v.a. égale au temps écoulé entre les arrivées de A et B et T2 la v.a. égale au temps écoulé entre les arrivées de B et C. Soit Xt la v.a. égale au nombre d’ordres de transaction arrivés pendant la durée de t minutes à partir de l’arrivée de A. On suppose que X suit la loi de Poisson de paramètre 3t. l°) v.a. continue : En remarquant l’égalité des événements (Xt = 0) et (T1 > t), donner l’expression de la fonction de répartition de T1 définie par : F : t F(t) = P(T1 t). Reconnaître la loi de T1 ; rappeler son espérance et sa variance. 2°) v.a. continues et étude de fonction. a) Justifier l’égalité des deux événements : (T1 + T2 > t), ( (Xt = 0) ou (Xt = 1) ). b) En déduire que la fonction de répartition G de T1 + T2 est donnée par : G : t Etudier la fonction G et tracer sa courbe représentative (C) : on étudiera la continuité et la dérivabilité sur R de la fonction G et de sa dérivée, notée g. Déterminer la convexité de G et la nature des branches infinies de (C). 3°) Densité de v.a. continues. Soit f la densité de T1 : f(t) = 0 si t < 0 , f(t) = 3e3t si t 0. Soient a un réel fixé, et A la fonction telle que A : x A(x) = f(a – x).f(x). a) Démontrer que, si a est négatif, la fonction A est nulle. b) Pour a > 0, préciser la fonction A. c) Comparer la fonction a et la densité de T1 + T2. • (ecricome 93, problème, deuxième partie) La société ALFDIS distribue de l’essence dont la demande est aléatoire. Elle a procédé à une étude des coûts mensuels de gestion de ce produit. 1) On considère la fonction f définie pour tout réel t par : f(t) = On appelle C la courbe représentative de f dans un repère (0, i, j) d’unités 4 cm sur l’axe des abscisses et 10 cm sur l’axe des ordonnées. a. Etudier la dérivabilité de f en 0. Conclure pour la courbe C. b. Construire le tableau de variation de f c. Déterminer les coordonnées du point d’inflexion I de C. d. Tracer la courbe C. 2) Pour tout entier naturel p, on pose Ip = , et, pour a 0 : Ip(a) = a. Calculer I0(a). b. Déterminer une relation de récurrence entre Ip+1(a) et Ip(a). c. En déduire la valeur de I1(a) et de I2(a). d. Prouver que Ip est une intégrale impropre convergente. Calculer Ip en fonction de p. e. Démontrer que la fonction f est la densité de probabilité d’une variable aléatoire Y, dont on déterminera la fonction de répartition F. f. Les statistiques des ventes de la société permettent de considérer dans toute la suite du problème que la variable aléatoire Y représente la demande mensuelle, en millions de litres d’essence. Déterminer la valeur du moment d’ordre p de la variable aléatoire Y. En déduire la demande mensuelle en litres que la société ALFDIS peut espérer, et avec quel écart type (les valeurs seront arrondies à 100 litres près au mieux).
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