Modes normaux d’une chaine désordonnée d’oscillateurs

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Onde cohérente : propagation ondulatoire

Comme schématisé dans la figure 1.1, chaque diffuseur envoie une partie de l’énergie incidente soit en dehors soit dans la mˆeme direction de propagation que celle de l’onde in-cidente. La directivité et l’ efficacité des diffuseurs dépendent de plusieurs paramtres, à savoir la fréquence de l’onde incidente, la forme des diffuseurs, leur concentration, leurs propriétés acoustiques relatives à celles du milieu, etc. Généralement parlant, si la diffu-sion est peu efficace on analyse le problme par des diffusions simples ; par contre, lorsque la diffusion est efficace, l’analyse est plus compliquée et elle est réalisée en termes de dif-fusions multiples. Dans tous les cas, les ondes diffusées interfrent avec l’onde incidente, et si nous considérons un plan quelconque (par exemple, la ligne en pointillés dans la figure 1.1) nous observons que l’amplitude de l’onde totale, définie comme la somme de l’onde incidente et des ondes diffusées, fluctue avec la position. Ces fluctuations d’inten-sité, connues sous le nom de speckles en optique, sont en fait dues aux fluctuations de phase et d’amplitude de toutes les ondes diffusées qui ont suivi des chemins aléatoires jusqu’au point d’observation. Par conséquent, sur ce plan, tant la phase que l’amplitude de l’onde totale fluctuent avec la position, et, pour une réalisation donnée du désordre, on perd la cohérence de phase caractéristique de la propagation des ondes dans les milieux homognes. Néanmoins, si on réalise une moyenne sur le désordre, soit une moyenne tem-porelle si la position des diffuseurs fluctue, soit une moyenne d’ensemble sur les différentes configurations du désordre, il en résulte que l’on peut définir des plans de phase constante, tels que nous les représentons schématiquement dans la figure 1.1.
Nous trouvons ainsi le concept d’onde cohérente , qui résulte de cette moyenne sur le désordre. En général, le nombre d’onde de l’onde cohérente est complexe ; la partie réelle étant différente de celle de l’onde incidente, la vitesse de phase est donc différente. La renormalisation de la vitesse de phase provient de la modification de la phase lors de la moyenne sur le désordre ; comme nous venons de l’expliquer, les interférences entre les ondes diffusées et l’onde incidente produisent une phase fluctuante.
Les mécanismes de dissipation peuvent ˆetre accompagnés d’un changement de fréquence, comme lors de la diffusion d’électrons de conduction dans un métal moyenne donne une phase constante (cohérence de phase) qui peut ˆetre en avance ou en re-tard par rapport a` la phase de l’onde incidente. Par ailleurs, la partie imaginaire du nombre d’onde effectif induit une atténuation exponentielle de l’amplitude de l’onde cohérente. Nous remarquons que mˆeme en absence de mécanismes dissipatifs l’onde cohérente est atténuée, car les diffuseurs envoient une partie de l’énergie incidente en dehors de la direction de l’onde incidente (voir annexe 1.A).
Finalement, la description en termes d’une onde cohérente est valide tant que cette onde n’est pas trop atténuée le long de la direction de propagation dans le milieu désordonné. Ceci implique que les effets de la diffusion et de l’absorption doivent ˆetre faibles. Nous remarquons que lorsque les effets de l’absorption sont négligeables, on arrive a` la définition usuelle de l’onde cohérente : c’est la partie peu ou non-diffusée de l’onde incidente qui traverse le milieu. Cependant, il faut en général prendre en compte l’absorption, et cette onde a donc une amplitude importante tant que L < le, où le est la distance d’extinction définie par le−1 = ls−1 + la−1. Comme on peut le constater dans sa définition, le dépend de l’intensité des evénements de diffusion et des mécanismes de dissipation acoustique présents dans le milieu. A leur tour, ls et la dépendent de λ, R , φ et, éventuellement, des longueurs associées aux mécanismes de dissipation. Pour L > le l’amplitude de l’onde cohérente est trs faible et la propagation d’énergie se fait principalement de fa¸con diffu-sive, la quantité pertinente étant l’onde incohérente , définie comme la moyenne sur le désordre de l’intensité de l’onde.

Exemples de milieu effectif

Nous allons présenter deux exemples de milieu effectif. Nous allons aborder tout d’abord les aspects théoriques essentiels de l’acoustique des mélanges gaz-liquide. Nous allons discuter les hypothses permettant d’obtenir une relation de dispersion complexe dans le cadre du modle de Wijngaarden-Papanicolaou qui décrit ces milieux dans la limite φ 1 (φ étant la fraction volumique du gaz). Cette discussion nous permettra de comprendre les différents mécanismes d’amortissement du son présents dans ces milieux et leur importance relative. Ensuite, nous discuterons les principales caractéristiques de la propagation du son dans les milieux poreux, en présentant les hypothses de la théorie de Biot et des résultats concernant la limite non-dissipative de basse fréquence.

Mélange gaz-liquide

Aspects généraux

La propagation du son dans les mélanges gaz-liquide dilués a eté etudiée en détail, tant du point vue théorique [5, 6, 7, 8, 9] qu’expérimental [10, 11, 12, 13, 14]. Il est bien connu que la présence de bulles de gaz modifie profondément les propriétés acoustiques du liquide. Par exemple, un aspect important des mélanges gaz-liquide est que la vitesse du son peut y atteindre des valeurs trs faibles en fonction de la concentration de bulles, mˆeme dans la limite φ 1. En général, la vitesse du son dans le milieu effectif est inférieure aux vitesses dans chacune des phases pures, en raison du grand contraste des propriétés acoustiques. Plus précisément, la densité du systme est dominée par la densité du liquide et la compressibilité par celle du gaz. Par conséquent, on s’attend a` que la vitesse effective soit faible.
Une autre propriété de ces mélanges est que mˆeme en présence d’une faible quantité de bulles, l’amortissement acoustique est trs important par rapport a` celui du liquide pur [15, 16]. En effet, au fur et a` mesure que l’on augmente φ, le milieu peut éventuellement devenir opaque aux ondes acoustiques. Dans la limite φ 1, on s’attend a` ce que les interactions entre bulles soient faibles. Dans ce cas, l’absorption du son peut ˆetre décrite en considérant la réponse individuelle des bulles sous l’effet du champ acoustique incident [8, 14]. Ainsi, on peut considérer une bulle soumise à une onde acoustique comme un oscillateur harmonique forcé, dont la raideur est donnée par la compressibilité du gaz, l’inertie par la densité du liquide et le for¸cage par l’onde acoustique incidente. L’amortissement du son résulte principalement de trois mécanismes, à savoir la dissipation visqueuse autour des bulles, la dissipation thermique aux interfaces gaz-liquide, et la diffusion du son par les bulles [15, 16, 17, 18].
Pour définir la vitesse effective, l’approche la plus simple est de considérer que lorsque la longueur d’onde est beaucoup plus grande que la taille des inhomogénéités du milieu, l’onde n’est pas sensible aux détails du désordre. De manire effective, l’onde se propage dans un milieu homogne de propriétés moyennes [5, 8, 9, 14]. De cette fa¸con, pour un mélange gaz-liquide on peut définir la vitesse du son du milieu effectif par : ceff2 1 ρlρg cl2cg2 ρ χ (ρl(1 − φ) + ρg φ)(ρg cg2(1 − φ) + ρlcl2 φ)
où
ρ = φρg + (1 − φ)ρl, (1.5)
χ = φχg + (1 − φ)χl, (1.6)
sont respectivement, la densité et la compressibilité moyennes du milieu. Cette définition est assez générale, dans le sens qu’on l’utilise pour divers systmes diphasiques, tels que les suspensions, les émulsions et les mélanges gaz-liquide. Il semble qu’elle ait eté donnée tout d’abord par Wood [19] et Herzfeld [20], et l’équation (1.4) est connue sous le nom de formule de Wood. Dans cette description, le systme est caractérisé uniquement par le paramtre macroscopique φ et on n’a pas besoin de connaˆıtre les détails statistiques de la distribution de tailles des bulles. Dans la figure 1.3 nous montrons le comportement de ceff en fonction de φ pour un mélange de bulles d’air dans l’eau. Comme nous l’avons déjà remarqué, la vitesse effective décroˆıt rapidement en fonction de la fraction volumique du gaz ; sur presque toute la gamme de φ, ceff est inférieure aux vitesses de chaque phase homogne, le minimum de vitesse étant de l’ordre de 23 m/s pour φ ≈ 0.5. En effet, dans le cas de mélanges gaz-liquide, on a ρl ρg et χl χg .
Dans ce cas, il est facile de montrer que le minimum de vitesse est obtenu pour φ = 0.5. Notons que la définition (1.4) suppose de manire implicite que le champ de vitesse acoustique des deux phases est le mˆeme, c’est-à-dire qu’il n’y a pas de mouvement relatif [5, 8]. C’est effectivement le cas à basses fréquences acoustiques, lorsque la couche limite visqueuse est beaucoup plus grande que la taille des bulles, νl/ω R2 (νl = µl/ρl est la viscosité cinématique du liquide, ω = 2πf est la fréquence angulaire et R est le rayon typique des bulles). Les bulles sont donc entraˆınées par la force visqueuse, laquelle domine les forces dynamiques. En effet, dans la limite contraire, νl/ω R2, et pour φ 1.
Donc, si les bulles bougent par rapport au liquide, les ondes acoustiques se propagent plus rapidement, l’accroissement étant néanmoins petit.
Remarquons enfin qu’aucune des expressions données pour ceff ne prend en compte la structure du mélange gaz-liquide. Par ailleurs, ces expressions n’apportent aucune infor-mation sur l’amortissement du son dans ces types de mélange. Pour aborder ces points, il faut considérer la réponse des bulles au champ acoustique. Comme nous l’avons déjà mentionné, une bulle de gaz dans un liquide peut ˆetre considérée comme un oscillateur harmonique forcée. Dans le cas d’une bulle isolée qui oscille adiabatiquement, on peut donc définir une fréquence de résonance [21] ω2 = 3γpo , (1.9) r ρlR2 où γ est le rapport de capacités calorifiques et po est la pression à l’équilibre. Cette expression peut ˆetre interprétée de la manire suivante : une bulle de gaz a une raideur de l’ordre γpoR, donnée par la compressibilité du gaz, et une masse de radiation de l’ordre de ρlR3, donnée par la densité du liquide ; donc, la fréquence de résonance est proportionnelle à γpo/ρlR2. Pour une bulle d’air de rayon R ≈ 10 µm dans l’eau, on a ωr/2π ≈ 325 kHz. Il est intéressant de noter que la longueur d’onde a` la résonance est λr = 2πcl/ωr ≈ 4.5 mm R, ce qui en acoustique est assez particulier au mécanisme de résonance des bulles 2. De plus, pour des bulles de petite taille, il faut prendre en compte les effets de tension de surface, et donc, on doit remplacer po → po + 2σ/R dans la définition de ωr, σ étant la tension de surface. Nous allons montrer dans la suite comment prendre en compte la dynamique des bulles pour décrire l’acoustique du mélange gaz-liquide de fa¸con plus détaillée.

Modle de Wijngaarden-Papanicolaou

L’idée principale de ce modle est de définir des quantités moyennes ds le départ [5, 8]. Donc, en plus de la densité moyenne du milieu ρ, définie par (1.5), on considre une vitesse moyenne u et une pression moyenne p, qui obéissent aux équations (linéarisées) de conservation de masse et d’impulsion 3 ∂ρ + ρ∇ • u = 0, (1.10) ρ ∂u + ∇p = 0. (1.11)
On cherche ensuite à déterminer la réponse d’une bulle soumise à un champ de pression dans le liquide. Le liquide étant considéré comme incompressible, le mouvement radial d’une bulle est décrit par l’équation de Rayleigh-Plesset [22], pg − − 4µl R − p∞ , (1.12) RR + R = 2 ρl R R où pg est la pression du gaz et p∞ est la pression evaluée en r → ∞, qui s’écrit p∞ = po + pinc, où pinc est la pression acoustique incidente. Dans l’approximation des bulles indépendantes, on effectue l’approximation pinc ≈ p, puisque l’on considre que chaque bulle est forcée par l’onde de pression du mélange. Bien entendu, en ce qui concerne le modle, on se limite aux termes linéaires de l’équation de Rayleigh-Plesset. Enfin, pour fermer le systme d’équations on peut faire l’hypothse de compressions adiabatiques, Ro 3γ pg = po , (1.13)  où Ro est le rayon a` l’équilibre.
On obtient a` partir de ce systme d’équations une relation de dispersion pour un nombre d’onde complexe [5, 8, 14] : k2 = ω2 + 4πω2 ∞ RF (R)dR , (1.14) cl2 0 ωr2 − ω2 − 2ibω où b est la constante d’amortissement (qui dépend de R et ω) et F (R) est la distribution normalisée de taille des bulles. On peut noter que cette relation de dispersion est analogue à celle de l’indice de réfraction complexe d’un gaz dilué ou d’un milieu diélectrique non-denses [23]. Pour un mélange gaz-liquide, b est la somme de trois termes, b = bv + bth + bsc, ceux-ci étant donnés par la dissipation visqueuse autour de la bulle, la dissipation thermique à l’interface gaz-liquide et la diffusion du son par la bulle [15, 16, 17, 18]. A partir de cette relation de dispersion, la vitesse de phase et le coefficient d’absorption sont définis par c = ω , α = Im[k(ω)]. (1.15) Re[k(ω)]
Le point positif de ce modle est qu’il donne des expressions explicites pour chaque terme de la constante d’amortissement b [14]. Il faut noter qu’une version plus complte [14] de ce modle considre l’équation de l’énergie à l’intérieur de la bulle pour déterminer pg au lieu de supposer une loi adiabatique comme dans l’équation (1.13). Remarquons également que cette relation de dispersion peut ˆetre obtenue avec une approche assez différente, celle de la diffusion multiple [8, 10, 24]. Le désavantage est que la constante b doit ˆetre introduite à la main . L’équivalence des deux formalismes n’est pas évidente et elle a eté discutée dans la référence [9].
Concernant la validité de la relation de dispersion (1.14) nous remarquons que lorsque les conditions ω ωr et φ 1 sont remplies, un bon accord entre les valeurs théoriques et expérimentales de c et α est obtenu [14]. Par contre, ce modle est en défaut ds que les interactions entre bulles sont importantes ; mˆeme pour des fractions volumiques de l’ordre de 5 × 10−4, des différences entre théorie et expérience ont eté observées pour ω ≈ ωr. La raison invoqué est la croissance de la section efficace de diffusion σs à la résonance qui invalide l’approximation des bulles indépendantes [14]. Par exemple, pour une bulle d’air de rayon R = 0.1 mm (resp. 1 mm), on a estimé que σs/πR2, πR2 étant la section géométrique, est de l’ordre de 750 (resp. 5600) a` la résonance [14], ce qui montre que la diffusion est trs importante et qu’on ne plus négliger les interactions acoustiques entre bulles. C’est seulement pour des distributions trs étendues de taille de bulles [11] et pour des écrans bidimensionnels de bulles [12] qu’un accord satisfaisant est obtenu jusqu’à ω ωr [14].
Dans la plupart des cas, il est bien établi maintenant [15, 16, 17, 18] que lorsque la fréquence acoustique est inférieure à la fréquence de résonance des bulles, l’amortissement est largement dominé par la dissipation thermique. Dans le cas contraire, c’est la diffusion du son qui domine l’absorption 4. Pour donner une idée des contributions relatives des trois mécanismes, nous définissons la constante d’amortissement sans dimension δ = 2bω/ωr2 et nous représentons dans la figure 1.4 le comportement des trois termes δth, δv et δsc [14, 17, 18], en fonction de la fréquence normalisée ω/ωr, pour un mélange eau-air avec R = 10 µm. Il apparaˆıt que pour les basses fréquences (ω < ωr), l’amortissement est effectivement dominé par la dissipation thermique ; au contraire, a` haute fréquence, celui-ci est dominé par la diffusion du son. Par exemple, pour ω/2π ≈ 40 kHz nous avons δth ≈ 1.6 × 10−2, δv ≈ 2.4 × 10−3 et δsc ≈ 2.5 × 10−5. Par ailleurs, il est connu que la dissipation visqueuse devient importante quand les bulles sont petites ; par exemple, pour un mélange air-eau, cette contribution domine seulement lorsque ω < ωr et R 1 µm [17]. Le fait que l’amortissement thermique soit important est dˆu grand contraste de propriétés thermiques du gaz et du liquide. La différence de température entre le centre de la bulle et le liquide peut ˆetre significative et, par conséquent, les forts gradients thermiques aux interfaces gaz-liquide dissipent de l’énergie de manire trs efficace.
Remarquons enfin que l’effet des interactions entre bulles sur la propagation du son dans les mélanges gaz-liquide a eté etudiée récemment de manire théorique, a` faible [26, 27] et a` haute concentration de bulles [28]. Il existe également quelques études concernant les interactions thermiques dans des émulsions périodiques et diluées [29]. Un résultat intéressant est que les interactions, acoustiques ou thermiques, semblent augmenter la vitesse du son dans le milieu effectif. A notre connaissance, il n’existe pas de confirmation expérimentale de cet effet.

Milieux poreux

Un milieux poreux est typiquement composé d’une matrice solide remplie par un fluide interconnecté, c’est-à-dire un milieu où l’on peut toujours connecter deux points de la phase solide (resp. fluide) par un chemin qui ne passe que par la phase solide (resp. fluide). Les propriétés physiques de tels milieux ont eté etudiées en détail. En ce qui nous concerne plus particulirement, l’acoustique de ces milieux a eté etudiée tant expérimentalement que théoriquement [30]. Pour comprendre la différence essentielle entre la propagation du son dans les milieux poreux et les milieux désordonnés que nous avons considérés jusqu’à présent, nous allons prendre l’exemple d’un milieu poreux formé par l’alternance périodique d’un fluide et d’un solide, schématisé dans la figure 1.5. Les modes de propagation d’un tel systme ont eté calculés de fa¸con exacte [31]. Dans le régime de longueur d’onde grande par rapport a` l’épaisseur des couches, on montre l’existence de deux modes longitudinaux, avec deux vitesses différentes ; il y a donc un mode rapide et un mode lent . Ceci est valide pour toutes les directions de propagation sauf pour celles perpendiculaires aux couches, où un seul mode peut se propager. Plus précisément, pour le mode rapide, les mouvements du fluide et du solide sont en phase, tandis que pour le mode lent, ils sont en opposition de phase. Grossirement, on peu comprendre l’existence des deux vitesses si l’on considre que lors de la propagation dans la direction parallle aux couches, une partie de l’onde peut se propager dans le fluide et une autre dans le solide. Notons que cette image trs simple d’un milieu poreux a eté réalisée expérimentalement [30], et qu’un bon accord avec la théorie a eté observé. L’existence de ces deux modes longitudinaux de propagation et l’anisotropie en fonction de la direction de l’onde, laquelle est liée à l’anisotropie du milieu, sont peut-ˆetre les aspect caractéristiques de l’acoustique des milieux poreux. Concernant le cas plus réaliste d’un milieu poreux tridimensionnel et, en général, désordonné, la théorie semi-phénoménologique de Biot est considérée comme la théorie de milieu effectif la plus générale d’un systme à deux composantes et ses prédictions ont eté vérifiées expérimentalement [30].

Théorie de Biot

Nous allons maintenant discuter brivement les hypothses de la théorie de Biot [32, 33] et les résultats obtenus dans la limite de basses fréquences, c’est-à-dire la limite non-dissipative. Une bonne référence sur ce sujet est l’article de synthse de Johnson [30].
On suppose que l’on peut décrire le systme par deux vecteurs de déplacement moyens u et U, pour le solide et le fluide respectivement 5, tous les deux fonctions de r et t. Comme d’habitude, on suppose que la moyenne est réalisée sur un volume dr3 grand par rapport a` la taille des pores ou grains individuels, mais petit par rapport a` la longueur d’onde acoustique. Pour obtenir l’équation dynamique, le systme est considéré isotrope et homogne à l’échelle de la longueur d’onde ; on écrit donc le Lagrangien du milieu, sans dépendance explicite en fonction du temps et de la position. Comme on cherche des équations de mouvement linéaires, on se limite aux termes quadratiques en u et U et à leurs dérivées. On prend en compte également dans ce formalisme la possibilité d’avoir une  dissipation decrite par la fonction de dissipation, qui dépend des vitesses locales u˙ et U. En fait, le seul mécanisme considéré est la dissipation visqueuse due au mouvement relatif entre les deux phases .

Table des matires

I Acoustique de milieux diphasiques 
1 Introduction 
1.1 Diffusion du son dans un milieu désordonné
1.1.1 Rappel des différents modes de propagation
1.1.2 Onde cohérente : propagation ondulatoire
1.2 Exemples de milieu effectif
1.2.1 Mélange gaz-liquide
1.2.2 Milieux poreux
Compléments
1.A Oscillateur harmonique couplé à une corde infinie
1.B Modes normaux d’une chaine désordonnée d’oscillateurs
2 Acoustique des mousses 
2.1 Introduction
2.2 La physique desmousses
2.3 Les mousses à raser
2.4 L’élasticité des films de savon
2.5 Résumé des principaux résultats expérimentaux
2.6 Copie de l’article
Compléments
2.B Reproductibilité desmesures acoustiques
II Effets non-linéaires de volume et de surface 
3 Introduction à l’acoustique non-linéaire 
3.1 Milieux homogènes
3.1.1 Origine physique des non-linéarités acoustiques
3.1.2 équation d’onde non-linéaire d’un fluide thermo-visqueux
3.2 Milieux diphasiques
3.2.1 Paramètre non-linéaire effectif B/A
3.2.2 Exemples de milieux hétérogènes présentant des fortes nonlinéarités acoustiques
4 Diffusion du son par une surface oscillante 
4.1 Non-linéarité de surface en acoustique
4.2 Compétition entre les effets de surface et de volume
4.3 Copie des articles
5 Acoustique au voisinage du point critique de CO2 
5.1 Thermodynamique du point critique
5.1.1 Transitions de phase du premier et du deuxième ordre
5.1.2 Divergence et annulation des propriétés thermophysiques
5.1.3 Coordonnées critiques de CO2
5.2 étude des résonances acoustiques d’une cavité
5.2.1 Description dumontage
5.2.2 Résultats expérimentaux
5.2.3 Conclusions
5.3 Mise en évidence de la non-linéarité du milieu
5.3.1 Résonances non-linéaires
5.3.2 Première étude du mélange d’ondes acoustiques
5.3.3 Conclusions
5.4 étude semi-quantitative du paramètre B/A
5.4.1 Introduction
5.4.2 Copie de l’article
6 Conclusions et perspectives 

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