La Technique mise à l’épreuve

 La Technique mise à l’épreuve

Pour étudier avec la calculatrice des suites récurrentes, il faut souvent faire un changement de variable. En effet pendant le cours de mathématiques les suites de noms u, v,… sont définies par leur premier terme u0 et leur terme général un+1 contrairement à la calculatrice qui utilise par défaut u1 et un. La calculatrice définit 99 suites de noms u1, u2, … jusqu’à u99, le terme général de la suite u1 étant noté u1(n) et le premier terme est noté ui1, i étant fixé par défaut à 1 dans le menu •windows et on aura souvent à y enregistrer nmin =0 (et éventuellement initialiser à 0 plotStart -plotStrt = 0- : c’est le numéro du premier terme de la représentation graphique). Pour étudier la suite géométrique de raison 2 définie par : effectuer le changement de variable a. En mode suite (sequence) : choisir u1 et taper dans l’éditeur de fonctions •y= u1(n)=2* u1(n-1) ui1=1 Étudier la suite avec table. Vérifier que dans l’application Table Set « •TblSet » la valeur initiale est 0 ou une autre valeur entière à; partir de laquelle vous voulez commencer à calculer les termes de votre suite. Dans tous les cas choisir le pas tbl égal à 1. Il est possible de choisir le mode « question » avec independent : ASK pour pouvoir introduire les valeurs de n directement dans la table. On peut aussi taper u1(5) dans •home pour connaître u5 ou (u1(n), n, 0, 5) pour la sa somme S5 = u0 + u1 +…+ u5 des 6 premiers termes. b. En mode direct : taper dans

home la formule : when(n>0, 2*u(n-1), 1)  u(n) où la formule de définition de un est de la forme : when(n>0, « formule de récurrence un », « premier terme u0 ») STO u(n) II. EXEMPLE AVEC UNE SUITE GÉOMÉTRIQUE AUXILIAIRE. Voici un texte d’exercice : On considère la suite arithmético-géométrique un définie par u0 = 0 et, pour tout n>0, par . On pose vn = un – 2 1. Montrer que vn est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison q. 2. Exprimer vn en fonction de n et en déduire un 3. Calculer les limites de vn et un lorsque n tend vers +. 4. Calculer la somme n = v0 + v1 +…+ vn et en déduire Sn = u0 + u1 +…+ un. a. Utilisation de la TI-92 en mode SUITE (sequence) Taper dans l’éditeur de fonctions •y= u1(n)=u1(n-1)/2+1 ui1=0 La calculatrice ne sait pas calculer deux suites au même niveau. Il faut donc aussi transformer la formule vn = un – 2 en vn = un-1 – 2 donc avec les suites u1 et u2 taper u2(n)=u1(n-1)-2 et penser au décalage du rang de 1 dans la lecture du tableau u2. Il est possible de faire une recherche intuitive de limites.Dans l’écran de calcul taper la formule when(n>0,u(n-1)/2+1,0) STO u(n) et u(n)-2 STO v(n), puis pour calculer la somme des premiers termes, écrire (u1(n),n,0,p) ST s(p). Un petit programme peut permettre d’écrire les premiers termes des suites u, v et s. Dans ce mode les calculs sont exacts. III. AVEC UN POINT FIXE On considère la suite un définie par u0 = 0 et pour tout n positif par : a. En mode suite (sequence) b. en mode direct home Préparer la construction de «l’escargot» en choisissant à partir de l’écran y= dans le menu F7 Axes le mode toile d’araignée WEB. La courbe et la droite d’équation y = x apparaissent dans l’écran

Graph et puis afficher l’escargot avec le mode F3 TRACE. La limite l de cette suite est égale à 2. C’est la solution de l’équation ; solution positive de l’équation x2 = x + 2. Nombre d’or Étudier la suite un définie par u0 = 0 et pour tout n positif par : . La limite l de cette suite est le nombre d’or  = . C’est la solution de l’équation ; solution positive de l’équation x2 = x + 1, soit x2 – x – 1 = 0. Le produit des solutions de cette équation est -1 donc la solution négative est l’opposé de l’inverse du nombre d’or :  = – . En divisant l’équation par x non nul on obtient x – 1 – = 0 soit x = 1 + , d’où  = .  et ont donc la même partie décimale 0,61803398875…. On pourra montrer que la suite vn définie par v0 = 0 et pour tout n positif par : a pour limite . Remarque : au XIXe siècle on utilise la lettre grecque F (phi) pour le nombre d’or, en hommage au sculpteur grec Phidias. Platon affirmait que toute la connaissance réside en ce nombre. C’est suffisant pour inventer le mythe de la divine proportion pour le Parthénon : la façade serait inscrite dans un rectangle d’or. Même en rajoutant le fronton « triangulaire », Phidias est loin de l’or !