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Valorisation de l’option asiatique sur le taux de
change
Notion de Valorisation de l’option : cas général
Problèmes des options Définition
Une option est un titre financier donnant à son détenteur le droit,et non l’obligation d’acheter ou de vendre une certaine quantité d’un actif financier,à une date convenue et à un prix fixé d’avance.[HAR06] 1 Interprétation On distingue les options d’achat et de vente (respectivement appelé Call et Put). Prenons l’exemple d’une option d’achat (call), qui est un titre que l’on peut acheter moyennant une prime, cette option donne le droit à son propriétaire d’acheter un bien à une date donnée (date d’exercice)pour un prix fixé (le prix d’exercice). Le propriétaire de l’option peut, à la date d’exercice décider de procéder à l’achat au prix d’exercice : on dit qu’il exerce l’option. Mais il peut aussi décider de ne rien faire à la date d’exercice : il n’exerce pas l’option. Situation du problème Rappelons que l’option elle même a un prix appelé la prime. Lorsque l’option est cotée sur un marché organisé, la prime est donnée par le marché. En l’absence de cotation, le problème du calcul de la prime se pose. Et même pour une option cotée, il peut être intéressant de disposer d’une formule ou d’un modèle permettant de détecter d’éventuelles anomalies de marché. Observons, pour fixer les idées, le cas d’un call européen, d’échéance T, sur une action,dont le cours à la date t est donné par St . Soit K : le prix d’exercice. Si à l’instant T : – K> ST , le détenteur de l’option n’a pas intérêt à exercer. – Si ST> K, l’exercice de l’option permet à son détenteur de réaliser un profit égal à ST − K, en achetant l’action au prix K et en revendant sur le marché au cours ST . On voit qu’à l’échéance, la valeur du call est donnée par la quantité : (ST − K)+ = max(ST − K, 0) Pour le vendeur de l’option, il s’agit en cas d’exercice, d’être en mesure de fournir une action au prix K, et par conséquent de pouvoir produire à l’échéance une richesse égal à (ST − K)+. Au moment de la vente de l’option, qu’on prendra pour origine des temps, le cours ST est inconnu et deux problèmes se posent : 1. Calcul du prix de l’option, c’est à dire comment évaluer à l’instant t = 0 une richesse (ST − K)+ disponible à la date T ? : c’est le problème de pricing
Comment le vendeur du call procédera pour fournir la quantité (ST − K)+ à l’instant T ? : c’est le problème de couverture
La notion d’arbitrage et la parité Call-Put
Pour construire un modèle mathématique, on a besoin de minimum d’hypothèse. L’hypothèse de base : c’est l’absence d’opportunité d’arbitrage, c’est à dire : il est impossible de faire des profits sans prendre de risques. L’intérêt de cette hypothèse : c’est de donner une relation entre le prix du Call et le prix du Put. Soient C : le prix du Call et P : le prix du Put. Supposons que le Call et le Put ont la même échéance T et même prix d’exercice K. Soit r > 0 : le taux d’intérêt En l’absence d’opportunité d’arbitrage : on a la relation suivante :
Préliminaires mathématiques
Dans ce travail, on trouve souvent des exemples du processus stochastique continu . Alors comme rappel, nous allons donner des définitions[LL97] 2 , mais nous avons aussi besoin de considérer le processus stochastique discret, donc nous allons commencer par ce dernier. Martingales On considère un espace de probabilité fini (Ω, F, P), avec F = P(Ω) et ∀ω ∈ Ω,P(ω) > 0, muni d’une filtration (Fn)0≤n≤N . Définition 1.2. Une suite (Xn)0≤n≤N de variables aléatoires est adaptée à la filtration si pour tout n, Xn est Fn-mesurable. Définition 1.3. Une suite adaptée (Mn)0≤n≤N de variables aléatoires réelles est : – une martingale si E(Mn+1/Fn) = Mn pour tout n ≤ N − 1 – une surmartingale si E(Mn+1/Fn) ≤ Mn pour tout n ≤ N − 1 – une sousmartingale si E(Mn+1/Fn) ≥ Mn pour tout n ≤ N − 1 Définition 1.4. Une suite adaptée (Hn)0≤n≤N de variables aléatoires est prévisible si, pour tout n ≥ 1, Hn est Fn−1-mesurable. Nous avons cette proposition suivante : Proposition 1.5. Soit (Mn)0≤n≤N une martingale et soit (Hn)0≤n≤N une suite prévisible par rapport à la filtration (Fn)0≤n≤N . On pose ∆Mn = Mn − Mn−1. La suite (Xn)0≤n≤N définie par : X0 = H0M0 Xn = H0M0 + H1M1 + . . . + Hn∆Mn, pour n ≥ 1 est une martingale par rapport à (Fn)0≤n≤N Démonstration. Comme (Mn) et (Hn) sont adaptées par définition des martingales et suites adaptées, alors il est claire que (Xn) est aussi une suite adaptée, de plus , pour n ≥ 0, on a : E(Xn+1 − Xn/Fn) = E(Hn+1(Mn+1 − Mn)/Fn) = Hn+1E(Mn+1 − Mn/Fn) car Hn+1 est Fn−mesurable = Hn+1(E(Mn+1/Fn) − Mn) = 0 D’où E(Xn+1/Fn) = E(Xn/Fn) = Xn Alors (Xn)0≤n≤N est une martingale Nous allons passer maintenant au cas continu.
Le mouvement brownien
Rappellons que le mouvement brownien est un exemple plus important du processus stochastique. Définition 1.10. On appelle mouvement brownien : un processus stochastique (Xt)t≥0 à variables réelles, qui est un processus à accroissement indépendants et stationnaires dont les trajectoires sont continues. Ce qui signifie que : – continuité : P p.s la fonction s 7→ Xs(ω) est une fonction continue. – indépendance des accroissements : Si s ≤ t, Xt − Xs est indépendant de la tribu Fs = σ (Xu, u ≤ s). – stationnarité des accroissements : si s ≤ t, la loi de Xt − Xs est identique à celle de Xt−s − X0. Définition 1.11. Un mouvement brownien est dit standard si : X0 = 0 P p.s E (Xt) = 0, E
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