Contribution à la résolution des équations de Maxwell dans les structures périodiques par la méthode des éléments finis

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Contribution à la résolution des équations de Maxwell dans les structures périodiques par la méthode des éléments finis

Théorie de floquet

Introduction

La théorie de Floquet est la théorie essentielle utilisée pour la modélisation de la propagation dans une structure périodique dans une ou plusieurs directions. Dans la première partie II.1.2 nous présentons tout d’abord son principe en traitant le cas simple de la propagation dans des structures périodiques ayant leurs directions de périodicités confondues avec les axes du repère cartésien. Ensuite partie II.1.5 nous traitons le cas où une direction de périodicité n’est pas confondue avec un des axes du repère cartésien. Finalement, dans la section II.1.7 nous énonçons des considérations sur les cristaux photoniques afin d’introduire la notion de diagramme de bandes dans la section II.1.8. Toutes les grandeurs sont définies dans R 3 × R t . On note par E(r, t) et H(r, t) les champs solutions à valeurs dans C 3 . On suppose par la suite que les champs sont des solutions physiquement acceptables des équations de Maxwell. De tels champs doivent posséder un énergie électromagnétique localement bornée, ce qui entraîne qu’ils doivent être de carré localement sommable. On se place dans un domaine infiniment périodique et ouvert de R 3 noté Ω. Dans Ω, les équations de Maxwell peuvent alors s’écrire[38] : Maxwell Faraday ∇ × E + ∂ ∂t(µH) = 0 Maxwell Gauss ∇.(ǫE) = ρ, ρ ∈ R Conservation du flux magn´etique ∇.(µH) = 0 Maxwell Amp`ere ∇ × H − ∂ ∂t(ǫE) − J = 0, J ∈ C 3 Dans le cas général, Ω est un domaine hétérogène et linéaire comportant des matériaux à pertes et ǫ, µ sont des matrices hermitiennes. Des définitions plus précises de ǫ et µ sont données en annexe A.2. Dans la suite, on pose ǫ −1 = 1 ǫ (respectivement µ −1 = 1 µ ), parce que dans la majorité des cas traités, ǫ et µ sont des nombres complexes. Si on veut garder le plus de généralité possible, il suffit de remplacer 1 ǫ (respectivement 1 µ ) par la matrice [ǫ] −1 (respectivement [µ] −1 ) dans tout ce qui suit. On appelle Ωobs ∈ Ω la région de l’espace de laquelle est observée la périodicité. On suppose Ωobs est un ouvert de Ω qui ne comporte pas de charge ni de courant donc ρ = 0 et J = 0. On suppose aussi que dans Ωobs, ǫr = ǫ/ǫ0 et µr = µ/µ0 sont constants et réels. On peut alors écrire : ∇ × H(r, t) − ǫ0ǫr ∂ ∂tE(r, t) = 0, r ∈ Ωobs. (1.II) ∇ × E(r, t) µr + µ0 ∂ ∂tH(r, t) = 0, r ∈ Ωobs. (2.II) 27 Les équations (1.II) et (2.II) sont à prendre au sens des distributions [39]. Autrement dit, elles incluent les conditions aux limites sur les interfaces entre les matériaux, en l’occurence la continuité des composantes tangentielles du champ électrique (cf annexe A.1). En combinant (1.II) et (2.II) et en posant C = 1 √ǫ0µ0 on obtient alors : △E + ǫrµr C2 ∂ 2 ∂ 2 t E = 0 ⇒ E = 0, r ∈ Ωobs (3.II) Où est l’opérateur défini par : = △ + ǫrµr C2 ∂ 2 ∂ 2 t (4.II) Pour une amplitude complexe Eidonne, on définit le champ d’une onde plane incidente : Ei(x, y, z, t) = Eie j(−ωt−ki.r) , ki = (kix, kiy, kiz), r = (x, y, z). (5.II) Ei(x, y, z, t) est une solution triviale de (3.II) lorsque kkik 2 = ω 2 C2 ǫrµr.

Périodicité selon un axe

On veut par exemple déterminer les solutions de propagations le long d’une structure périodique selon l’axe (Ox) de période d. Prenons le cas d’un réseau de fentes métalliques. On considère une onde plane [40] incidente dans le plan du vecteur d’ondes : ki = (ki sin(θ), −ki cos(θ), 0) On suppose que la projection d’une onde plane dans le plan z = 0 fait un angle θ avec la normale et génère une ou plusieurs ondes. Comme dans la relation (5.II) la composante du champ électrique (Ei)z est donnée par : (Ei)z(x, y, z, t) = Eize j(−ωt−~ki.~r) = Eie −jωt.ej(kiy.cos(θ)−kix.sin(θ)) . Fig 1.II Réseau périodique de fentes métalliques selon l’axe Ox. On suppose que le domaine d’observation Ωobs est le demi espace supérieur contenu dans 28 l’air. On peut alors écrire [41] de façon abusive que la solution représentant le champ total E(x, y, z, t) = Ei(x, y, z, t) + Er(x, y, z, t) (à condition qu’elle existe) vérifie : E(x, y, z, t) = −1 (Ei(x, y, z, t)), (x, y, z) = r ∈ Ωobs Ou l’opérateur est l’opérateur vectoriel de l’équation des ondes défini par (4.II). Autrement dit la solution E(x, y, z, t) du problème électromagnétique dans Ωobs est l’image réciproque de l’onde incidente Ei(x, y, z, t) par l’opérateur . Comme cet opérateur est linéaire et invariant par translation de longueur d selon (Ox) on peut écrire : E(x + d, y, zt) = −1 (Ei(x + d, y, z, t)) = e −kid sin(θ) −1 (Ei(x, y, z, t)) Ceci revient en fait à dire que l’opérateur des ondes est invariant par translation mais la condition initiale change puisque l’onde incidente est décalée. En définissant E0(x, y, z, t) = E(x, y, z, t)e jki.x sin(θ) on peut facilement vérifier que E0 est périodique en x de période d. On peut donc écrire E0 sous forme d’une série de Fourier : E0(x, y, z, t) = X +∞ n=−∞ Eˆn(y, z, t)e j( 2nπ d )x avec Eˆn(y, z, t) = 1 d Z d 0 E0(x, y, z, t)e j(− 2nπ d )x dx Et donc E(x, y, z, t) = X +∞ n=−∞ Eˆn(y, z, t)e j(Gn−ki sin(θ))x avec Gn = 2nπ d (x, y, z) = r ∈ Ωobs. (6.II) Remarque II.1. Soit f une fonction intégrable à valeur dans R. Dans la suite de la thèse, toutes les fonctions sont intégrables et si la variable temps n’est pas précisée, c’est que l’on considère les transformées de Fourier des grandeurs étudiées. La transformée de Fourier que nous utilisons pour passer du domaine temporel au domaine fréquentiel s’écrit : F(f) : ω 7→ ˆf(ω) = 1 √ 2π Z +∞ −∞ f(t) e−jωt dt. Et par conséquent : ∂ ∂t ˆf(ω) = −jω ˆf(ω)

Exemple d’une structure bi-périodique simple

On peut étendre ce résultat à une structure périodique dans deux directions et invariante dans la direction z. Comme le problème est périodique l’étude se limite à une cellule de base. 29 Tous les points P˜ dans le domaine périodique infini ont un point P correspondant dans le domaine rouge et si l’on connaît la valeur du champ E dans ce domaine, toutes les solutions dans le domaine périodique peuvent être reproduites en utilisant les conditions de Floquet. Fig 2.II En rouge cellule unitaire d’une structure périodique dans deux directions. T1 = (dx, 0), T2 = (0, dy), ki = (kix, kiy, 0). Plus précisément : ∃(m, n) ∈ Z 2 , P˜ = P + mT1 + nT2 ⇒ E(P˜ ) = E(P)e −j

Table des matières

I Introduction générale
I.1 Contexte de l’étude
I.2 État de l’art non exhaustif pour les structures périodiques
I.2.1 Surfaces sélectives en fréquence (FSS)
I.2.2 Surfaces HIS
I.2.3 Antennes EBG
I.2.4 Réseaux de tiges diélectriques
I.2.5 Isolant aux ondes Wifi
I.3 Problématique
I.4 Objectifs
I.5 Plan de l’étude
I.6 Conclusion
II État de l’art des méthodes d’analyse des structures périodiques
II.1 Théorie de floquet
II.1.1 Introduction
II.1.2 Périodicité selon un axe
II.1.3 Exemple d’une structure bi-périodique simple
II.1.4 Floquet 3d
II.1.5 Périodicité selon une droite vectorielle
II.1.6 Conclusion
II.1.7 Considérations sur les cristaux photoniques
II.1.8 Diagramme de bandes
II.2 Différentes façon d’aborder la propagation dans les structures périodiques
II.3 Méthodes analytiques modales
II.3.1 Introduction
II.3.2 Méthode des ondes planes
II.3.3 Présentation de la méthode RCWA
II.3.4 Intérêts des méthodes modales
II.3.5 Aspects limitant de la méthode
II.4 Méthode FDTD (Finite-Difference Time-Domain)
II.4.1 Principe de la méthode
II.4.2 Stabilité numérique
II.4.3 Les problèmes périodiques
II.4.4 Intérêts
II.4.5 Limitations
II.5 Méthode des équations intégrales
II.5.1 Introduction
II.5.2 Principe de la méthode
II.5.3 Intérêts
II.5.4 Limitations
II.6 Conclusion
III La méthode des éléments finis
III.1 Introduction
III.2 Formulation variationnelle
III.2.1 Introduction
III.2.2 Assemblage des matrices via la méthode de Galerkin
III.2.3 Conclusion
III.3 Conditions aux limites pour la résolution mode propre
III.3.1 Introduction
III.3.2 Conducteur parfait
III.3.3 Couches absorbantes (PML) pour le solveur mode propre
III.3.4 Autre formulation des PML : complexification des coordonnées
III.3.5 Conditions aux limites Maître-esclave
III.4 Intérêts de la méthode des éléments finis
III.5 Limitations
III.6 Conclusion
IV Résolution du problème aux valeurs propres
IV.1 Définition du problème
IV.2 L’ algorithme de calcul des valeurs propres
IV.2.1 Introduction
IV.2.2 Construction de la base d’Arnoldi
IV.2.3 Cas où la matrice O est symétrique réelle, ou hermitienne : l’algorithme de Lanczos
IV.2.4 Algorithme QR translaté (QR shifted)
IV.2.5 Itérations successives et redémarrage
IV.2.6 Conclusion
IV.3 Transformation « Shift and Invert »
IV.3.1 Introduction
IV.3.2 Transformation
IV.3.3 Conclusion
IV.4 Paramétrisations et précision numérique
IV.4.1 Rappel
IV.4.2 Initialisation du shift
IV.4.3 Choix du nombre de vecteur d’Arnoldi
IV.4.4 Critère d’élimination des valeurs propres nulles
IV.4.5 Réglage du shift pendant le calcul
IV.4.6 Considérations sur le maillage
IV.5 Élimination automatique des solutions parasites
IV.5.1 Introduction
IV.5.2 Élimination des modes propres parasites dans les cavités métalliques
IV.6 Stockage des matrices
IV.6.1 Matrices de bandes
IV.6.2 Algorithme de Cuthill et Mc Kee
IV.6.3 Stockage au format Yale Sparse Matrix
IV.6.4 En résumé
IV.6.5 Résolution des système linéaires pour les matrices creuses
IV.7 Conclusion
V Validations et extensions des outils numériques utilisés pour le calcul de diagrammes de bandes
V.1 Introduction
V.2 Structure des données
V.2.1 Introduction
V.2.2 Les fichiers d’entrée
V.2.3 Calcul et représentation des champs
V.3 Validation
V.3.1 Introduction
V.3.2 Cavités métalliques et solutions stationnaires
V.3.3 Réseaux périodiques
V.3.4 Conclusion
V.4 Modes de surface et couplage inter-éléments dans un réseau
V.4.1 Introduction
V.4.2 Super-cellules et diagrammes de bandes projetés
V.4.3 Outil complémentaire de caractérisation des ondes de surface
V.4.4 Surface Haute Impédance
V.4.5 Ondes de surfaces excités dans une antenne réseau constituée de patchs dans des cavités .
V.4.6 Résumé des performances de calcul obtenues pour la HIS et l’antenne réseau
V.5 Conclusion
VI Conclusion et perspectives
VI.1 Conclusion générale
VI.2 Milieux dispersifs
VI.2.1 Modélisation du problème de modes propres pour les milieux dispersifs
VI.2.2 Introduction d’une source explicite dans une structure bi-périodique
VI.2.3 Conclusion
VI.3 Perspectives
A Compléments et outils : sommaire
A.1 Conditions d’interface entre deux milieux
A.2 Comportement face à une excitation électrique ou magnétique
A.2.1 Permittivité et polarisation d’un diélectrique
A.2.2 Causalité de la polarisation
A.2.3 Permittivité électrique et champ d’induction
A.2.4 Permittivité complexe
A.2.5 Relaxation de Debye
A.3 Éléments finis d’arêtes de Nedelec
A.3.1 Définition locale et propriétés
A.4 Calcul des matrices élémentaires
A.4.1 Intégration dans le tétraèdre
A.6 Algorithmes de calcul des valeurs propres
A.6.1 Introduction
A.6.2 Méthode de la puissance itérée
A.6.3 Puissance itérée inverse
A.6.4 Calcul des valeurs propres par l’algorithme QR
A.7 Arbre couvrant de poids minimal (Minimum spanning tree)
A.7.1 Introduction
A.7.2 Définitions
A.7.3 Algorithme générique
A.7.4 Algorithme de Prim
A.7.5 Algorithme de Kruskal
A.8 Compilation des exécutables