Méthodes exactes pour le modèle d’exclusion asymétrique

Méthodes exactes pour le modèle d’exclusion
asymétrique

Le modèle d’exclusion asymétrique

Dans le premier chapitre, nous présentons le modèle d’exclusion asymétrique, que nous allons étudier dans cette thèse. Après avoir défini le modèle ainsi que quelques unes de ses variantes, nous verrons qu’il est relié à plusieurs autres modèles très étudiés de la physique statistique. Nous dé rirons ensuite l’équation maîtresse gouvernant l’évolution de la probabilité de ha un des micro-états du système, et nous nous intéresserons en particulier à l’état stationnaire du système et aux fluctuations du courant.

Définition du modèle d’exclusion asymétrique

Le modèle d’exclusion asymétrique (ASEP, pour Asymmetry Simple Ex lusion Pro ess ) est l’un des modèles les plus simples de particules en interaction présentant un état stationnaire hors d’équilibre. Il s’agit d’un pro essus sto h stique décrivant l’évolution de parti les classiques se déplaçant localement sur les sites d’un réseau unidimensionnel, avec la contrainte d’exclusion qui impose que chaque site ne peut être o upé que par au plus une parti ule. Il fait ainsi partie des modèles de gaz sur réseau dénis par Katz, Lebowitz et Spohn dans [6, 7℄. Il a été beaucoup étudié par le passé, à la fois par des mathématiciens [8, 9, 10℄, des physi iens [11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19℄ et des bio physi iens [20, 21, 22℄, en particulier parce qu’il s’agit de l’un des rares modèles de la physique statistique hors d’équilibre qui soit exactement soluble, ce qui signifie que certaines de ses propriétés peuvent être l ulées exactement. Il a aussi été utilisé comme point de départ pour modéliser certains phénomènes physiques, comme par exemple la ondu tivité par saut dans des milieux unidimensionnels [23℄, pour dé rire des systèmes à l’interface entre la physique et la biologie, comme les moteurs molé ul ires cellulaires [24℄, ou en ore pour étudier des problèmes de tra routier [25℄. Dans cette section, nous allons tout d’abord définir le modèle de gaz sur réseau de Katz Lebowitz-Spohn, puis le modèle d’exclusion asymétrique sur un anneau qui en est un cas particulier. Nous introduisons ensuite le modèle d’exclusion avec d’autres types de conditions aux bords. Enfin, nous mentionnerons brièvement quelques variantes du modèle.

Modèle de Katz-Lebowitz-Spohn

Le modèle d’Ising, introduit à l’origine pour étudier les propriétés de certains matériaux ferromagnétiques, a joué un rôle important dans la compréhension de la physique des systèmes à l’équilibre thermodynamique. On considérera ici le modèle d’Ising sur un réseau cubique de dimension d avec des conditions aux bords périodiques. À chaque n÷ud i du réseau est associé un spin classique Si pouvant prendre les valeurs +1 et −1. À haque onguration C des spin spé iée par les valeurs des Si , on associe une énergie H(C) = − J 4 X hi,ji SiSj , (1.1) la somme étant ee tuée sur les liens hi,ji du réseau. Si J > 0, le modèle est ferromagnétique, tandis que pour J < 0 il s’agit du modèle antiferromagnétique. On considère le modèle d’Ising à l’équilibre thermodynamique, en ont avec un thermostat à température T . La probabilité d’observer une configuration C des spins est alors donnée par le facteur de Boltzmann Peq(C) = e −H(C)/kT Z . (1.2) Le modèle d’Ising peut être vu comme un modèle décrivant un gaz de particules à ÷ur dur sur réseau. On peut en effet poser Si = 2τi − 1, et interpréter la variable τi comme le nombre d’occupation du site i : τi = 0 correspondra à un site vide et τi = 1 à un site ou upé par une particule. En fon tion des variables τi , l’énergie d’une configuration C s’é rit H(C) − H(0) = −J X hi,ji τiτj , (1.3) où la constante H0 est indépendante de C si l’on ne considère que des congurations avec un nombre n = P i τi xé de particules. On constate que pour le modèle avec J > 0, les particules s’attirent, tandis qu’elles se repoussent si J < 0. Le modèle de gaz sur réseau que nous venons de présenter décrit exclusivement le système physique à l’équilibre thermodynamique. La dynamique sous-jacente qui permet au système d’atteindre cet état d’équilibre n’est pas spé iée. Nous allons maintenant définir une dynamique pour le modèle. Nous modifierons ensuite cette dynamique de telle sorte que l’état stationnaire atteint aux temps longs ne soit pas un état d’équilibre. Nous obtiendrons alors le modèle de gaz sur réseau de Katz-Lebowitz-Spohn. On introduit une dynamique en temps continu sur l’espace des configurations du système, avec des taux de transition WC ′←C entre les congurations. Dans un intervalle de temps infinitésimal dt, la probabilité de passer de la configuration C à la configuration C ′ est alors égale à dt wC ′←C . Cette dynamique doit être telle que le système atteigne aux temps longs l’état stationnaire déni par les poids de Boltzmann (1.2). Une manière simple d’assurer cela consiste à choisir des taux de transition qui varient le bilan détaillé (voir la section 2.2 du chapitre 2) : wC←C′ wC ′←C = Peq(C) Peq(C ′ ) = e −(H(C)−H(C ′ ))/kT . (1.4) Comme on her he à dé rire les déplacements de particules, il est naturel d’imposer la contrainte supplémentaire qu’une parti ule au site i ne puisse se déplacer dans un intervalle de temps in- nit esimal que sur l’un des 2d sites voisins du site i (voir gure 1.1). On considérera alors que les seuls taux de transition non nuls sont ceux qui échangent les nombres d’où pation τi et τj de deux sites voisins i et j si τi 6= τj . Nous venons de définir la dynamique d’un système atteignant aux temps longs un état d’équilibre. Nous allons maintenant la modifier de telle sorte que le système atteigne aux temps longs un état stationnaire hors d’équilibre, ara térise par la présence de courants mars optiques. Ce i peut être effectué en ajoutant un champ externe E~ au modèle, qui va tendre à déplacer les particules selon une certaine direction privilégiée. Pour des particules chargées électriquement, on peut par exemple voir le champ E~ comme un h mp électrique externe appliqué au système. Une manière naturelle d’un opérer un tel champ externe au modèle est d’ajouter dans l’équation (1.4) du bilan détaillé le travail de la for e éle trique, en plus de la variation d’énergie ∆H(C) = H(C) − H(C ′ ) entre deux configurations. On est alors conduit à choisir des taux de transition qui varient wC←C′ wC ′←C = e −(∆H+E. ~ ∆~l)/kT , (1.5) où ∆~l est le vecteur déplacement de la particule qui a changé de site entre la configuration C et la configuration C ′ . Il s’agit du modèle introduit par Katz, Lebowitz et Spohn dans [6, 7℄ pour Fig. 1.1 Déplacements possibles des particules dans le modèle de Katz-Lebowitz-Spohn à deux dimensions. Les lignes grises représentent le réseau dual du réseau sur lequel se déplacent les particules. dé rire certains types de sondes ioniques. Le champ externe E implique la présence d’un courant de particules dans le système, même dans l’état stationnaire. Ce modèle ne décrit donc plus aux temps longs un système à l’équilibre thermodynamique. De plus, les probabilités stationnaires ne s’expriment plus simplement en fonction des taux de transition. Le cas particulier J = 0 du modèle Katz-Lebowitz-Spohn est le modèle d’exclusion asymétrique. Il est dénié entièrement en se donnant les 2d taux de transition correspondant aux 2d sites qu’une partie peut atteindre en se déplaçant. On note qu’il s’agit toujours d’un modèle de particules en interaction, les interactions des particules se tuant à travers la contrainte d’exclusion qui empêche deux particules de se trouver sur le même site. Dans cette thèse, nous nous intéresserons au modèle unidimensionnel, qui est exactement soluble.

Modèle d’exclusion asymétrique sur un anneau

On considère un réseau unidimensionnel de L sites, numérotés de 1 à L, avec des conditions aux bords périodiques. Le réseau a ainsi la forme d’un anneau orienté, sur lequel on place e n partie les classiques. La contrainte d’exclusion impose qu’un site ne peut pas être coupé par plus d’une partie utile à la fois. Un site i donné du réseau possède donc deux états possibles : il peut soit être vide, et on lui asso iera dans ce cas le nombre d’occupation τi = 0, soit être o upé par une unique particule, et on lui asso iera alors le nombre d’occupation τi = 1. L’ensemble Ω des ongurations du système correspond au nombre de façons possibles de choisir les n sites ou pés par des parti ules. Le nombre de ongurations est don donné par |Ω| =

Table des matières

Remerciements
Introduction
I Résultats généraux sur le modèle d’exclusion asymétrique
1 Le modèle d’exclusion asymétrique
1.1 Définition du modèle d’exclusion asymétrique
1.1.1 Modèle de Katz-Lebowitz-Spohn
1.1.2 Modèle d’ex lusion asymétrique sur un anneau
1.1.3 Conditions aux bords
1.1.4 Variantes du modèle
1.2 Modèles reliés au modèle d’ex lusion
1.2.1 Modèles de croissance
1.2.2 Équations d’Edwards-Wilkinson et de Kardar-Parisi-Zhang
1.2.3 Polymère dirigé en milieu aléatoire
1.2.4 Modèle à six vertex
1.2.5 Processus zero range
2 Quelques résultats connus pour le modèle d’exclusion asymétrique
2.1 Dynamique du modèle d’exclusion
2.1.1 Équation maîtresse
2.1.2 Graphe de la dynamique
2.1.3 Relaxation vers l’état stationnaire
2.2 Mesure stationnaire
2.2.1 Bilan détaillé
2.2.2 Modèle sur un anneau
2.2.3 Modèle ouvert
2.3 Flu tuations de la densité locale
2.3.1 Lien ave l’énergie libre pour un système à l’équilibre
2.3.2 Modèle sur un anneau
2.3.3 Modèle ouvert
2.4 Valeur moyenne du courant
2.4.1 Modèle sur un anneau
2.4.2 Modèle ouvert
2.5 Fluctuations du courant
2.5.1 Équation maîtresse déformée
2.5.2 Cumulants du courant
2.5.3 Fon tion de grandes déviations du courant
2.5.4 Cal ul des u tuations du courant
2.5.5 Symétries naturelles du modèle d’exclusion
3 Ansatz de Bethe pour le modèle d’exclusion asymétrique
3.1 Ansatz de Bethe en coordonnées
3.1.1 Intégrabilité du modèle d’exclusion asymétrique
3.1.2 Ansatz de Bethe en coordonnées pour diagonaliser la matri e M(γ)
3.1.3 Modèle totalement asymétrique .
3.1.4 Invariances des équations de Bethe
3.2 Fluctuations du ourant pour un système à une particule
3.2.1 Cal ul dire t
3.2.2 Cal ul par Ansatz de Bethe
3.2.3 Propriétés de la fonction de grandes déviations du courant
3.3 Fluctuations du courant du modèle totalement asymétrique
II Fluctuations du courant dans le modèle partiellement asymétrique
4 Résumé des résultats sur les cumulants du courant du modèle d’exclusion
4.1 Régime de faible asymétrie et régime de forte asymétrie
4.2 Cumulants du ourant
4.2.1 Constante de diffusion
4.2.2 Troisième umulant
4.2.3 Cumulants d’ordre plus élevé
4.3 Modèle faiblement asymétrique
4.3.1 Transition de phase
4.3.2 Position de la transition de phase
4.4 Expression ombinatoire pour les umulants du ourant
5 Ansatz de Bethe fonctionnel pour le modèle d’exclusion asymétrique
5.1 Formulation fonctionnelle des équations de Bethe
5.1.1 Passage à l’équation fonctionnelle
5.1.2 Invarian es de l’équation de Bethe fonctionnelle
5.1.3 Solutions de l’équation de Bethe fonctionnelle pour n = 1 87
5.1.4 Appli ation au modèle totalement asymétrique 87
5.2 Développement perturbatif de l’équation de Bethe fonctionnelle
5.2.1 Premier ordre
5.2.2 Deuxième ordre
5.2.3 Valeur moyenne du ourant et onstante de diusion
5.3 Résolution systématique ordre par ordre
5.3.1 Reformulation de l’équation de Bethe fonctionnelle
5.3.2 Développement perturbatif en γ et élimination de R(t)
5.3.3 Résolution itérative de l’équation pour A(t)
5.3.4 Reformulation de la solution itérative
5.3.5 Expression exa te pour les trois premiers umulants du ourant
5.3.6 Expression des umulants du ourant à la limite thermodynamique
5.4 Flu tuations du ourant dans la limite faiblement asymétrique
5.4.1 Régularisation de l’équation fonctionnelle en x = 1
5.4.2 Équation fonctionnelle pour A˜(y)
5.4.3 Inversion de l’opérateur ∆
5.4.4 Solution des équations fonctionnelles
5.4.5 Fon tion génératri e des umulants du ourant
5.5 Résolution numérique des équations de Bethe
5.5.1 Résolution numérique de l’équation de Bethe fonctionnelle
5.5.2 Évolution des racines de Bethe en fonction de γ
5.5.3 Argument pour l’annulation des racines de Bethe
6 Formule combinatoire pour les cumulants du courant
6.1 Stru ture de l’expression des premiers cumulants
6.1.1 Formules de taille nie
6.1.2 Limite thermodynamique
6.1.3 Quatrième umulant du ourant
6.2 Expression paramétrique des u tuations du ourant
6.2.1 Dénition des arbres
6.2.2 Fon tions agissant sur des arbres
6.2.3 Sommation sur les arbres
6.2.4 Conje ture pour le polynme Q
6.2.5 Forme paramétrique pour la fon tion E(γ)
6.2.6 Limite totalement asymétrique
6.2.7 Limite thermodynamique (1 − x ni)
6.3 Expression exa te des umulants du ourant
6.3.1 Dénition des forêts .
6.3.2 Sommation sur les forêts
6.3.3 Forme expli ite des umulants du ourant
6.3.4 Limite thermodynamique/
6.A Preuve de l’équivalen e des deux définitions de W
η
6.A.a Changements de variables orrespondant à des hangements d’arbres 142
6.A.b Exemple 1 : arbre linéaire ave des n÷uds omposites de taille 1 143
6.A. Exemple 2 : arbre ramié ave des n÷uds omposites de taille > 1 . 145
6.B Indépendance de W η,ξ
ϕ (g) par rapport au choix de la fonction θ
6.C Dérivation de l’expression explicite de E(γ)
6.C.a Élimination de Bλ dans l’expression paramétrique de E(γ)
6.C.b Expression de E(γ) comme une somme sur des forêts
III Modèle d’exclusion asymétrique à plusieurs lasses de particules
7 Le modèle d’exclusion asymétrique à plusieurs lasses de particules
7.1 Définition du modèle
7.2 Couplage entre deux modèles d’exclusion
7.3 Cho s
7.4 Matri e de Markov
7.5 Mesure stationnaire
7.6 Fluctuations du courant
7.7 Intégrabilité
8 Mesure stationnaire du modèle d’ex lusion asymétrique
8.1 Modèle ouvert
8.1.1 Ansatz matriciel
8.1.2 Preuve de l’Ansatz matriciel : matri es hapeau
8.1.3 Représentation expli ite de l’algèbre des matri es D et E
8.1.4 Cal ul expli ite des probabilités stationnaires
8.1.5 Cal ul de la normalisation ZL
8.1.6 Valeur moyenne du ourant et diagramme de phase
8.2 Modèle à deux lasses de particules
8.2.1 Ansatz matriciel .
8.2.2 Preuve de l’Ansatz matriciel
8.2.3 Représentation expli ite des matri es D, A et E
8.2.4 Cal ul explicite des probabilités stationnaires
8.3 Modèle à N lasses de particules
8.3.1 Modèle totalement asymétrique : construction de Ferrari et Martin
8.3.2 Modèle partiellement asymétrique : Ansatz matriciel
8.3.3 Preuve de l’Ansatz matriciel
8.3.4 Cal ul explicite des probabilités stationnaires
8.3.5 Matri e de transfert
9 Ansatz de Bethe algébrique pour le modèle d’exclusion asymétrique
9.1 Lien entre la matri e de Markov et le hamiltonien de la haîne de spin XXZ
9.1.1 Matri e de Markov lo ale
9.1.2 Chaîne de spin XXZ .
9.2 Famille de matri es de transfert pour le modèle à une lasse de particules
9.2.1 Opérateurs lo aux : opérateur de Lax et matri e R
9.2.2 Matri e de monodromie et matri e de transfert
9.2.3 Lien ave le modèle à six vertex
9.2.4 Lien ave la matri e de Markov
9.2.5 Relation de Yang-Baxter et commutation des matri es de transfert
9.2.6 Opérateurs de la matri e de monodromie
9.2.7 Matri e de transfert inhomogène
9.3 Ansatz de Bethe algébrique
9.3.1 Ansatz de Bethe algébrique pour la matri e de transfert homogène
9.3.2 Application de t(λ) sur le vecteur |ψ({z˜})i
9.3.3 Équations de Bethe
9.3.4 Ansatz de Bethe algébrique pour la matri e de transfert inhomogène
9.3.5 Valeur propre de t(λ) et équation de Bethe fonctionnelle
9.4 Matri e de transfert pour le modèle à N lasses de particules
9.4.1 Opérateur de Lax et matri e R
9.4.2 Matri e de monodromie et matri e de transfert
9.4.3 Equation de Yang-Baxter
9.4.4 Opérateurs de la matri e de monodromie
9.5 Ansatz de Bethe emboîté
9.5.1 Construction du vecteur propre : première étape
9.5.2 Itération de la procédure : Ansatz de Bethe emboîté
9.5.3 Équation de Bethe fonctionnelle
9.A Algèbre des opérateurs de la matrice de monodromie
9.A.a Une lasse de particules
9.A.b Plusieurs lasses de particules
Conclusion
Bibliographie
Résumé
IV Annexe : arti les publiés pendant la thèse