Théories de la dispersion 

Caractérisation expérimentale et modélisation du processus d’advection-dispersion d’une pollution accidentelle dans un canal

Théories de la dispersion 

 Les zones de mélanges 

La pollution injectée instantanément dans le canal subit le processus de dispersion dans les trois dimensions de l’espace : longitudinalement dans le sens de l’écoulement, latéralement vers les deux berges du canal et verticalement dans le sens de la profondeur. Du moment de l’injection jusqu’à la fin du réseau, on définit trois zones distinctes (Fischer, 1967 ; Jobson, 1997) : – Du moment de l’injection jusqu’au moment où la concentration devient homogène verticalement, on définit la zone de mélange initial. Cette zone est généralement petite du fait que la dispersion verticale est le phénomène prédominant dans cette zone. – A partir du moment où la concentration devient homogène à travers la section du canal dans la direction verticale et latérale, on définit la deuxième zone de mélange complet. – Enfin, la dernière zone dite zone de champ lointain, débute de la longueur de bon mélange et continue jusqu’à la fin du réseau. Dans cette zone, la dispersion est unidimensionnelle dans le sens du courant, par conséquent, la dispersion longitudinale est prédominante et les composantes verticale et latérale de la dispersion sont négligées. Représentation des trois zones de mélanges (Rutherford, 1994) Depuis l’injection jusqu’à la limite de la zone de mélange complet, on introduit la notion de la longueur du bon mélange.

Longueur de bon mélange

La longueur de bon mélange correspond à la distance nécessaire pour obtenir un mélange homogène de polluant au niveau de la section transversale du canal. Elle dépend essentiellement des paramètres hydrodynamiques de celui-ci et de la position d’injection. La longueur de bon mélange peut être estimée par l’observation directe, sinon on a recours aux méthodes empiriques ou aux méthodes théoriques. 

.Méthodes empiriques

 Les formules empiriques de détermination de la longueur de bon mélange, représentées dans le tableau qui suit, ont été développées sur la base d’un ajustement (par régression ou par tâtonnement…) des données observées expérimentalement sur un nombre limité de cours d’eau et correspondantes à 98% d’homogénéité à travers la section (Jabbour, 2006). Tableau 1 : Détermination de la longueur de bon mélange (empirique) Auteurs Formules pour LM Hull (1962) a1Q 1/3 Day (1977) 25B Beltaos (1980) André (1993) a2BQ1/3 où a1 est égal à 150 pour une injection au centre (s1/3), a2 est une constante variant de 8 à 28 (s1/3/m), Q est le débit du cours d’eau (m3 /s), B est la largeur moyenne de la section mouillée entre le point d’injection et le point d’échantillonnage (m), W est la largeur moyenne du cours d’eau (m), U est la vitesse du cours d’eau (m/s), H est la hauteur d’eau (m), U * est la vitesse de cisaillement (m/s) et Ch est le coefficient de Chézy (m/s2 ).

Méthode théorique

L’approche théorique d’évaluation de la longueur de bon mélange fait intervenir toutes les caractéristiques significatives du cours d’eau et de l’écoulement qui peuvent influencer le mélange. Nombreux sont les chercheurs qui ont travaillé sur ce type de relation. Dans le tableau qui suit, certaines de ces formules sont présentées :Auteurs Formules de LM Elder (1959) Yotsukura (1972) Ward (1973) Fischer (1967) Rimmar (1994) où g est l’accélération due à la pesanteur, Ey est le coefficient de dispersion latérale (m²/s), αx est un paramètre de distance en fonction du degré de mélange et du point d’injection (Il se déduit à partir d’abaque), βx est un coefficient qui varie de 0.2 à 0.3 dans les cours d’eau rectilignes et peut atteindre 0.6 dans les cours d’eau sinueux, est un rapport adimensionnel pouvant prendre n’importe quelle valeur entre 0.3 et 0.9, K1 est une variable dépendant du degré de mélange et du lieu d’injection (d’un abaque), K2 est une constante qui dépend du nombre d’injections (n) du traceur ( et Ch est le coefficient de Chézy (m/s2 ). 3. Modélisation de la dispersion Développer un modèle .pour le phénomène de la dispersion permet de reproduire de façon artificielle un phénomène passé et de modéliser des situations futures. Généralement, il s’agit d’un modèle simplificateur de la réalité des différents phénomènes qui contrôle le processus de la dispersion. Le début de la vague de la modélisation de la dispersion a commencé en 1953 avec Taylor (étude de la dispersion dans les tuyaux). Depuis, nombreuses sont les études qui ont été menées et qui ont permis d’approfondir les connaissances de ce phénomène (Aris en 1968, Elder en 1959, Fischer en 1967, en 1968 et puis en 1973, Miller et Richardson en 1974, etc.). En fonction des objectifs du modèle à réaliser, on distingue :  Le modèle tridimensionnel qui reflète le processus dans les trois directions de l’espace,  Le modèle bidimensionnel qui néglige la dispersion verticale,  Le modèle unidimensionnel qui ne prend en considération que la composante longitudinale de la dispersion. Au niveau de cette étude, on se limite à l’étude des phénomènes dans la zone de mélange lointain. Dans ce cas, la concentration du polluant est homogène au niveau de la section transversale et on néglige la dispersion transversale et verticale devant la composante longitudinale (Jobson, 1997). Les bases théoriques pour la conception du modèle unidimensionnel de la dispersion ont été élaborées par Taylor (1954). Il a montré que la dispersion longitudinale d’un traceur qui est parfaitement mélangé dans la section peut être assimilée à un processus de diffusion de Fick. L’équation de la dispersion, dans sa forme conservative, est exprimée ainsi : DOGHRI Mouna 8 Master STEM Où C est la concentration de la pollution (ou du traceur), D est le coefficient de la dispersion longitudinale (en m²/s), A est l’air de la section, U est la vitesse de l’écoulement et est le terme d’échange. La substitution de l’équation de continuité, , dans l’équation ci-dessus permet d’écrire l’équation de la dispersion dans une forme non conservative (Gajdos et Mandelkern, 1998) : Cette équation peut encore être simplifiée pour donner lieu à une solution analytique avec un nombre réduit de données d’entrée. Cette solution ainsi que les hypothèses menant à cette simplification vont être représentés par la suite dans le chapitre de l’étude expérimentale. La dispersion formulée par l’Equation d’Advection-Dispersion dépend de plusieurs paramètres comme la quantité du traceur, la vitesse du courant, la section du cours d’eau et surtout du coefficient de dispersion longitudinal D, qui est estimé par l’intermédiaire des formules empiriques. Ce coefficient exprime l’effet de la convection différentielle à travers une section transversale. Fischer (1966) a développé, sur la base de l’analyse de Taylor, une méthode pour l’estimation de D en connaissant la forme de la section transversale, la distribution de la vitesse et les coefficients du mélange turbulent. D’autres auteurs ont proposés des formules empiriques pour la détermination de D, ces formules sont basés sur les caractéristiques géométriques et dynamiques du cours d’eau (Cunge, 1980, Hunt, 2006).

Présentation de SIC

Le logiciel SIC (Simulation of Irrigation Canals) est un modèle d’hydraulique développé à IRSTEA de Montpellier (UMR G-eau) depuis la fin des années 80 pour la simulation hydraulique et la régulation de canaux d’irrigation. La simulation des écoulements dans le logiciel SIC est basée sur des calculs d’hydraulique unidimensionnelle en régime permanent et transitoire (équations de Barré de Saint-Venant). Les calculs peuvent être exécutés sur tout type de réseau hydraulique, ramifié ou maillé. Les biefs de canaux ou de rivières peuvent être constitués d’un lit mineur, moyen et majeur, des conduites en charge ainsi que de casiers. En plus de cette utilisation classique, SIC intègre toutes les caractéristiques spécifiques aux canaux d’irrigation. En particulier, il est capable de modéliser les ouvrages en travers et latéraux habituellement rencontrés sur ce type de système (vannes et seuils horizontaux, seuils obliques ou trapézoïdaux, vannes Amil, Avis et Avio, vannes mixtes, etc.). Un modèle de convection-diffusion adossé au modèle hydraulique permet de simuler le transport et la transformation d’éléments variés : température, substances chimiques, algues ou sédiments (Fovet et al., 2012). Pour ces éléments, les concentrations présentent généralement des gradients faibles, et des schémas peu exigeants comme le schéma de Preissmann suffisent pour bien représenter l’évolution des concentrations. En revanche, la simulation des processus de type « pollution accidentelle » nécessite des schémas peu diffusifs, c’est-à-dire capables de simuler le transport d’une concentration sans introduire une diffusion numérique surestimant (voire masquant) le phénomène physique de diffusion-dispersion. Cette étude entre dans le cadre de développement du module qualité de SIC. Plus précisément, il s’agira de mettre en œuvre et tester la validité d’un nouveau schéma numérique soit plus approprié que le schéma de Preissmann existant dans le logiciel.