Admin CliCours
Algèbre des invariants relatifs pour les groupes de
réflexion- catégorie stable
groupe de réflexions
Ce chapitre propose des rappels en vue du chapitre 2. Il est divisé en trois sections. La section 1.1 est consacrée à quelques rappels d’algèbre commutative : invariants, anneaux de fractions, graduations. La section 1.2 est, quant à elle, consacrée à quelques rappels sur les réflexions. Enfin, la section 1.3 regroupe quelques résultats classiques sur les groupes de réflexions notamment les théorèmes de Chevalley-Shephard-Todd, Gutkin et Stanley. Elle se termine par une nouvelle caractérisation des matrices minimales au sens d’Opdam (voir la propositiondéfinition 1.65). 1.1 Rappels d’algèbre commutative Dans cette section, on rappelle quelques résultats d’algèbre commutative utiles pour la suite notamment pour l’étude des composantes isotypiques de l’algèbre T −1S(V∗ ) ⊗ Λ(M∗ ) (voir les sections 2.1 et 2.2). On commence brièvement par fixer un vocabulaire pour la manipulation des modules sur un anneau (non nécessairement commutatif). On poursuit ensuite, dans la sous-section 1.1.1, avec quelques propriétés des anneaux de fractions en lien avec les actions de groupes : points fixes, composante isotypique pour un caractère linéaire… Enfin, on termine, dans la sous-section 1.1.2, par une étude rapide de la graduation : série de Poincaré, trace graduée, formules de Molien… Modules à gauche, modules à droite, multimodules et applications linéaires Notation 1.1 Module. Soient R un anneau commutatif unitaire et A une R-algèbre associative unitaire. On dit que M est un A-module (resp. un module-A) si M est un module à gauche sur A (resp. à droite sur A). Si M et N sont deux A-modules (resp. deux modules-A), on note HomA(M, N) (resp. Hom(M, N)A) l’ensemble des applications A-linéaires de M dans N. On dit que HomA(M, N) (resp. Hom(M, N)A) est l’ensemble des morphismes de A-modules (resp. modules-A) de M dans N. Pour l’ensemble des endomorphismes d’un A-module M (resp. d’un module-A), on note EndA(M) = HomA(M, M) (resp. End(M)A = Hom(M, M)A). Pour B une R-algèbre associative unitaire, on note B op la R-algèbre associative dont le R-module sous-jacent est B et dont le produit est donné par b ·Bop b ′ = b ′ ·B b pour tous b, b′ ∈ B et lorsque M est un A ⊗ B op -module, on dit plutôt que M est un A-module-B ou un (A, B)-bimodule. Enfin, pour M et N deux A-modules-B, on note HomA(M, N)B = HomA⊗Bop (M, N) et EndA(M)B = HomA(M, M)B . Définition 1.2 Action sur les morphismes. Considérons B, C deux R-algèbres associatives unitaires, M un A-module-B et N un A-module-C. On munit HomA(M, N) d’une structure de module-B op ⊗ C grâce à l’action
Graduation
Dans cette sous-section, on étudie les propriétés de graduation, essentiellement en vue de la section 2.2 dans laquelle on utilisera la bigraduation de l’algèbre S(V∗ ) ⊗ Λ(M∗ ). Toujours dans cet objectif, on donne des exemples de calculs pour les algèbres extérieures et symétriques, en particulier les formules 1.20 de Molien. L’outil principal développé dans cette section est la notion de série de Poincaré (voir la définition 1.15). On finit en donnant deux énoncés dus à Springer (corollaire 1.22 et lemme 1.23) en vue de la démonstration du théorème 1.35 de Chevalley-Shephard-Todd. Définitions On définit deux types de graduations : graduation de type N et N 2 . Ce deuxième type de graduation est appelé bigraduation. Dans [BBKA, II.11], on trouvera une étude bien plus riche de ces problèmes de graduation. Définition 1.13 Graduation et bigraduation. Soit k un corps. Un k-espace vectoriel gradué est un k-espace vectoriel M muni d’une décomposition en somme directe M = L i∈N Mi où Mi est un k-espace vectoriel de dimension finie, pour tout i ∈ N. Pour i ∈ N, on dit que Mi est la composante homogène de degré i de M. Un endomorphisme f ∈ Endk (M) est dit gradué si f(Mi) ⊂ Mi pour tout i ∈ N. On note alors fi l’endomorphisme de Mi induit par f. Si M est de plus une k-algèbre, on dit que M est une k-algèbre graduée si MiMj ⊂ Mi+j pour tout (i, j) ∈ N 2 . Un k-espace vectoriel bigradué est un k-espace vectoriel M muni d’une décomposition en somme directe M = L (i,j)∈N2 Mi,j où Mi,j est un k-espace vectoriel de dimension finie, pour tout (i, j) ∈ N 2 . Pour (i, j) ∈ N 2 , on dit que Mi,j est la composante homogène de degré (i, j) de M. Un endomorphisme f ∈ Endk (M) est dit bigradué si f(Mi,j ) ⊂ Mi,j pour tout (i, j) ∈ N 2 . On note alors fi,j l’endomorphisme de Mi,j induit par f. Exemple 1.14 Algèbre symétrique et extérieure. Soient k un corps et V un k-espace vectoriel de dimension r. L’algèbre symétrique S(V) de V est une k-algèbre graduée. Pour n ∈ N, on note Sn(V) la composante homogène de degré n de S(V). De même, l’algèbre extérieure Λ(V) de V est une k-algèbre graduée. Pour p ∈ N, on note Λ p (V) la composante homogène de degré p de Λ(V). Série de Poincaré Sous leur abord naïf, les séries de Poincaré (voir la définition 1.15) sont en fait un outil très puissant dans l’étude des graduations, notamment grâce au lemme 1.16. Les résultats utiles pour la suite sont les formules 1.20 de Molien et leur corollaire 1.21.
Introduction |
