MODELISATION ELASTOPLASTIQUE AVEC ENDOMMAGEMENT DU BETON DE STRUCTURES 

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MODELISATION DU COMPORTEMENT NON-LINEAIRE DU BETON

Dans ce qui suit, on se limite aux cas des évolutions isothermes et nous restons dans le cadre des petites déformations. De plus, tout phénomène d’origine visqueuse ou de vieillissement est négligé.

Description des non linéarités matérielles

Le matériau béton peut être observé à différentes échelles, de l’échelle microscopique à l’échelle de la structure. L’échelle microscopique du béton non fissuré est donnée par la dimension de ses plus grandes hétérogénéités, les agrégats. En revanche, la fissuration du matériau peut intervenir toutes les échelles, de celle des agrégats à celle de la structure, qui peut présenter des fissures franches nettement localisées. Cet aspect multi-échelîe de la fissuration rend pratiquement impossible la construction complète d’un modèle partant du microscopique pour arriver à un comportement macroscopique, à l’aide de techniques d’homogénéisation. A cet aspect muiti-échelle s’ajoute un aspect mulfi-composants du béton (pâte de ciment durcie, granulats et liaisons pâte de ciment-granulats).
Pour modéliser cette fissuration, il faut d’abord supposer qu’une description continue des phénomènes discontinus d’une matière hétérogène est possible à l’échelle macroscopique de la structure, en postulant :
l’hypothèse de continuité,
l’hypothèse d’homogénéité de la matière (dans un sens « statistique »).
L’hypothèse de continuité signifie que les propriétés physiques varient d’une façon continue d’un point à un autre, tout en faisant abstraction de la constitution intime de la matière. On suppose ainsi que le comportement non-linéaire du matériau est principalement imputable au développement d’une microfissuration à une échelle inférieure : les variables utilisées pour modéliser ce comportement non-linéaire rendront alors compte à l’échelle macroscopique des effets de cette micTofissuration.
Les lois de comportement appliquées à l’échelle macroscopique pour le béton diffèrent en terme de variables d’état. Les premiers modèles proposés ont été des relations élastiques non linéaires, reliant contraintes et déformations {cf. Chen, 1982). Ces modèles ne seront pas développés ici.
Le but de cette partie n’est pas de détailler les divers modèles pour le béton. Il s’agit plutôt de tracer les grandes lignes utilisées pour modéliser, à l’échelle macroscopique,
l’apparition et l’évolution des déformations permanentes,
le phénomène d’adoucissement et
le phénomène d’assouplissement du béton.

Loi élastoplastique

Courbe uni-axiale de compression simple sous chargement cyclique (d’après Sinha et al. Î964) : Illustration des effets macroscopiques à modéliser.
Dans la théorie de î’élastoplasticité appliquée à la description du comportement du béton, les déformations permanentes observées lors de déchargements sont attribuées à un (ou plusieurs) mécanisme(s) plastique(s). L’incrément de déformations totales est décomposé en une partie élastique et une partie plastique (ou plutôt permanente) : d£ = de e +d £ p et l’incrément de contraintes est calculé par : Modélisation êlastoplastique avec endommagement du béton de structure dG = C 0 :(d £ – d £ p ) avec C c le tenseur de comportement élastique.
Les modèles existants pour le béton diffèrent en termes : de la définition des domaines d’élasticité CE initial et actuel, de la loi d’évolution des déformations permanentes, du comportement écrouissable.
Dans la théorie êlastoplastique, c’est la notion de la surface de charge, qui répond à la question « quand » y a-t-il évolution des déformations plastiques ?
la règle d’écoulement répondant à la question « comment » s’effectuent ces évolutions ?
la notion d’écrouissage, liant le « quand » et le « comment ».
Dans les ouvrages de Germain (1973), de Lemaitre et Chaboche (1988) ou bien de Coussy (1991), la notion de loi de comportement est développée dans un cadre thermodynamique global. Ici, nous n’évoquerons l’approche thermodynamique que lorsqu’elle apportera une information utile au problème que nous désirons traiter.
Pour les modèles élastoplastiques existants pour le béton, nous invitons le lecteur intéressé à se reponer aux travaux de synthèse plus complets, notamment ceux de Chen (1982), repris et complétés dans Chen et Han (1988), $Eberhardsteiner et al. (1987) ou de Labbane et al. (1993), où se trouve l’application de tous les éléments de la théorie rappelée brièvement ci-dessous.

Critère de plasticité

Le domaine d’élasticité CE du matériau peut être défini comme un sous-ensemble de l’espace R6 des contraintes, sous la forme d’une fonction de charge f(<J). Pour un matériau plastique parfait ou pour un matériau vierge, nous notons :
Dans le cas d’un matériau écrouissable, le domaine d’élasticité £?E n’est plus fixe {figure 1-2). Il dépend également de paramètres d’écrouissage Z, scalaires et/ou tensoriels : a6eE<=»f(a,z)<o
Il n’y a évolution des variables plastiques que lorsque le point de charge est situé sur la frontière du domaine d’élasticité.

Règle d’écoulement

Le critère de plasticité défini par la fonction de charge f(G,z) répond à la question, « quand » y a-t’il apparition et évolution des déformations plastiques. « Comment » s’effectue cette évolution, est l’objectif de la règle d’écoulement.
Si l’on introduit une fonction convexe g(0,z), appelée potentiel plastique, l’évolution des déformations plastiques est supposée vérifier les relations suivantes :
(5) dep = dÀ – ^ |dX>0sif = 0 et df = 0
avec lc& = 0sif<0ouf = 0etdf<0
où dX est le multiplicateur plastique, et : .. dî _ 8f AT (6) df = —-~ :dG+-p.dÇ Si f(G,Z) = g(CF,Z), la règle d’écoulement est associée, et la direction des incréments de déformations plastiques est normale à la frontière du domaine d’élasticité actuelle CE (figure l-3a). Lorsque f (0,Z) * g(CT,z), la règle d’écoulement est non associée (figure l-2b). Le matériau est dit non standard (Halphen et Nguyen, 1975). Dans un cadre thermodynamique, £p est une variable d’état interne, et 3g/ do représente la direction suivie par d£p, parmi les directions possibles.

Dissipation intrinsèque

L’inégalité fondamentale locale de Clausius-Duhem pour des évolutions isothermes s’écrit G:è-WZ0
L’équation précédente exprime la non-négativité de la dissipation intrinsèque avec *F, l’énergie libre volumique, fonction des variables d’état thermodynamique. Dans le cas d’un matériau élastoplastique écrouissable, on a : où X s o n t l e s variables d’écrouissage et lî(%) l’énergie bloquée par écrouissage. Utilisant (9) dans (7), la non-négativité de la puissance intrinsèque dissipée (en chaleur) s’écrit (Coussy, 1991): # = O: £ p ~~ – . X>0 où le premier terme de cette équation est la puissance plastique <I>P et le second est dû aux phénomènes d’écrouissage. On déduit de l’expression (10) de la dissipation intrinsèque, que les forces thermodynamiques associées dans la dissipation aux vitesses du tenseur des déformations plastiques et des variables d’écrouissage, sont respectivement le tenseur de contraintes G et le terme -8U ¡d%, appelé force d’écrouissage Ç : (11) 2 = C et Ç = – | £
Dans (8) l’énergie bloquée U(%) est supposée indépendante de l’état de déformation £. Enfin, l’évolution de £p est donnée par la règle d’écoulement (5). L’évolution de % est donnée par la loi d’écrouissage.

Loi d’écrouissage

Le domaine d’élasticité initiale est donné par l’expérience. Son évolution dans l’espace des contraintes est décrite par les modèles d’écrouissage. La dépendance du domaine d’élasticité actuel dans l’espace R6 de contraintes permet l’identification expérimentale des paramètres d’écrouissage Z.
En vue de leur identification expérimentale, les modèles font intervenir un nombre limité de paramètres d’écrouissage. On peut citer :
le modèle d’écrouissage isotrope, où un seul paramètre scalaire z définit une transformation homothétique du domaine d’élasticité dans l’espace des contraintes;
le modèle d’écrouissage cinématique, où un seul paramètre tensoriel Z définit la translation des frontières du domaine d’élasticité.
Les différents modèles et leur combinaison possible sont schématisés sur làfigure1-4. OB=zOA c. Ecrouissage
a. Ecrouissage isotrope b. Ecrouissage cinématique isotrope et cinématique
Supposons déterminée une fonction Z = Z(C|) représentative de l’évolution du domaine d’élasticité CE (équation (4)). Cf regroupe les variables mesurables contrôlant l’évolution des paramètres d’écrouissage Z. Il n’y aura possibilité d’évolution élastoplastique, avec modification de l’état d’écrouissage, que si un point de charge actuel est situé sur la frontière du domaine d’élasticité (f = 0), qu’il entraîne avec lui (df = 0), tout en le modifiant. On pourrait déterminer la relation supplémentaire pour l’écrouissage uniquement à partir de la relation de consistance (6) sous la forme : â-a-s-âi-*«-aî:*’c-*H où H est le module d’écrouissage actuel. Une relation q = q(£p), avec la règle d’écoulement (5) az aq dep da
Dans le cadre de la thermodynamique, où les paramètres d’écrouissage Z sont les forces d’écrouissage C, associées aux variables d’état internes % (équation (11)), l’évolution des
variables d’écrouissage est décrite par une règle d’écrouissage, en supposant que l’on peut définir un potentiel h tel que : dX = d l – F où dh/dC, représente la direction prise par d%, parmi les directions possibles. Compte tenu des relations (8) et (14), la relation de consistance df = 0, s’écrit :
d’où l’expression de H : ..,. „ df d2U dh (16) H-~p.-—-y.-rp que nous utiliserons par la suite.
Pour un point de charge situé sur la frontière d’élasticité actuelle (f=0), on peut distinguer le cas de l’écrouissage positif, défini par H>0, de l’écrouissage négatif, défini par H<0, avec quelques implications sur la règle d’écoulement concernant

Restrictions thermodynamiques, énergie bloquée par écrouissage

L’approche thermodynamique évoquée ci-dessus pour décrire l’évolution de la variable d’écrouissage permet de déterminer les directions possibles, suivies par d£p et d%, imposées par la non-négativité de la dissipation intrinsèque (10). Le potentiel non associé h, précisant la règle d’écrouissage (14), peut être différent du potentiel non associé g, précisant la règle d’écoulement (5). En revanche, les fonctions g et h ne peuvent être choisies de façon quelconque. Utilisant (5), (11) et (14) dans l’inégalité (10), les potentiels g et h doivent satisfaire la condition suffisante : (18, o£+ Cf *0 sif=0
La condition (18) définit ainsi les directions thermodynamiquement admissibles suivies par d£p (éq.(5))ct d% (éq. (14)).
D’autre part, l’inégalité de Clausius-Duhem (10) montre que l’énergie dissipée en chaleur pendant le temps dt est égal à <I>dt = <E>pdt – dU. Le terme -dU apparaît comme une énergie infinitésimale non convertie en chaleur pendant le temps dt, mais qui ne peut être immédiatement restituée sous forme d’un travail lors d’une rechargement (Coussy, 1991). C’est pourquoi on l’appelle énergie bloquée par écrouissage. Les composantes de la puissance intrinsèque sont illustrées sur la figure 1-6, où les aires représentent l’intégrale des puissances des composantes de l’équation (10) pendant un cycle de charge à partir de l’origine.
Indiquons ici aussi l’origine de l’énergie bloquée par écrouissage. Pour cela, il faut descendre à l’échelle microscopique, échelle en deçà de l’échelle adoptée pour la description continue des évolutions élastoplastiques. Les phases de l’évolution élastoplastique provoquent à l’échelle microscopique une modification de la structure de la matrice hétérogène. Une partie de ces modifications est irréversible. Après une décharge complète du système, en raison de la structure hétérogène de la matrice, l’état de déformation à l’échelle microscopique ne peut pas correspondre à un état de plastification homogène. Par exemple, il pourrait exister des forces résiduelles de contact élastique entre les composants de la matrice. En effet, comme un champ de déformation purement plastique n’est pas compatible à lui seul, c’est à dire qu’il ne dérive pas d’un champ de déplacement, la déformation élastique induite par ces contributions élastiques à l’échelle microscopique assure la compatibilité cinématique des modifications irréversibles de la structure de la matrice. Une certaine énergie n’est pas récupérée à la décharge sous forme de travail, ni convertie sous forme de chaleur, mais bloquée – par écrouissage.

Formulation élastoplastique dans l’espace des déformations

Le comportement adoucissant (écrouissage négatif) pose une difficulté inhérente à la modélisation (cf. 1-1-2-4) : on ne peut pas a priori distinguer une décharge élastique d’une charge plastique, lorsque le pilotage s’effectue en contraintes. Cette difficulté a amené plusieurs auteurs à proposer une formulation élastoplastique dans l’espace des déformations analogue à la formulation plus classique dans l’espace des contraintes.
L’idée de base consiste à définir un état de contraintes de référence du matériau vierge élastique.
Sous forme incrémentale, on a : (19) dO = d d – d O p dd = C0:d£ avec dap=C„:dep où G est le tenseur de contraintes totales associé par l’équilibre mécanique à un effort extérieur défini à l’échelle du système élémentaire, à est le tenseur de contraintes dites effectives, et <JP est le tenseur dit de relaxation dû à la plastification. La règle d’écoulement s’écrit :
9G(e,q) dÀ>OsiF = O e t ^ : d £ > 0
avec : { de
(20) dGp = dA
9e dF
dA = 0 s i F < 0 o u — :dE<0
où ia fonction G ( E , q) est le potentiel plastique et la fonction F(Ê, q) la surface de charge ou surface de relaxation {Yoder et Iwan, 1981). F définit le domaine d’élasticité CE dans l’espace des déformations : E e e E « F ( £ , q ) < 0
L’équation (20) montre l’avantage de la formulation élastoplastique dans l’espace des déformations par rapport à celle dans l’espace des contraintes : la définition de la condition charge/décharge est univoque. A l’aide d’un état de contraintes effectives de référence attribué à un état vierge de la matière, on ne fait pas la distinction entre î’écrouissage (positif) ( d<T >]dOTpj) . l’adoucissement ( dO <|d<Jp|), ou ie comportement plastique parfait (de = d<Tp) du matériau, (figure 1-7). C’est pourquoi cette formulation est fréquemment utilisée pour modéliser le comportement du béton {Han et Chen, 1986; Chen et Han, 1988; Chen, Yamaguchi et Zhang, 1991; Pekau, Zhang et Liu, 1992; Mizuno et Hatanaka, 1992). Par ailleurs, comme tout critère, qu’il soit de plasticité, d’endommagement ou de rupture fragile, ne peut se mettre a priori que sous la forme f(G,…), (Coussy, 1991), le critère de relaxation F(£,q) peut seulement être déduit d’un critère de plasticité f (C,Z) établi dans l’espace des contraintes (e.g. Mizuno et Hatanaka, 1992).

Limites de ia modélisation élastoplastique du béton

Une modélisation élastoplastique permet de modéliser les déformations permanentes, et le comportement écrouissable et adoucissant du béton. Mais elle ne rend donc pas compte du phénomène d’assouplissement (variation des caractéristiques élastiques), et surestime la valeur des déformations permanentes dans le domaine d’adoucissement, (figures 1-8). D’un point de vue pratique, cela signifie en particulier que ce type de modèle n’est pas adapté à l’étude des structures en béton soumises à des chargements cycliques.
a. Courbe uni axiale de compression simple sous chargement cyclique (d’après Sinha et al., 1964).
b. Modélisation élastoplastique correspondante, écrouissages posiüf et négatif.
Supposant qu’une description continue du phénomène d’assouplissement est possible à l’échelle macroscopique de la structure, on est amené à définir une variable macroscopique, prenant en compte d’une façon explicite ou implicite la variation des caractéristiques élastiques. La définition même d’une telle variable mécanique pose un problème complexe, car les phénomènes discontinus de microfissuration auxquels cette détérioration est attribuée sont difficilement quantifiables à l’échelle de description macroscopique. Les paragraphes suivants sont consacrés à quelques modèles existants qui prennent en compte ce phénomène.
Parmi les modèles décrivant le comportement d’assouplissement à l’échelle macroscopique, on peut distinguer, selon les variables utilisées : les modèles de détérioration due à lafissuration,caractérisés par l’utilisation explicite d’une variable de déformation associée à la fissuration, les modèles d’endommagement avec des variables (scalaires ou tensorielles) décrivant d’une façon explicite la dégradation progressive des caractéristiques élastiques.
La principale différence entre ces deux ensembles de modèles réside dans l’existence ou non d’une élasticité infinitésimale.

Modèles de détérioration

Formalisme général

D’une façon générale, les modèles de détérioration due à la fissuration attribuent les déformations anélastiques à deux mécanismes, l’un d’origine plastique et l’autre associé à des fissures réparties d’une façon régulière dans un volume élémentaire dû : d£ = d£e +d£p +d£f
La décomposition (22) conduit à exprimer l’incrément de contrainte de manière analogue à celle de l’équation (2) : dö = C0 :(d£-d£p -d£f ) avec C0 le tenseur de comportement élastique, indépendant de l’état physique (plastification, détérioration) du matériau. Ainsi, on constate l’existence d’une élasticité infinitésimale. L’effet d’assouplissement est pris en compte d’une façon implicite par l’intermédiaire de d£f. On écrit également : dG = dÔ-dGp -dGf où d<Tf est l’incrément du tenseur de relaxation due à la fissuration.
La déformation permanente due à la refermeture incomplète des fissures dans le cas d’un déchargement total est seulement attribuée à des déformations d’origine plastique, tandis que les déformations de fissuration 6f s’annulent après une décharge totale, figure 1-9 {Han et Chen, 1986; Klisinski et Mroz, 1988), ce qui revient à supposer pour un cycle complet de charge-décharge en contraintes .

Table des matières

MODELISATION ELASTOPLASTIQUE AVEC ENDOMMAGEMENT DU BETON DE STRUCTURES 
1-0. Introduction
1-1. Modélisation du comportement non-iinéaire du béton
1-1-1. Description des non linéarités matérielles
1-1-2. Loi élastoplastique
1-1-2-1. Critère de plasticité
1-1-2-2. Règle d’écoulement,
1-1-2-3. Dissipation intrinsèque
1-1-2-4. Loi d’écrouissage
1-1-2-5. Restrictions thermodynamiques, énergie bloquée par éerouissagc
1-1-2-6. Formulation élastoplastique dans l’espace des déformations
1-1-2-7. Limites de la modélisation élastoplastique du béton
1-1-3. Modèles de détérioration
1-1-3-1. Formalisme général
1-1-3-2. Modèles orthotropes de fissuration
1-1-3-3. Un potentiel de détérioration
1-1-4. Théorie de l’endommagement
1-1-4-1. Contraintes effectives en endommagement
1-1-4-2. Modèles d’endommagement
1-1-4-3. Plasticité et endommagement
1-1-4-4. L’évolution de l’endommagement
1-1-4-5. Cadre thermodynamique d’un modèle élastoplastique avec endommagement
1-1-5. Vers un modèle élastoplastique avec endommagement
1-2. Modélisation élastoplastique du béton
1-2-1. Quelques notations et définitions
1-2-2. Faits expérimentaux
1-2-2-1. Limites de rupture
1-2-2-2. Comportement uniaxial du béton
1-2-2-3. Variation de volume anélastique
1-2-3. Porosité plastique
1-2-4. Critère de Willam-Warnke à trois paramètres
1-2-4-1. Critère de plasticité parfaite
1-2-4-2. Critère de plasticité avec écrouissage isotrope
1-2-4-3. Règle d’écoulement
1-2-4-4. Loi d’écrouissage
1-2-4-5. Domaine d’application
1-2-5. Critère de Willam-Warnke modifié
1-2-5-1. Critère de plasticité modifié
1-2-5-2. Règle d’écoulement
1-2-5-3. Extension au cas d’écrouissage
1-2-5-4. Domaine d’application
1-2-6. Récapitulatif de la modélisation éiastoplastique
1-3. Extension : couplage plasticité – endommageaient
1-3-1. Effet du dommage à la décharge-recharge et endommagement
1-3-2. Variation des caractéristiques élastiques
1-3-2-1. Porosité plastique et endommagement
1-3-2-2. Fonctions K(«|>P) et GOP)
1-3-3. Couplage de ia plasticité et de l’endommagement
1-3-3-1. Les composantes
1-3-3-3. Cas d’étude : le cisaillement pur
1 -3-4. Récapitulatif du modèle éiastoplastique avec endommagement
1-4. Conclusion
2-APPLICATION AUX CALCULS STATIQUES ET DYNAMIQUES DE STRUCTURES EN BETON ARME ET BETON PRECONTRAINT MODELISATION POUTRE MULTD7D3RE 
2-0. Introduction
2-1. Niveau de Discrétisation des structures poutres par éléments finis
2-1-1. Discrétisation globale
2-1-2. Discrétisation locale
2-1-3. Discrétisation semi-globale
2-2. Elément poutre muitifibre
2-2-1. Quelques notations et définitions
2-2-1-1. Hypothèse des petites perturbations
2-2-1-2. Efforts intérieures de poutres tridimensionnelles
2-2-2. Présentation de l’élément poutre muitifibre
2-2-2-1. Approche semi-globale appliquée au poutres tridimensionnelles
2-2-2-2. Rappel des hypothèses de déformation des poutres
2-2-2-3. Vecteur de déplacement de la fibre k
2-2-2-4. Tenseur de déformations linéarisé
2-2-2-5. Rigidité à la torsion
2-2-3. Mise en équation du problème
2-2-3-1. Formulation faible de l’équation d’équilibre mécanique
2-2-3-2. Vecteurs d’efforts intérieurs
2-2-3-3. Matrice de rigidité tangente
2-2-3-4. Equations d’équilibre incrémentales
2-2-4. Récapitulatif
2-3. Extensions de la formulation poutre multifibre
2-3-1. Modélisation poutre multifibre en grands déplacements
2-3-1-1, Transformation finie et déformation infinitésimale des poutres
2-3-1-2. Description du mouvement des poutres tridimensionnelles
2-3-1-3. Vecteur de déplacement de la fibre k
2-3-1-4. Mise en équation
2-3-1-5. Récapitulatif
2-3-2. Modélisation multifibre du déplacement relatif entre fibres
2-3-2-1. Déplacement relatif : le glissement
2-3-2-2. Position du problème dans le cas des poutres
2-3-2-3. Modélisation géométrique d’une fibre curviligne k
2-3-2-4. Vecteur de déplacement de la fibre k
2-3-2-5. Facteur de glissement
2-3-2-6. Loi de comportement d’une fibre inclinée
2-3-2-7. Prise en compte du frottement
2-3-2-8. Vecteur des efforts intérieurs et matrice de rigidité tangente
2-3-2-9. Récapitulatif
2-3-3. Commentaires
2-4. Conclusion
3-MISE EN OEUVRE NUMERIQUE DANS CESAR-LCPC 
3-0. Introduction
3-1. Code de calcul par éléments finis : CESAR-LCPC
3-2. Méthode de résolution numérique
3-2-1. Discrétisation temporelle du problème
3-2-2. Méthode d’intégration locale de la loi de comportement
3-2-3. Algorithme de Newmark
3-3. Mise en oeuvre dans CESAR
3-3-1. De « MCNL » à « DYNL »
3-3-2. Critères de convergence
3-3-3. Calcul du vecteur des efforts intérieurs
3-3-4. Bibliothèque des lois de comportement
3-5. Conclusion
4-EXEMPLES D’APPLICATIONS NUMERIQUES 
4-0. Introduction
4-1. Exemple : Portique plan
4-1-1. Géométrie, modélisation, chargements
4-1-1-1. Géométrie et modélisation par éléments poutre multicouche
4-1-1-2. Chargement statique, cyclique
4-1-2. Lois du comportement uniaxiales, caractéristiques matérielles
4-1-2-1. Béton : loi uniaxiale élastoplastique avec endommagement
4-1-2-2. Acier
4-1-3. Quelques résultats
4-1-3-1. Cas de chargement statique
4-1-3-2. Cas de chargement cyclique
4-1-4. Commentaires
4-2. Exemple : Flambement d’un poteau
4-2-1. Données et modélisation
4-2-1-1. Géométrie et modélisation
4-2-1-2. Matériaux
4-2-1-3. Chargement
4-2-2. Résultats
4-3. Exemple : Portique plan multi-étagé – structure ISPRA
4-3-1. Données et modélisation
4-3-1-1. Choix d’un modèle plan « équivalent »
4-3-1-2. Modélisation de la structure « ISPRA plane »
4-3-1-3. Matériaux
4-3-2. Etude du comportement dynamique non-linéaire de la structure
4-3-2-1. Chargement
4-3-2-2. Résultats
4-3-2-3. Effets du dommage : variation de la fréquence, évolution de l’amplitude
4-3-3. Réponse sous chargement sismique
4-3-3-1. Chargement
4-3-3-2. Résultats
4-3-3-3. Effets du dommage sous chargement sismique
4-4. Exemple : Déversement des poutres
4-4-1. Données et modélisation
4-4-1-1. Système de chargement
4-4-1-2. Défauts géométriques
4-4-1-3. Matériaux
4-4-1-4. Modélisation
4-4-2. Comparaisons essais-calculs
4-4-2-1. Exploitation des calculs
44-2-2. Résultats
4-4-3. Commentaires
4-5. Exemple : Poutres précontraintes
4-5-1. Données et modélisation
4-5-1-1. Géométrie
4-5-1-2. Matériaux
4-5-1-3. Maillage
4-5-1-1. Chargement
4-5-2. Mise en précontrainte
4-5-2 -1. Application de la force de précontrainte (condition aux limites en force)
4-5-2-2. Résultats
4-5-3. Capacité portante en précontrainte extérieure et intérieure
4-5-3-1. Précontrainte extérieure et intérieure (condition aux limites en glissement)
4-5-3-2. Résultats
4-5-4. Commentaires
4-6. Exemple : Structure 3D à portiques multi-étagés sous chargement sismique
4-6-1. Structure « ISPRA 3D portiques », modélisation
4-6-2. Résultats
4-6-3. Commentaires
4-7. Conclusion
CONCLUSIONS 
BIBLIOGRAPHIE
RB1. Références Chapitre 1
RB2. Références Chapitre 2
RB3. Références Chapitre 3
ANNEXE
Al-1. Expression explicite du critère
Al-2. Expression de la dérivée du critère par rapport à G
Al-3. Paramètres du modèle de Willam-Wamke modifié
Annexe 2 : Elément poutre muitifibre
A2-1. Champ de déplacement discrétisé
A2-2. Matrice des dérivées des fonctions d’interpolation
A2-2-1. Matrice [B] standard
A2-2-1. Matrice [B] pour le cas du glissement
A2-3. Matrice de rigidité de l’élément muitifibre à 14 DDL
Annexe 3 : Rotations semi-tangentielles
A3-1. Rotations infinitésimales et rotations finies
A3-2. Rotations semi-tangentielles

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