Modèles de fronts pour films minces

Modèles de fronts pour films minces

MODÈLES ASYMPTOTIQUES DE FRONT D’AVANCEMENT

Nous avons donc fini l’étude du film mince en amont du front. Maintenant, nous allons construire différents modèles de front d’avancement pour le film mince que nous venons d’étudier. Nous allons étudier le problème proche du front d’avancement (chapitre 4 page 65) où la vitesse d’avancement est U~ad v = U~sl = −u0~ex , ce qui peut aussi être vu comme le front arrière de l’écoulement en prenant la vitesse moyenne du front U~r ec = U~sl = u0~ex (selon l’orientation de l’axe des abscisses). Ce problème sera étudié en différentes zones, en effet nous allons utiliser une condition de glissement qui permettra d’avoir un glissement du fluide sur le fond solide très près du front mais ce glissement s’annulera ensuite en s’éloignant du front pour retrouver une condition classique d’adhérence. On disposera alors de deux (chapitre 5 page 75) ou trois (chapitre 6 page 143) zones d’études selon les hypothèses de raccord faites :où Ωint est la zone interne, proche du front, Ωex t la zone externe, loin du front (c’est celle qui va se raccorder au film mince), et ΩR la zone de raccord qui est commune aux deux zones précédentes. Nous passerons alors d’un problème de Navier-Stokes aux équations de Stokes stationnaires en supposant que le nombre de Reynolds associé à notre écoulement au niveau du front est faible. Nous réaliserons alors un développement asymptotique raccordé en fonction d’un second petit paramètre, le nombre capillaire du front Ca,f ≪ 1, dans les différentes zones étudiées et nous ferons une étude en deux zones de raccord du front d’avancement si le terme Ca,f ¯ ¯ lnβ ¯ ¯ ≪ 1, où β est le coefficient de glissement et est le troisième petit paramètre de notre modèle. Notons que le nombre capillaireCa,f = U0µ κ est un paramètre qui permet de quantifier la vitesse moyenne du frontU0 (avec µ la viscosité dynamique et κ la tension de surface), donc si celle-ci est faible et si β n’est pas trop petit, on a alors un raccord assez simple des inconnues. Mais si Ca,f ¯ ¯ lnβ ¯ ¯ ∼ O (1), la zone de glissement est alors plus importante et/ou la vitesse plus élevée, nous serons alors obligés de faire un raccord en trois zones. Dans la zone intermédiaire ou zone de raccord, le glissement constant de la zone proche du front, tendra vers zéro pour se raccorder à la zone loin du front, la zone de non-glissement

PROBLÈMES DE FRONT D’AVANCEMENT

Dans ce chapitre, nous allons expliciter le problème au niveau du front d’avancement du fluide où la condition de glissement est active. Cette condition nous permet d’avoir un glissement donné très près du front qui décroît en s’éloignant du front, jusqu’à ré-obtenir une condition de nonglissement. Le problème sera donc étudié séparément sur ces deux zones dans la suite. Pour cela et sous certaines hypothèses, nous passerons d’un problème de Navier-Stokes aux équations de Stokes stationnaires et nous réaliserons un adimensionnement du problème que nous résoudrons par développements asymptotiques en fonction d’un petit paramètre : le nombre capillaire du front Ca,f . Pour simplifier la résolution du problème, nous l’écrirons dans le repère du fluide et introduirons une équation de la surface libre, qui est une inconnue de notre problème. Enfin nous passerons en formulation courant, ce qui permet de découpler la résolution de la vitesse et de la pression.où les inconnues sont le champs de vitesse u ¡ r ,φ ¢ , la pression p ¡ r ,φ ¢ et la forme de la surface libre θ (r ). Comme introduit dans la partie 1.2 page 14, nous avons pris ici 1 κf (h) = αχ(r ). Pour étudier le front d’avancement, nous passons des équations de Navier-Stokes aux équations de Stokes stationnaire en gardant une vitesse non-nulle à l’interface. Nous allons réaliser un adimensionnement des équations de Navier-Stokes pour justifier cette simplification du problème où : • le nombre de Reynolds Re,f est le rapport des forces d’inertie sur les forces de viscosité au niveau du front d’avancement, • le nombre de Weber We,f est le rapport des forces d’inertie sur la tension de surface, • le nombre capillaire Ca,f est le rapport des forces de viscosité sur les forces de tension de surface, • le nombre de Froude au carré F 2 f caractérise le rapport entre les forces liées à la vitesse et la force de pesanteur (la pression hydrostatique) et • le coefficient de glissement β .

Changement de repère

On se met alors dans le repère du fluide. C’est donc la paroi qui va avancer, le fluide ne se déplace plus mais il y a toujours un champ de vitesse adimensionné u à l’intérieur du fluide. On pose donc u¯ = u −U~sl où u¯ est la vitesse dans le nouveau repère et U~sl = −~ex est la vitesse moyenne adimensionnée du fluide, pour plus de simplicité dans les notations nous omettrons les “¯” . Le problème est alors le suivant :

Table des matières

Table des figures
Liste des tableaux
Liste des symboles
0 Introduction générale
I Introduction aux écoulements du type Navier-Stokes
1 Écoulements du type Navier-Stokes
1.1 Établissement des équations dans le repère cartésien
1.2 Condition de glissement
1.3 En coordonnées polaires
1.4 Décomposition de domaine
1.5 Changement de repère
1.6 Principe de la formulation courant
2 Existence et unicité
2.1 Problème de Stokes stationnaire avec adhérence au fond
2.1.1 Étude variationnelle
2.1.2 Solution analytique
2.1.3 Expression de l’énergie visqueuse
2.2 Étude de Solonnikov : Surface libre inconnue
2.3 Étude de Kröner
2.4 Passage des équations de Navier-Stokes à celles de Stokes
2.5 Existence de solutions faibles aux équations de Navier-Stokes
2.5.1 Décomposition de Leray
2.5.2 Opérateur de Stokes
2.5.3 Théorème de Leray
2.6 Justification de la construction d’un modèle Saint-Venant à partir des équations deNavier-Stokes
I I Modèles asymptotiques pour la dynamique d’un film mince
3 Modèles Saint-Venant (Shallow-water models)
3.1 Équations de Navier-Stokes
3.1.1 Équations moyennées
3.1.2 Système obtenu
3.2 Hypothèse onde longue
3.3 Adimensionnement
3.3.1 Hypothèses sur l’adimensionnement
3.3.2 Système obtenu
3.4 Solution uniforme (film de Nusselt)
3.5 Développement onde longue
3.5.1 Ordre 0
3.5.2 Ordre 1 sur uz
3.6 Écriture sous forme conservative
3.7 Modèles obtenus
III Modèles asymptotiques de front d’avancement
4 Introduction aux problèmes de front d’avancement
4.1 Adimensionnement
4.2 Équations de volume
4.3 Changement de repère
4.4 Équation sur la surface libre
4.5 Problème complet avec glissement
4.6 Formulation courant
5 Modèle de front à deux zones avec un raccord
5.1 Problème externe
5.1.1 Développement asymptotique en Ca,f
5.1.2 Problème à l’ordre 0 en Ca,f
5.1.3 Problème à l’ordre 1 en Ca,f
5.1.4 Méthode de résolution du problème à l’ordre 0 en Ca,f
5.1.5 Changement de variable
5.2 Problème interne
5.2.1 Zoom
5.2.2 Développement asymptotique en Ca,f
5.2.3 Problème à l’ordre 0 en Ca,f
5.2.4 Problème à l’ordre 1 en Ca,f
5.2.5 Méthode de résolution du problème à l’ordre 0 en Ca,f
5.2.6 Changement de variable
5.3 Étude et raccord du problème complet à l’ordre 0 en Ca,f
5.3.1 Problème externe à l’ordre 0 en Ca,f
5.3.2 Problème interne à l’ordre 0 en Ca,f
5.3.3 Raccord de l’ordre 0 en Ca,f
5.4 Étude du problème à l’ordre 1 en Ca,f
5.4.1 Problème externe à l’ordre 1 en Ca,f
5.4.2 Problème interne à l’ordre 1 en Ca,f
5.4.3 Surface libre à l’ordre 1 en Ca,f
5.4.4 Pression à l’ordre 1 en Ca,f
5.4.5 Fonction courant à l’ordre 1 en Ca,f
5.5 Conclusion
6 Modèle de front à trois zones avec deux raccords
6.1 Rappel des résultats obtenus à l’ordre 0 en Ca,f
6.1.1 Zone externe
6.1.2 Zone interne
6.1.3 Raccord
6.2 Zone intermédiaire
6.2.1 Changement de variable
6.2.2 Développement asymptotique
6.2.3 Résolution de l’ordre 0 en ε λ=1 = Ca,f
6.2.4 Résolution de l’ordre 1 en ε
λ=1 = Ca,f
6.3 Conclusion
IV Application à l’écoulement d’une goutte
7 Étude de l’écoulement d’une goutte sur un plan incliné
7.1 Équations dans le film mince
7.1.1 Équations de Navier-Stokes
7.1.2 Adimensionnement pour le front
7.2 Équations dans la zone proche du front
7.2.1 Équations de Navier-Stokes
7.2.2 Système Saint-Venant à l’ordre 0 en ε
7.2.3 Modèle Saint-Venant avec glissement simple
7.2.4 Conclusion
8 Modèles de lubrification avec glissement simple
8.1 Étude des paramètres du modèle
8.2 Modèle de type Benney
8.2.1 Études de la littérature
8.2.2 Application à notre modèle
8.2.3 Étude du modèle de Snoeijer
8.3 Simulations numériques
8.3.1 Écoulement instationnaire
8.3.2 Calcul de la forme de l’onde stationnaire
9 Conclusion
V Annexes
10 Annexe A : Formules utiles
11 Annexe B : Transformée de Laplace bilatérale
12 Annexe C : Calcul de L
13 Annexe D : Calcul de M
14 Annexe E : Calcul de Υ
15 Annexe F : Calcul de ∂̺Y
Bibliographie