Le modèle de Hubbard SU(4) à une dimension : une approche de la dégénérescence orbitale

Le modèle de Hubbard SU(4) à une dimension : une approche de la dégénérescence orbitale

Groupe de renormalisation à une boucle 

La fonction β du groupe de renormalisation à une boucle pour les constantes de couplage gc, gs, gsc est [71] : g˙c = 6g 2 sc, g˙s = 2g 2 sc + 4g 2 s , g˙sc = gsc (gc + 5gs), (III.9) ou` les vitesses ont été absorbées dans les constantes de couplage par la redéfinition gα → gα/v. L´intégration numérique de ces équations de flot avec les conditions initiales (III.8) révèle que tous les couplages divergent à une échelle finie ξ. Cette divergence permet d´affirmer que certains degrés de liberté deviennent massifs, l´ordre de grandeur de la masse étant ξ −1 ∼ t e −t/U ; en revanche, elle ne renseigne absolument pas sur la nature de la théorie effective à basse énergie. Le flot des constantes de couplage défini par cette fonction β à une boucle présente une propriété intéressante : toutes les constantes de couplage divergent en mˆeme temps, leurs rapports tendant vers 1. Le rayon gc = gc = gsc est attractif. Sur ce rayon, le hamiltonien est celui du modèle Gross Neveu SO(8) (voir ci après), la symétrie SU(4)×U(1) étant élargie à basse énergie à SO(8). L´intérˆet d´un tel phénomène est clair : le modèle de Gross Neveu SO(8) étant intégrable, une description précise des excitations de basse énergie peut en ˆetre déduite [75, 76]. Ce phénomène “d´élargissement de symétrie” 1 à SO(8) dans les échelles a été remarqué pour la première fois par Lin et al. pour les échelles de Hubbard dans la limite de faible couplage [77] (interactions faibles devant le terme cinétique). Les auteurs de la référence [77] en déduisent qu´`a basse énergie, la symétrie de la théorie effective est élargie à SO(8), et identifient la théorie effective au modèle de Gross Neveu SO(8). Le raisonnement, basé sur la fonction β à une boucle, est cependant purement perturbatif, et la question de savoir si cet élargissement de symétrie indiqué 1On parle aussi de restauration de symétrie  par le flot de renormalisation à une boucle implique que le modèle est bien décrit par la théorie effective symétrique n´a pas de réponse univoque ; pour certains modèles intégrables, on peut montrer que l´élargissement de symétrie a effectivement lieu [78, 79]. Ici, le modèle à symétrie brisée nést pas intégrable et l´élargissement de symétrie n´a un sens que dans la limite d´interaction nulle U/t → 0, les rapports des constantes de couplage pouvant ˆetre arbitrairement proches de 1 alors que le flot du groupe de renormalisation nést pas encore sorti du régime perturbatif ga  1. Cependant, ce calcul à une boucle ne permet absolument de conclure dès lors que U/t nést plus infinitésimal. Tout d´abord, rien n´interdit que des corrections d´ordre supérieur viennent détruire l´élargissement de symétrie 2 . Ensuite, la relation (I.85) entre Kc et gc implique Kc → 0 lorque gc diverge, si bien que les opérateurs d´Umklapp (I.95) dans le secteur de charge ne sont pas négligeables : en perturbant plutˆot autour du point fixe de Luttinger (I.83), on s´aper¸coit que la théorie est dominée par le terme d´Umklapp (I.95), si bien que la théorie de perturbation autour du point fixe du boson libre Φc pour la charge semble inconsistant. Enfin, à supposer que l´élargissement de symétrie ait effectivement lieu, le calcul à une boucle ne donne aucune indication sur léxtension de la phase d´élargissement de symétrie. Le comportement de la théorie dès que U/t nést plus infinitésimal est donc un problème essentiellement non perturbatif. La forme de la théorie effective sera en fait le résultat d´une compétition entre le couplage spin charge (III.7) qui est responsable de l´ouverture d´un gap pour tous les degrés de liberté et permet l´élargissement de symétrie, et l´opérateur de Umklapp le plus essentiel, qui brise la symétrie SO(8) en SU(4)×U(1) et qui est un excellent candidat pour rendre compte de la forte anisotropie spin/charge que l´on attend à U  t. 

La symétrie SO

 Afin d´identifier correctement la théorie effective, une méthode non perturbative serait la bienvenue. Or, il a été montré par Gerganov et al. , qu´il est possible de calculer la fonction β resommée à tous les ordres de perturbation, au premier ordre en 1/k (k étant le niveau) pour certaines théories conformes perturbées par des interactions marginales courant-courant. De manière explicite, étant donnée une algèbre de courants J a p et le modèle de WZNW associé, de hamiltonien H0 = γ [: J a r J a r : + : J a l J a l :] , (III.10) 2Dans la limite d´interaction nulle U/t → 0, le rˆole de ces corrections est négligeable. 76 III.1. LE DEMI REMPLISSAGE ou` γ est une normalisation dépendant du groupe et du niveau, Gerganov et al. considèrent une perturbation courant-courant marginale Hint = gαOα , Oα = d ab α J a r J b l , (III.11) définie par un certain nombre de matrices dα, qui brise l´invariance conforme de (III.10). Gerganov et al. utilisent ensuite une prescription de renormalisation particulière, qui revient à négliger toutes les parties finies des contre termes dans le développement en boucle [80]. Dans cette prescription, et en ne retenant que les graphes dominants dans la limite k → ∞, il est possible de dégager trois conditions nécessaires et suffisantes pour la renormalisabilité de la théorie, puis, si la théorie est renormalisable, de resommer les contributions de ces boucles à tous les ordres, la fonction obtenue β s’xprimant de manière compacte en fonction de tenseurs définis par les coefficients intervenant dans un nombre fini d´OPE (voir annexe B). Il semble au premier abord que le hamiltonien continu (III.4) n’entre pas dans la classe des modèles considérés dans la référence  , l´interaction spin-charge (III.7) n´étant pas exprimable en terme des courants de SU(4)1 et des courants U(1) de charge. Cependant, la partie libre de cet hamiltonien, donnée par (I.35), possède une symétrie plus grande encore que SU(4)×U(1), à savoir SO(8). Plus précisément, la symétrie de l´hamiltonien libre est SO(8)|r × SO(8)| l , dont les courants sont donnés par : ψ † paψpb , 1 ≤ a, b ≤ 4 ψpaψpb , ψ † paψ † pb , 1 ≤ a < b ≤ 4 (III.12) et l´hamiltonien libre est en fait l´hamiltonien du modèle de WZNW SO(8)1. De manière à rendre plus transparente cette symétrie, introduisons deux champs de Majorana ξ 7 p , ξ 8 p pour réécrire le champ de Dirac Ψpc (I.68) comme : Ψpc = 1 √ 2.

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