Conjectures de McKay et de Alperin-McKay

Conjectures de McKay et de Alperin-McKay

Conjecture de McKay 

En 1971, John McKay conjectura que si G un groupe fini simple et si P est un 2-Sylow de G alors le nombre de caractères irréductibles de degré impair de G est le même que le nombre de caractères irréductibles de degré impair de NG (P). En 1973, Martin Isaacs élargit la conjecture à tout p-Sylow de G pour avoir sa formulation actuelle. En 2001, Martin Isaacs et Gabriel Navarro [IN02] donna une forme plus élaborée de la conjecture. Six années plus tard, « l’invention » de Martin Isaacs, Gunter Malle et Gabriel Navarro [IMN07] réduit le problème à un problème de groupes simples. Actuellement, la conjecture de McKay est connue être vraie pour beaucoup de groupes. Mais jusqu’ici, elle reste non démontrée dans le cas général. 1. Préliminaires Un des grands résultats de la théorie de groupe est la classification des groupes simples finis. C’est le théorème géant. C’est un ensemble de travaux établi par plus de 100 auteurs publié entre environ 1955 et 1983 sur des dizaines de milliers de pages. 

Théorème 

 Si on a un groupe simple fini G alors il est isomorphe à l’un des groupes suivants : (a) groupe cyclique d’ordre premier, (b) groupe alterné An pour n ≥ 5, (c) groupe simple de type de Lie : (i) les groupes classiques : PSLn(q), PSUn(q), PΩ2n+1(q), PΩ + 2n (q), PΩ − 2n (q), PSp2n(q). (ii) les groupes de Lie exceptionnels : — E6(q), E7(q), E8(q), F4(q), G2(q). — Sz(22n+1), 3D4(q), 2E6(q), 2F4(22n+1) 0 , 2G2(32n+1). (d) un des 26 groupes simples sporadiques tels que : (i) les groupes de Mathieu M11, M12, M22, M23, M24 ; 17 1. PRÉLIMINAIRES 18 (ii) les groupes du réseau de Leech : groupe de Janko J2, groupe de Conway Co1, Co2 et Co3, groupe de McLaughlin McL, groupe de Higman-Sims HS, groupe de Suzuki sporadique Suz ; (iii) les groupes de Fischer Fi22, Fi23 et Fi0 24, groupe de Thompson Th, groupe de Harada-Norton HN, groupe de Held He ; (iv) les groupes de Janko J1, J3 et J4, groupe de O’Nan O’N, groupe de Rudvalis Ru, groupe de Lyon Ly ; (v) le groupe Monstre M, le groupe bébé Monstre B. Les groupes simples, dans le dévissage d’un groupe fini, jouent un rôle analogue aux nombres premiers dans le factorisation d’un entier. Si G n’est pas simple, on considère N1 sous-groupe normal non trivial de G et on calcule le quotient G/N1. Puis on réitère ce procédé sur les groupes N1 et G/N1. Une branche s’arrête si le groupe correspondant est simple. On dit que le dévissage est réussi si ce processus s’arrête.

Si G est fini, après un nombre fini d’étapes, on va s’arrêter. On obtient alors un ensemble de groupes simples (Qi). D’après le théorème de Jordan-Hölder [Ser08, Th. 1.2], cet ensemble ne dépend pas de la manière dont on a choisi les sous-groupes dans le dévissage. Malheureusement, l’ensemble de ces groupes simples ne détermine pas G de manière unique. Les groupes Z /6 Z et S3 donnent le même ensemble {Z /2 Z, Z /3 Z}. 

Définition

Nous dirons qu’un groupe simple est impliqué dans G si ce groupe simple apparaît dans le dévissage de G ou d’un sous-groupe de G. 3. EXEMPLE 19 2. Conjecture de McKay I Notation. Etant donné un groupe fini G et un nombre premier p, on note par Irrp 0(G) l’ensemble des caractères irréductibles de G dont le degré n’est pas divisible par p. On a donc Irrp 0(G) = {χ ∈ Irr(G) | p – χ(1)} (2.1) La conjecture de McKay est l’origine d’une longue série de conjecture locale-globale. Voyons ce qui a été affirmé par John McKay. Conjecture 2.2.1 (McKay, 1971). Si G est un groupe fini et P un p-sous-groupe de Sylow de G, alors | Irrp 0(G)| = | Irrp 0(NG (P))| Cette conjecture a été déjà vérifiée pour les groupes suivants : les groupes résolubles, les groupes p-résolubles (en fixant un nombre premier p), les groupes symétriques, les groupes linéaires, les groupes simples sporadiques et les groupes ayant un p-Sylow cyclique. 3. Exemple Voici un programme qui nous permet de vérifier la conjecture de McKay. # « test » compte le degré le nombre de caractères irréductibles dont # le degré est premier avec le nombre premier « p » def test(n,p): total=0 for x in n: if x[1]%p<>0: total=total+x[2] return total def mckay(Group): res=[] n=Group.Size() t1=Group.CharacterTable() c1=Group.CharacterDegrees() res.append(’Caracteres de G %s’%c1) for i in ZZ(n).prime_divisors(): N=Group.Normalizer(Group.SylowSubgroup(i)) t2=N.CharacterTable() c2=N.CharacterDegrees() res.append(’Caracteres Norm(%s-Sylow) %s’%(i,c2)) res.append(’Premier avec %s G: %s, N:%s’ %(i,test(c1,i), test(c2,i))) return res En prenant le groupe symétrique S5, on a le résultat suivant. mckay(gap.SymmetricGroup(5)) Caracteres de G  Caracteres Norm(2-Sylow) [  Premier avec 2 G: 4, N:4 Caracteres Norm(3-Sylow)  Premier avec 3 G: 6, N:6 Caracteres Norm(5-Sylow)  Premier avec 5 G: 5, N:5 4. Conjecture de McKay II En étudiant la conjecture de McKay, Isaacs et Navarro trouvèrent une extension de celleci. L’existence d’une nouvelle formulation est un moyen de bien prendre la situation sous une autre vision. Notation. Pour un groupe G et un nombre premier p, on désigne par Mk (G) le nombre de caractères irréductibles de G dont le degré est congru à ±k modulo p. Conjecture 2.4.1 (Isaacs-Navarro, [IN02]). Soit G un groupe fini et soit P un p-Sylow de G. Alors pour tout entier k non divisible par p on a Mk (G) = Mk (NG (P)). Pour la suite, la conjecture IN signifiera la conjecture formulée par Isaacs et Navarro. La conjecture IN est une extension de la conjecture de McKay 2.2.1. En réalité, elle implique la conjecture de McKay. Pour p = 2 ou p = 3, remarquons que M1(G) est le nombre de caractères irréductibles de G de degré non divisible par p. Dans ce cas, la conjecture établie par Isaacs-Navarro est exactement équivalente à la conjecture de McKay. Pour p > 3, le nombre de caractères irréductibles de G de degré non divisible par p est la somme des nombres de Mk (G) pour 5. EXEMPLE 21 1 ≤ k ≤ (p − 1)/2. D’où, la conjecture IN est strictement forte que la conjecture de McKay. Autrement dit, on peut écrire : | Irrp 0(G)| = (p−1) X2 k=1 Mk (G) et pour un p-sous-groupe de Sylow P de G, on a | Irrp 0(NG (P))| = (p−1) X2 k=1 Mk (NP). La conjecture de Isaacs-Navarro est connue vraie pour les groupes résolubles, les groupes symétriques, les groupes ayant un sous-groupe de Sylow cyclique, les groupes simples sporadiques et les groupes linéaires GLn(q) avec q est une puissance de premier.

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