SUR LA STABILITE´ ROBUSTE DE SYSTE`MES LINE´AIRES

SUR LA STABILITE ROBUSTE DE SYSTEMES LINEAIRES

Analyse des conditions LMIs

Complexité numérique

Les conditions suffisantes présentées ici pour la D-stabilité robuste d’un polytope de matrices, c’esta-dire ` les conditions proposées dans les Théorèmes 2.1 (SC1) et 2.2 (SC2) et dans le Corollaire 2.1 i) (SQ1) et ii) (SQ2), s’expriment toutes par des tests de faisabilité d’un ensemble de LMIs. Des nos jours il y a des algorithmes efficaces basés sur des méthodes de points intérieurs, de complexité polynomiale, pour la résolution de ces problèmes. La complexité de problèmes formulés par des LMIs est associée au nombre K de variables en échelle et aussi au nombre L de lignes du système d’équations (LMIs). Le nombre d’opérations en point flottant ou le temps nécessaire pour résoudre un problème en utilisant des méthodes de points intérieurs du LMI Control Toolbox du Matlab [GNLC95], est proportionnel à K3L. D’autres programmes peuvent présenter une performance différente. Voir aussi [BEFB94] pour des commentaires sur des méthodes de résolution de LMIs. La Table 2.1 montre les valeurs de K et L pour chaque test présenté — SC1, SC2, SQ1 et SQ2 — n étant le nombre d’états du système, N le nombre de sommets du polytope et d l’ordre de la région considérée. Dans cette table, les complexités associées aux tests de stabilité proposés dans [RP01a] (cas à temps discret, SR1), [RP02] (cas à temps continu, SR2) et [PABB00] (SE) sont montrées. Les expressions pour K et L pour les cas à temps continu et à temps discret sont aussi présentées. Les conditions SQ1 et SQ2 présentent des complexités moins grandes que tous les autres critères, néanmoins les résultats produits sont plus conservatifs. Une comparaison plus détaillée de la complexité des méthodes SE, SR1 et SR2, toutes moins conservatives que SQ1 et SQ2 et basées sur des fonctions de Lyapunov dépendantes de paramètres, est dépeinte dans la Figure 2.1 pour le cas à temps discret et dans la Figure 2.2 pour le cas à temps continu. Dans le cas à temps discret, la complexité du critère SR1 est moins grande que celle du SE pour N ≤ 5 et plus grande pour N > 6, indépendament de n. Pour N = 8 et n ≥ 3 la complexité associée à SR1 est à peu près deux fois plus grande que celle du critère SE (voir Figure 2.1.(a)). Dans la Figure 2.1.(b) la complexité relative SR1/SE est montrée par rapport au nombre de sommets. On peut observer que l’influence de N 3 dans le critère SR1 devient rapidement le facteur prépondérant de ce quotient. Comme dans le cas à temps discret, la Figure 2.2.(a) décrit la complexité relative SR2/SE en fonction du nombre d’états n pour plusieurs valeurs de N. On peut apercevoir que la complexité du critère SR devient plus grande que celle du SE pour N > 11. Dans la Figure 2.2.(b) la complexité relative SR2/SE est exprimée par rapport au nombre de sommets. On peut aussi observer que l’influence de N2 dans le critère SR2 devient le facteur prépondérant pour des valeurs grandes de N (N > 20), indépendant du nombre d’états n. Surement, les critères SC1 et SC2 sont de plus grande complexité, puisqu’ils possèdent plus de variables en échelle et plus de lignes de LMIs que tous les autres.

Le temps de calcul

 Quelques expérimentations numériques ont été réalisées afin de donner une estimation du temps de calcul nécessaire pour que chacune des conditions LMI considérées obtienne une solution faisable. Les conditions des Théorèmes 2.1 et 2.2 ont été considérées dans des versions particulières, c’est-à-dire, avec Mj , Mjk et Mjk données par (2.15)-(2.17) pour le cas à temps continu et par (2.18)-(2.20) pour le cas à temps discret. Comme attendu, la complexité numérique associée à la condition LMI la moins conservative, du Théorème 2.1, est la plus grande de toutes les conditions, cependant elle n’est pas prohibitive. Le temps moyen pour chaque test avec n = 2 et N = 2 reste au-dessous de 20 ms pour tous les méthodes (dans les deux cas : à temps continu et à temps discret). Pour les systèmes avec n = 5 et N = 5 les temps de calcul trouvés pour le cas à temps continu ont été de 40 ms (SQ1), 70 ms (SE), 24 ms (SR2), 101 s (SC1) et 37 s (SC2) (pour des systèmes à temps discret, 40 ms, 75 ms, 1.9 s 101 s et 37 s, respectivement). Les tests ont été faits avec un ordinateur muni d’un processeur AMD K7 Athlon 1.4 GHz, avec 256 Mbytes de RAM, en utilisant Matlab et le LMI Control Toolbox [GNLC95]. On peut voir aussi [dOOL+02b] pour une comparaison numérique par rapport aux critères SQ1, SE, SR1 et SR2 et [LP03a] pour d’autre comparaison y compris avec les critères SC1 et SC2.