Introduction à la théorie des noeuds

1-cocycles pour les n-tresses fermées dans le tore solide qui sont des nœuds et algorithmes de calculs

Introduction à la théorie des noeuds

Cette section a pour objectif d’introduire le lecteur à la théorie des noeuds. Les résultats et les définitions peuvent être approfondis dans [22] ou [29] par exemple. Définition 1.1.1. Un noeud orienté est un plongement K : S 1 → R 3 pour lequel on a choisi une orientation. Définition 1.1.2. Un entrelacs est un plongement de plusieurs copies de S 1 dans R 3 . Le nombre de composantes d’un entrelacs correspond alors au nombre de copies de S 1 . Ainsi, un entrelacs à 1 composante est un noeud. Dans ce manuscrit, nous ne traiterons que des noeuds. Un exemple de noeud est illustré dans la figure 1.1. Définition 1.1.3. Soit K un noeud orienté donné. On considère la projection canonique p : R 3 → R 2 sur le plan (x, y). Alors l’image de K par p où l’on précise à chaque point double quel brin passe au dessus de l’autre, est appelé diagramme de noeud. Les points doubles sont appelés croisements du diagramme. Définition 1.1.4. Deux noeuds K1 : S 1 → R 3 et K2 : S 1 → R 3 sont dits équivalents si les deux plongements sont isotopes de manière ambiante : c’est-à-dire qu’il existe une application continue F : R 3 × [0, 1] → R 3 telle que F0 est l’identité de R 3 dans R 3 et chaque Ft est un homéomorphisme de R 3 dans lui-même et F1 ◦ K1 = K2. Remarque. La notion d’isotopie ambiante est une notion plus fine que l’isotopie classique (non introduite ici). En effet, deux noeuds sont toujours isotopes et ainsi, l’étude des noeuds à isotopie près est triviale puisque tout noeud est isotope au noeud trivial. La notion d’isotopie ambiante prend en compte le complémentaire du noeud R 3 \ Im(K). Un des principes de la théorie des noeuds est d’essayer de regrouper les noeuds en famille de noeuds équivalents. Un outil récurrent de la théorie des noeuds qui permet de classifier les noeuds est l’invariant de noeuds.Définition 1.1.5. Un invariant de noeuds est une quantité définie pour chaque noeud qui est égale pour tous les noeuds équivalents. Remarque. On parle d’invariant total si l’on a : I(K1) = I(K2) si et seulement si K1 et K2 sont équivalents. En général, par définition, un invariant ne va satisfaire qu’un côté de l’équivalence : si K1 et K2 sont équivalents, alors I(K1) = I(K2). De nombreux invariants existent et peuvent prendre de multiples formes : un nombre, un polynôme (comme le polynôme d’Alexander [3], le polynôme de Jones [19] ou encore le polynôme HOMFLY [13]), le groupe fondamental du complément d’un noeud ([16]), les invariants de type fini ([32]) ou encore l’intégrale de Kontsevich qui est un invariant complet([23]). Si la définition de noeuds équivalents peut sembler abstraite au lecteur, le théorème suivant, que l’on doit à Reidemeister ([28]) et Alexander Briggs ([2], en donne une interprétation du point de vue des diagrammes de noeuds. Théorème 1.1.1. Deux noeuds sont équivalents si l’on peut passer d’un diagramme d’un noeud à l’autre par une suite de mouvements de Reidemeister décrits dans la figure 1.2 Remarque. Ici, dans les mouvements de Reidemeister, on suppose que les deux diagrammes de noeuds considérés de part et d’autre du mouvement sont identiques et ne diffèrent que dans un petit voisinage que l’on a illustré. Une preuve de ce théorème peut être trouvée dans [21]. Ainsi, avec ce théorème, on peut se permettre de travailler directement avec des diagrammes de noeuds. On désignera par la suite, sans ambiguïté, un noeud ou son diagramme de noeud par le même nom. Une première classification des diagrammes de noeuds a été faite dans [29] pour les noeuds à au plus 10 croisements. Ainsi, en utilisant le théorème sur les mouvements de Reidemeister, une autre définition d’un invariant de noeud peut être : une quantité invariante par mouvements de Reidemeister. On introduit à présent un outil souvent utilisé dans les invariants de noeuds orientés : le signe d’un croisement. 

Invariants de type fini 

Dans cette section, nous introduisons, sans rentrer dans le détail, les notions d’invariants de type fini et de noeud singulier. Les invariants de type fini ou invariants de Vassilliev ont été découverts par Vassiliev ([32]) et Goussarov ([18]). Pour avoir une lecture plus approfondie, on pourra se référer à [6] qui propose une approche détaillée des invariants de type finis. L’étude des noeuds orientés peut se prolonger à l’étude de noeuds singuliers. Un noeud singulier est un plongement S 1 → R 3 qui contient un nombre fini de points doubles que l’on appelle des croisements singuliers. Pour généraliser la notion de diagramme de noeuds aux noeuds 3 singuliers, les points doubles du noeud singulier seront représentés avec des ronds noirs. Ainsi, on peut prolonger un invariant de noeuds V aux noeuds singuliers par la définition suivante : Définition 1.2.1. V (CroisementSingulier) = V (CroisementPositif) – V (CroisementNegatif) Les croisements sont détaillés dans la figure 1.4. Remarque. Ici, tout comme pour les noeuds classiques, on suppose que les trois diagrammes de noeuds singuliers considérés sont identiques et ne diffèrent que dans un petit voisinage que l’on a illustré. Figure 1.4 – Prolongement d’un invariant à un noeud singulier On étudie généralement les invariants de type fini dans le cadre des noeuds de R 3 . Dans ce manuscrit, on s’intéresse à une famille particulière de noeuds : les 4-tresses nodales fermées dans le tore solide (que l’on définit plus loin). Aussi, nous adaptons les définitions classiques d’invariants de type fini à ce cadre particulier. Définition 1.2.2. Soit m un entier positif. Un invariant V de 4-tresses nodales fermées dans le tore solide est un invariant de type m si V s’annule sur les 4-tresses fermées singulières qui ont strictement plus de m croisements singuliers. Un invariant V est dit de Vassiliev ou de type fini pour les 4-tresses nodales fermées le tore solide s’il existe m tel que V est un invariant de type m. L’espace V de tous les invariants de Vassiliev pour les 4-tresses nodales fermées dans le tore solide est naturellement filtré avec Vm = {invariants de type m}. Dans le chapitre 3, on reliera la famille principale d’invariants de ce manuscrit à V2. 

Groupe de tresse 

Les tresses sont une famille d’objets noués introduite en 1925 par Artin dans [5]. Elle sert de modèle-jouet (toy model en anglais) en théorie des noeuds. Il existe de nombreuses manières de définir des tresses. Pour ce manuscrit, nous avons choisi de les définir de la même façon que dans [14] qui propose une introduction claire et concise des tresses. Nous nous inspirerons donc essentiellement de la structure de [14] dans cette section mais nous avons choisi de prendre la définition de [27] car elle est plus pertinente pour ce travail. Soit n ≥ 1 un entier et soit P1, …, Pn n points distincts du plan R 2 (on pourra supposer Pk = (k, 0), ∀1 ≤ k ≤ n). Définition 1.3.1. Une tresse à n brins ou n-tresse est un n-tuple β = (b1, …, bn) de chemins, bk : [0, 1] → R 2 tels que : — bk(0) = Pk pour tout 1 ≤ k ≤ n ; — il existe une permutation χ = θ(β) ∈ Symn telle que bk(1) = Pχ(k) pour tout 1 ≤ k ≤ n — bk(t) 6= bl(t), ∀k 6= l, ∀t ∈ [0, 1] Définition 1.3.2. On dit alors que deux tresses α et β sont homotopes s’il existe une famille continue {γs}s∈[0,1] de tresses telles que γ0 = α et γ1 = β. 4 On remarque que θ(α) = θ(β) (permutations) si α et β sont homotopes. Dans la suite, ce qui va nous intéresser, ce sont plutôt les classes d’homotopie de tresses. Définition 1.3.3. Soit Ik une copie de l’intervalle [0, 1]. Pour une tresse β = (b1, …, bn), on définit la tresse géométrique : β g : I1 t …. t In → R × [0, 1] par β g (t) = (bk(t), t)∀t ∈ Ik, ∀1 ≤ k ≤ n On considère alors la projection proj : R 2 × [0, 1] → R × [0, 1] définie par proj(x, y, t) = (x, t). Alors, à homotopie près, on peut supposer que proj ◦ β g est une immersion lisse avec un nombre fini de points doubles transversaux : ce sont les croisements de la tresse (on précisera quel brin passe au dessus de l’autre). On obtient ainsi un diagramme de tresse de β. On reprend un exemple de [27] dans la figure 1.5.