Bruit quantique du champ électromagnétique

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Excitons dans un puits quantique

Un puits quantique est une hétérostructure qui permet de confiner le mouvement des porteurs à deux dimensions.
Dans la figure 1.4, on représente schématiquement la structure d’un puits quan-tique. Un tel dispositif est réalisé par empilement de couches planes semi-conductrices constituées de matériaux diﬀérents. Une couche d’épaisseur typique d’environ 100 A est insérée entre deux couches ayant un band gap plus grand. Dans notre échantillon, il s’agit d’une couche de In0.04Ga0.96As d’épaisseur de 80 A, entre deux couches de GaAs. Comme résultat, le mouvement des excitons est confiné selon l’axe de croissance de la microcavité (indiqué comme axe z dans la suite), mais il est libre dans le plan du puits. Le confinement entraˆıne une augmentation de l’interaction coulombienne entre l’électron et le trou, donc de l’énergie de liaison de l’exciton.
Une conséquence fondamentale de l’insertion de l’exciton dans un puits quantique est la modification de son couplage avec la lumière. En eﬀet, dans un semi-conducteur massif un exciton optiquement actif ayant un vecteur d’onde K et une valeur de la projection du spin total Jz = ±1 dans la direction de K est couplé à un seul mode du champ de radiation |K, σ± >, à cause de la conservation de l’impulsion et du moment cinétique dans le processus d’interaction. Comme l’énergie doit aussi ˆetre conservée dans le processus d’interaction, seuls les excitons dont l’énergie est égale à celle du mode du champ peuvent relaxer de fa¸con radiative. Cependant, le couplage exciton-photon entraˆıne une levée de dégénérescence entre les énergies de l’exciton et du photon. Il en résulte que le mode couplé exciton-photon, le polariton, est un état stationnaire dans un semi-conducteur massif. Ces polaritons ne peuvent émettre un photon qu’à travers le couplage aux phonons, aux défauts ou aux interfaces du cristal.
La situation est complètement diﬀérente pour les excitons dans un puits quantique. Dans ce cas, l’invariance translationnelle selon l’axe z est brisée, et elle ne demeure valable que dans le plan du puits. En conséquence, un exciton qui a une impulsion K peut se recombiner en émettant un photon qui a la mˆeme impulsion transverse K , ( nb )2N2 nh mais dont la composante longitudinale de l’impulsion Kz est libre. L’exciton est donc couplé à un continuum de modes et acquiert un temps de vie radiative, calculable avec la règle d’or de Fermi [Andreani 91]. Pour les excitons dans un puits quantique de GaAs de 10 nm d’épaisseur, le temps de vie radiative est d’environ 10 ps [Deveaud 91].
Dans le couplage dipolaire de l’exciton avec le champ electromagnétique, une autre quantité est conservée, le moment cinétique. Quand on excite un puits quantique avec un faisceau laser à l’incidence normale (K = 0), une polarisation circulaire gauche ou droite (Jz = ± 1) crée un exciton dans un état de spin Jz = ± 1. Ceci n’est plus strictement vrai lorsque le faisceau n’est pas à l’incidence normale, parce que dans ce dernier cas la direction de propagation du photon ne co¨ıncide pas avec l’axe de symétrie de révolution du puits. Dans ce cas, une onde lumineuse de polarisation circulaire excite une superposition des états Jz = +1 et Jz = −1, calculée dans l’annexe de la référence [Cassabois 99].

La cavité optique

Miroirs de Bragg

Nous en venons maintenant à la description du deuxième constituant essentiel d’une microcavité, c’est-à-dire la cavité optique.
La cavité optique est constituée de miroirs de Bragg (figure 1.1), réalisés par em-pilement de plusieurs couches diélectriques de deux matériaux d’indice de réfraction diﬀérent, nh et nb. Les couches ont une épaisseur λ0/4, où λ0 est la longueur d’onde dans le matériau pour laquelle on désire maximiser la réflectivité. Le principe de fonc-tionnement de ces miroirs est très simple : à la longueur d’onde considérée, les réflexions de Fresnel aux interfaces s’additionnent en phase, et le coeﬃcient de transmission du miroir décroˆıt très rapidement avec le nombre de pairs de couches. Le coeﬃcient de réflexion d’un miroir de Bragg peut se calculer avec la méthode des ”matrices de trans-fert” [Savona 98]. Pour les deux miroirs d’une microcavité, on obtient les expression suivantes (valables à la longueur d’onde de résonance, dans la limite Nj ≫ 1) : r1 2 = 1 − 4 1 ( nb )2N1 r2 2 = 1 − 4 nb nb où r1, r2 sont les coeﬃcients de réflexion (en amplitude) des deux miroirs, N1, N2 les nombres de paires de couches des deux miroirs, et nc et nsub sont les indices de réfraction de la cavité et du substrat respectivement. Le miroir 1 est en contact avec l’air d’un coté et avec la cavité de l’autre, tandis que le miroir 2 est en contact avec la cavité et le substrat (voir figure 1.1).
Dans les expressions 1.8, 1.9, on voit que l’on peut choisir une réflectivité arbitraire en variant N1 et N2. Les miroirs de Bragg ont d’autres avantages par rapport aux miroirs métalliques : leurs pertes par absorption sont faibles, ils peuvent ˆetre facilement réalisés par croissance épitaxiale sur des substrats de semiconducteur, et ils peuvent ˆetre diélectriques ou conducteurs selon le dopage du matériau.
FIG. 1.5 – Réflectivité en fonction de la longueur d’onde d’un miroir de Bragg composé de 20 paires de Ga0.9Al0.1As/AlAs.
Dans la figure 1.5, la réflectivité d’un miroir de Bragg est reportée en fonction de la longueur d’onde. On remarque que la réflectivité est très proche de 1 sur une plage de longueur d’onde d’environ 100 nm, appelée couramment stop-band. La largeur Δλ de la stop-band est donné de fa¸con approchée par la formule [Yamamoto 00a] : Δλ = 2λBragg Δn (1.10) πnef f où λBragg = 2(lhnh + lbnb), avec li l’épaisseur optique d’une couche, Δn = nh − nb, et nef f l’indice de réfraction eﬃcace du miroir. Pour une petite diﬀérence d’indice, nef f = (nh + nb)/2. Pour les échantillons étudies dans ce travail, nh(Ga0.9Al0.1As) = 3.48, nb(AlAs) = 2.95, nc(GaAs) = 3.54. Au delà de la stop-band, on remarque des fortes oscillations de la réflectivité. Ceci est dˆu au fait que le miroir de Bragg est une structure résonnante. Lorsque l’on s’éloigne de la longueur d’onde optimale, les réflexions de Fresnel ne sont plus en phase et la réflectivité totale diminue.
Deux miroirs de Bragg parallèles séparés d’une distance L = pλ0/2 constituent une cavité Fabry-Perot, dont la réflectivité est présentée en figure 1.6. On observe la présence d’un creux étroit au centre de la stop-band, qui correspond à la résonance à la longueur d’onde λ0, ainsi que, à nouveau, des oscillations au delà de la stop-band.
De la mˆeme fa¸con, la réflectivité présente des oscillations en fonction de l’angle d’incidence de la lumière, c’est-à-dire du vecteur d’onde transverse k .
Les minima de ces oscillations peuvent ˆetre interprétés comme de modes secondaires qui apparaissent pour des angles de propagation intracavité importants. Ces modes ont une largeur beaucoup plus grande que le mode principal, ce qui traduit le fait que le champ confiné dans ces modes s’échappe rapidement à l’extérieur de la cavité. C’est pour cela qu’on parle de modes de fuite. Les modes de fuite constituent un canal de pertes relativement important dans les microcavités. L’angle θfint à l’intérieur de la cavité auquel le premier mode fuite apparaˆıt est donné par l’expression suivante :
2 arcsin ( nh −nb ) −1
θfint = arccos 1 + nh +nb (1.11)
Pour notre échantillon, on trouve θf int ≃ 18◦. Cet angle est légèrement supérieur à l’angle de réflexion totale à l’intérieur de la cavité, c’est pour cela que les modes de fuite dans notre cas peuvent ”fuire” seulement du coté du substrat.
Dans une microcavité plane idéale (réflectivité des miroirs égale à 1) le mode résonnant est une onde plane qui se propage perpendiculairement au plan de la cavité. Dans une cavité réelle, où les miroirs sont caractérisés par des réflectivités (en intensité) R1 et R2, la dissipation du champ intracavité à l’extérieur conduit à un mode de cavité ayant une dispersion angulaire Δθ finie, donnée par [Yamamoto 00a] :
Δθ = 2λ[1 − (R1R2)1/2] (1.12)
πL(R1R2)1/4
Cela correspond à un rayon eﬃcace rm du mode de cavité :
rm = λL(R1R2)1/4 (1.13)
π[1 − (R1R2)1/2 ]

Relation de dispersion pour la cavité

Le module du vecteur d’onde d’un photon se propageant dans la cavité à l’incidence normale est donné par k = kz = 2πnc/λ0. Lorsque le photon se propage à l’intérieur de la cavité avec un angle θ′ par rapport à la normale, on a en revanche : k = k2 + kz2 = (kz tan θ′)2 + kz2 (1.14)
L’angle de propagation à l’intérieur de la cavité θ′ est connecté à l’angle de propagation à l’extérieur θ par la loi de la réfraction sin θ = nc sin θ′. On peut donc définir une relation de dispersion pour les photons se propageant dans la cavité : E(k ) = E2 + 2k2c2/n2 (1.15) où E0 = hc/λ0 est l’énergie de résonance de la cavité à l’incidence normale. Cette relation permet aussi de définir une masse eﬀective mphot du photon confiné dans la cavité : 1 = 1 d2E(k ) (0) mphot 2 dk2 On trouve : mphot = nch λ0c qui correspond à une masse 10−5 fois plus faible que la masse de l’électron, où encore 10−4 fois plus faible que celle de l’exciton. C’est pour cela qu’on pourra souvent négliger la dispersion de l’exciton par rapport à celle du photon.

Le régime de couplage fort – Les polaritons de cavité

Puits quantique dans une cavité optique

Nous avons déjà discuté l’eﬀet du puits quantique sur le couplage de l’exciton au champ electromagnétique. L’insertion du puits dans une cavité optique modifie encore ce couplage. En eﬀet, le processus d’émission spontanée d’un photon d’énergie ω0 dans le vide par un atome excité (ou un exciton) est interprété en physique quantique comme l’amortissement du système par le réservoir constitué par les modes du champ, qui forment un bain continu d’oscillateurs harmoniques. L’énergie du système est dissipée de fa¸con irréversible dans le réservoir. Le processus de dissipation dépend de la structure du réservoir. Notamment, la règle d’or de Fermi permet de calculer le taux d’émission spontanée [Yamamoto 00a] : 2 ρ0 (ω0) = 2πΩef (1.18)
Dans l’éq.(1.18), Ω = Def Evide (ω0) est la fréquence de Rabi du vide, qui dépend de l’élément de matrice du dipole électrique entre les états initial et final du système et du champ eﬃcace Evide = d’un mode vide de fréquence ω0, où V est le volume de quantifications, et ρ0(ω0) est la densité des modes du champ electromagnétique, c’est à dire le nombre de modes disponibles par unité de fréquence. La densité des modes peut ˆetre modifié avec une cavité, en modifiant ainsi les propriétés d’émission du système.
Dans le cas du puits quantique en cavité, la longueur de la cavité est choisie égale à la longueur d’onde du photon émis lorsque l’exciton se recombine. Les modes longitu-dinaux suivants de la cavité sont complètement hors résonance et ne jouent aucun rˆole. Ainsi, le continuum de modes avec lesquels l’exciton interagit dans le cas d’un puits ”nu” est remplacé par un mode unique. Le couplage entre l’exciton et le mode de cavité est exprimé par l’énergie ΩR, qui est proportionnelle à l’intégrale de recouvrement de la fonction d’onde de l’exciton et du mode de cavité, et à la force d’oscillateur par unité de surface [Savona 99].
En réalité, la cavité n’est pas idéale et le mode de cavité est amorti par le couplage au réservoir de modes extracavité, acquérant ainsi une largeur γc. L’exciton a aussi une largeur γexc due au couplage à diﬀérents réservoirs (phonons, excitons). Lorsque ΩR ≪ γc, γexc le système est en régime de couplage faible. Dans ce régime, l’émission spontanée peut ˆetre inhibée où accélérée, et la distribution angulaire de l’émission peut ˆetre modifiée [Bjork¨ 95]. Néanmoins, l’émission spontanée demeure irréversible. Dans le cas opposé ΩR ≫ γc, γexc, le photon émis par l’exciton reste dans la cavité pendant un temps suﬃsamment long pour ˆetre réabsorbé. Il y a un échange cohérent d’énergie entre l’exciton et le mode de cavité, et l’émission spontanée devient réversible, donnant naissance au phénomène des oscillations de Rabi.

Hamiltonien linéaire

Pour une faible densité d’excitons (nexca2exc ≪ 1, où nexc est la densité d’excitons par unité de surface et aexc est le rayon de Bohr bidimensionnel de l’exciton) le système couplé des excitons et des photons peut ˆetre décrit par le hamiltonien linéaire suivant : Hlin =Hk = Ecav (k)ak†ak + Eexc(k)bk†bk + ΩR (ak†bk + bk†ak) (1.19)
Dans l’éq. 1.19, ak, a†k (bk, b†k) sont les opérateurs de création et annihilation d’un photon (exciton) de vecteur d’onde k. La somme est eﬀectuée sur les vecteurs trans-verses k , la composante kz du vecteur d’onde étant fixé par la cavité. Dans toute la suite du manuscrit, on adoptera la mˆeme convention k = k. Le hamiltonien 1.19 dé-crit un système constitué d’un continuum d’oscillateurs harmoniques ak, bk. Chaque oscillateur ak n’interagit qu’avec l’oscillateur bk de mˆeme k, mais est découplé de tous les autres modes. Ce hamiltonien extrˆemement simple peut ˆetre dérivé du hamiltonien fermionique décrivant le système des électrons et des trous interagissant entre eux et avec le champ electromagnétique, en ayant recours à plusieurs approches théoriques. Ce point est discuté en détail dans les références [Ciuti 03, Tassone 99, Karr 01], qui pré-sentent aussi une bibliographie très complète sur la question. Je me limiterai à rappeler rapidement le principe de cette démarche. Le traitement du problème de l’interaction des électrons et des trous est considérablement simplifié en faisant l’hypothèse que seuls les excitons sont présents dans le système. Dans ce cas, il est avantageux d’appliquer la transformation d’Usui [Usui 60], qui permet de passer de l’espace fermionique à un espace bosonique. On obtient un hamiltonien bosonique, constitué d’une somme infi-nie de termes, qui peut ˆetre interprété comme un développement en série en densité d’excitons. Si on ne considère aucune interaction entre les excitons, on obtient l’équa-tion 1.19. En gardant le terme d’ordre 2 en densité d’excitons, on décrit l’interaction à deux corps des excitons, qui est à l’origine des eﬀets non linéaires étudies dans ce mémoire.

Table des matières

1 Introduction aux microcavités et au bruit quantique
A Microcavité III-V
A.1 Le puits quantique
A.1.1 Excitons dans un semi-conducteur massif
A.1.2 Excitons dans un puits quantique
A.2 La cavité optique
A.2.1 Miroirs de Bragg
A.2.2 Relation de dispersion pour la cavité
A.3 Le régime de couplage fort – Les polaritons de cavité
A.3.1 Puits quantique dans une cavité optique
A.3.2 Hamiltonien linéaire
A.3.3 Les polaritons de cavité
A.3.4 Influence de la dissipation
A.3.5 Relation de dispersion pour les polaritons
A.4 Interactions entre polaritons
A.4.1 Hamiltonien effectif pour la branche basse de polaritons
B Bruit quantique du champ électromagnétique
B.1 Fluctuations quantiques d’un champ libre monomode
B.1.1 Le champ électrique en mécanique quantique
B.1.2 Champ électrique monomode
B.1.3 état cohérent
B.1.4 état comprimé
B.2 Fluctuations quantiques d’un champ libre multimode
B.2.1 Relations de commutation
B.2.2 Spectres de bruit et matrices de variances
B.2.3 Lien avec les variances
B.2.4 Corrélations entre deux faisceaux
B.3 Génération d’états comprimés
B.3.1 Amplification paramétrique dégénérée
B.3.2 Mélange à quatre ondes
B.4 Mesures du bruit du champ électromagnétique
B.4.1 Détection homodyne
B.4.2 Détection équilibrée
2 Oscillation paramétrique de polaritons
A Introduction
B Dispositif expérimental
B.1 Source laser
B.2 Spectromètre
B.3 Caméra CCD
B.4 Cryostat
B.5 Photodiodes et analyseur de spectre
B.6 Caractéristiques de l’échantillon
C Expériences dans la configuration de l’angle magique
C.1 Observation de l’oscillation paramétrique
C.1.1 Images en champ lointain
C.1.1.1 Champ lointain en régime linéaire. Rˆole de la diffusion élastique
C.1.1.2 Champ lointain en régime non linéaire
C.2 Bistabilité dans l’émission du mode signal
C.2.1 Observation expérimentale de la bistabilité
C.2.1.1 Conditions d’observation
C.2.2 Modèle théorique
C.2.2.1 état stationnaire
C.3 Caractère monomode transverse de l’oscillation paramétrique
C.3.1 état monomode du champ électromagnétique
C.3.2 Résultats expérimentaux
C.4 Observation du faisceau complémentaire : difficulté des mesures de corrélations
C.4.1 Montage expérimental
C.4.2 Observation du complémentaire
C.4.3 Comment mesurer des corrélations quantiques ?
C.4.3.1 Origine du déséquilibre
C.4.3.2 Effet du déséquilibre sur les corrélations quantiques
D Conclusions
3 Expériences de mélange à quatre ondes
A Introduction
B Premiers résultats
B.1 Dispositif expérimental
B.2 Résultats expérimentaux
B.2.1 Mesure de l’intensité émise
B.2.2 Mesures de corrélations d’intensité
B.3 Discussion
C Demonstration directe de l’amplification paramétrique avec un faisceau sonde
D Amélioration de l’expérience
D.1 Inversion de polarisation linéaire
D.1.1 Importance des effets thermiques
D.2 Oscillation du mélange à quatre ondes
D.2.1 Sélection du couple (des couples) des modes qui oscillent
D.3 Discussion : propriétés de spin dans la diffusion paramétrique de polaritons
D.3.1 Dépendance du spin de la diffusion polariton-polariton
D.3.2 Le vecteur de pseudospin
D.3.3 Le champ magnétique fictif : précession de Larmor auto-induite et longitudinal-transverse splitting
D.3.4 Explication qualitative des observations expérimentales
D.4 Mesures de bruit
D.4.1 Procédure expérimentale
D.4.2 Résultats
D.4.2.1 Optimisation des mesures
E Conclusions
4 Théorie du mélange à quatre ondes de polaritons
A Hamiltonien du système
A.1 Termes dans le hamiltonien
A.1.1 Effet Kerr
A.1.2 Effet Kerr croisé
A.1.3 Mélange à quatre ondes
A.2 équations de Heisenberg
A.2.1 Dissipation et fluctuations entrantes
A.2.2 Opérateurs lentement variables
B état stationnaire
B.1 Phases des champs Q1 et Q2
B.2 Intensités des champs Q1 et Q2
B.3 Dépendance du seuil d’oscillation par rapport au désaccord cavité exciton
C Etude des fluctuations
C.1 Cas simple
C.1.1 Fluctuations des champs lumineux à l’extérieur de la cavité
C.1.2 Spectre de bruit
C.2 Cas général
C.2.1 Matrice des variances
C.2.2 Résultats numériques
D Conclusions
5 Bruit d’intensité dans les VCSELs
A Introduction
B Les VCSELs
B.1 Caractéristiques des VCSELs utilisés
B.1.1 émission de plusieurs modes transverses
C Corrélations entre modes de polarisation d’un VCSEL
C.1 Reproduction de l’article ”Optimal intensity noise reduction in multimode vertical-cavity surface-emitting lasers by polarization- selective attenuation” (Optics Letters 29 (14), 1629 (2004))
D émission monomode d’un VCSEL avec rétroaction optique
D.1 Reproduction de l’article ”Demonstration of single mode operation of a vertical-cavity surface-emitting laser (VCSEL) with optical feedback : the intensity noise measurement approach” (à paraˆıtre dans J. Opt. Soc. Am. B)
E Conclusions
6 Conclusion
Bibliographie