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Apprentissage de représentation pour la prédiction et la classification de séries temporelles
Séries temporelles
Les séries temporelles constituent une part importante des données produites et disponibles sur Internet dans de très différents domaines. Par exemple, dans le seul domaine médical, l’information enregistrée par les électroencéphalogrammes ou par des électrocardiogrammes, les données qui représentent l’expression de gènes , les données sur la croissance d’un individu etc., sont des séries temporelles fréquemment traitées. Les séries temporelles se retrouvent de la même manière dans d’autres domaines tels que la finance, la météorologie, le son… Si depuis plus d’un siècle la communauté scientifique s’est penchée sur le traitement des séries temporelles [101], la disponibilité de grandes quantités de données est relativement récente et de nouveaux challenges s’offrent à elle. Les principaux axes d’études autour des séries temporelles qui ont été proposés dans la littérature sont les suivants : — La prédiction : étant donnée une série temporelle X = x1, x2, …, xT contenant T points, il s’agit de prédire la ou les valeurs suivantes, c’est-à-dire les valeurs xt+1, xt+2, xt+3… . — La classification : étant donnée une série temporelles X, il s’agit de l’assigner à une des (deux ou plus) classes prédéfinies [61, 55, 129]. — La complétion : étant donnée une série temporelle X = x1, x2, …, xT contenant T points et un masque mi tel que mi = 1 si la valeur de xi est connue et mi = 0 sinon, il s’agit d’inférer la ou les valeurs manquantes, c’est-à-dire les valeurs pour lesquelles mi = 0 [118]. — L’indexation : étant donnée une série temporelle X ainsi qu’une mesure de similarité (ou dissimilarité) notée D(X, X 0 ) telle que D(X, X 0 ) est grand si les séries X et X 0 sont similaires et petit sinon, il s’agit de trouver la ou les séries temporelles les plus similaires dans une base de données donnée [65, 47]. — La segmentation : étant donnée une série temporelle X = x1, x2, …, xT avec ∀i, xi ∈ R, il s’agit de trouver une approximation Xˆ = k1, k2, …, kK avec∀i, ki ∈ R et K << T et où Xˆ est une bonne approximation de X [52, 66]. — Le partitionnement : il s’agit de regrouper des séries temporelles d’une base de données donnée en plusieurs partitions différentes selon une mesure de similarité (ou dissimilarité) notée D(A, B)) telle que D(X, X 0 ) est grand si les séries X et X 0 sont similaires et petit sinon [78, 125, 86] — La détection d’anomalies : étant donnée une série temporelle X que l’on considère comme étant « normale », déterminer quelles séries au sein d’une base de données contiennent une « anomalie » . Nous nous intéressons dans la première partie de ce manuscrit aux tâches de prédiction et de complétion de séries temporelles dans le cas où les séries sont multivariées et relationnelles. Nous proposons ensuite une méthode de classification de séries temporelles.
Prédiction
Le sujet de la modélisation et de la prédiction de séries temporelles a donné lieu à une riche littérature depuis de nombreuses années en statistique et en apprentissage automatique. En statistiques, les approches linéaires classiques basées sur les modèles à moyenne mobile et autorégressifs ont été les plus utilisées. Ces modèles supposent que les séries temporelles sont stationnaires et qu’elles présentent des dépendances linéaires dans le temps [38]. En apprentissage automatique, des extensions non linéaires de ces modèles, basées essentiellement sur des réseaux de neuronnes, ont été proposées dès le début des années 1990, ouvrant la voie à de nombreuses extensions non linéaires comme les méthodes à noyaux [85]. Les modèles dynamiques à état comme les réseaux de neurones récurrents ont également été utilisés pour la prédiction séquentielle dans différents contextes . Récemment, ces méthodes ont été à la base d’importants succès dans différents domaines en modélisation de séquence avec notamment de forts progrès en modélisation du langage [46], génération de langage naturel [111], traduction [28] et beaucoup d’autres [24]. Un modèle proche de ceux que l’on propose dans cette thèse est dénommé « dynamic factor graph »conçu pour la modélisation de séries temporelles multivariées. Comme les nôtres, c’est un modèle génératif à vecteurs latents qui capture les dynamiques temporelles dans un espace de représentation et qui prédit le futur des séries à l’aide d’une fonction de décodage de l’espace latent. A la différence des modèles prédictifs que nous proposons, aucune dépendance spatiale n’est considérée dans cette approche. Les statistiques spatio-temporelles ont également un long historique . Les méthodes traditionnelles se basent sur des approches descriptives qui utilisent les moments du premier et du second ordre pour modéliser les dépendances spatiotemporelles. Plus récemment, des modèles dynamiques à états où l’état courant est conditionné par les états précédents ont été explorés [120]. Pour ces modèles, le temps et l’espace peuvent être continus ou discrets, cependant la méthodologie usuelle est de considérer un temps discret ce qui mène à modéliser des processus spatiaux comme des séries temporelles. Quand l’espace est continu à l’inverse, les modèles sont généralement exprimés par des équations intégro-différentielles linéaires. Quand l’espace est discret, les formulations sont le plus souvent autorégressives. Ces modèles font face à des difficultés de passage à l’échelle dans le cas où un grand nombre de sources produisent des séries incomplètes : pour nombre de processus complexes, les observations ne fournissent qu’une description incomplète des dynamiques des phénomènes observés. Différentes stratégies ont été adoptées pour traiter ces particularités comme représenter le processus par des espaces à petites dimensions, menant à des familles de modèles assez proches de celles utilisées en machine learning pour modéliser des phénomènes dynamiques. Une propriété intéressante de ces approches est la possibilité d’incorporer de la connaissance a priori comme pour les processus spatio-temporels inspirés des phénomènes physiques. Cette stratégie consiste à s’inspirer de principes concrets comme par exemple les équations à dérivées partielles développées pour modéliser des phénomènes de diffusion en physique. En climatologie, des modèles prenant en compte des composantes géographiques et temporelles ont aussi été développés comme les « Gaussian Markov Random Fields » [96]. En apprentissage automatique, la modélisaton spatio-temporelle a été assez peu considérée. Par exemple, [9] introduit un modèle de tenseur pour la prédiction et le kriging. Les auteurs de [69] utilisent des champs aléatoires conditionnels pour detecter de l’activité dans des vidéos; le temps est discrétisé (image par image) et un des buts visés est la prédiction d’activité future. Le BCI (Brain Computer Interface) est un autre domaine pour l’analyse de données spatio-temporelles avec notamment des travaux s’intéressant à l’apprentissage de filtres spatio-temporels [39, 90]. En deeplearning, des approches ont également été proposées sans prendre en compte explicitement les liens entre les dimensions spatiales et temporelles .
Modèles de prédiction de séries temporelles univariées
Modèles linéaires
La plupart des applications réelles de modélisation de séries temporelles univariées utilisent des modèles linaires. Les modèles linéaires les plus populaires sont les modèles autorégressifs (AR). Un des avantages de ces modèles est qu’ils donnent une bonne approximation du premier ordre des dynamiques des processus sous-jacents aux données. Ces modèles peuvent théoriquement modéliser parfaitement des données qui sont décrites exhaustivement par le premier et le deuxième moment dans un monde de distributions gaussiennes. Ces méthodes sont aussi attractives de par leur simplicité et leur relative efficacité : même pour des problèmes connus comme présentant des dynamiques non linéaires, la non linéarité est soit pas assez significative soit pas assez constante dans le temps pour que les modèles autorégressifs présentent des performances acceptables. Les modèles autorégressifs sont donc les modèles de séries temporelles les plus populaires; leurs paramètres peuvent être appris entièrement en minimisant une erreur des moindres carrés [4]. Une série temporelle est modélisée par un modèle AR si à un instant t on a : xt = Pp i=1 αi xt−i + ²t Celà correspond au modèle autorégressif d’ordre (ou de lag) p. L’erreur ² est usuellement spécifiée comme un bruit blanc, c’est-à-dire non corrélé dans le temps, de variance constante et de moyenne zéro. De nombreuses extensions de ces modèles [19] dont il n’est pas possible de faire un descriptif exhaustif ont été proposées.
Modèles non linéaires
Au début des années 90, les modèles non linéaires de prédiction de séries temporelles ont commencé à être popularisés. Ces modèles nécessitant en général une quantité de données en apprentissage plus importante pour obtenir des gains de performances de prédictions, les applications visées ont été essentiellement la finance et le transport [50]. Là encore, un grand nombre de méthodes a été proposée, en statistique tout d’abord, avec le modèle ARCH [71] puis son extension GARCH, mais aussi en machine learning avec les modèles SVR [85] (Support Vector Regression) et surtout les réseaux de neurones qui sont devenus les modèles parmi les plus populaires en modélisation et prédiction de séquences. Ces derniers sont utilisés classiquement comme fonction autorégressive prenant la forme usuelle : xt = f (xt−1, xt−2, …, xt−p) Ces modèles sont entraînés en utilisant une fenêtre glissante comme c’est le cas pour les modèles AR. Le mécanisme est illustré sur la Figure 2.1
Résumé |
