Calcul numérique des intégrales RR 1/r.dS et RR n.r/r3 .dS avec points de Gauss 

Calcul numérique des intégrales RR 1/r.dS et RR n.r/r3 .dS avec points de Gauss 

Pour les calculs d’intégrales, on peut utiliser la méthode de collocation avec points de Gauss (ou la méthode de quadrature de Gauss). Cette technique issue de l’analyse numérique en mathématique permet de calculer la valeur numérique d’une intégrale par une somme pondérée prise dans un certain nombre de points du domaine d’intégration. La figure A.1 montre des exemple de répartition de ces points appelés points de Gauss sur des surfaces rectangulaires..L’emplacement des nœuds est déterminé par les n racines du nième polynôme orthogonal associé à la formule de quadrature. Cette méthode de quadrature est exacte pour un polynôme de degré 2Ng − 1 si Ng est le nombre de points de Gauss. Dans notre cas, le calcul de l’intégrale RR 1/r.dS avec r, la distance entre X, un point quelconque de l’espace, et la surface rectangulaire S de barycentre Bary est illustré à la figure A.2. Cette technique d’intégration avec Ng points de Gauss fait intervenir plusieurs coefficients : Xg les coordonnées des points des points de Gauss, w appelé poids de Gauss, ∆ le déterminant du jacobien de la transformation géométriques qui transforme les coordonnées des points de Gauss du carré de référence à ceux du rectangle en trois dimensions. Avec ces notations, le calcul intégral peut s’écrire : ZZ S dS r = X Ng i=1 w(i).∆(i) kX − Xg(i)k ZZ S n.r/r3 .dS = X Ng i=1 w(i).∆(i).(X − Xg(i)) kX − Xg(i)k 3 .n (A.1) Plus le nombre de points de Gauss est élevé, plus la précision du calcul de l’intégrale est grande. Les avantages de cette technique sont la rapidité du temps de calcul, la bonne précision des résultats et la vectorisation facile (en vue de la construction d’une matrice d’interaction). En ce qui concerne les triangles, on procède exactement de la même façon.

Calcul analytique des intégrales RR 1/r.dS et RR n.r/r3 .dS

 Dans le cas de « mauvais » maillages (par exemple, des grands éléments en vis-à-vis très proches), il se peut que les calculs numériques des intégrales soient peu précis. Par exemple, comme le montre la figure A.3, dans le cas particulier où un petit élément (triangulaire ou rectangulaire) est situé à proximité du point de Gauss d’un gros élément, la précision du coefficient d’interaction calculé numériquement peut être très faible car la distance r = kX − Xg(i)k est très petite par rapport à la taille du gros élément. Et par conséquent, la précision de la résolution de ce problème (ie : la répartition des charges) se trouve également perturbée. Comme le montre la figure A.3, on retrouve la signature des points de Gauss des gros éléments sur la répartition des charges. Avec un grand nombre de points de Gauss par élément triangulaire ou rectangulaire (144), les erreurs numériques sont évitées. On comprend que l’utilisation de formules analytiques peut améliorer dans certains cas la précision des calculs des coefficients d’interaction. Les mêmes phénomènes sont observés concernant l’intégration des coefficients en champ normal pour des interfaces diélectriques-diélectriques. Dans les sections suivantes, on détaillera les différentes formulations analytiques pour calculer les intégrales RR 1/r.dS et RR n.r/r3 .dS pour plusieurs géométries uniformément chargées. 

Calcul analytique de RR 1/r.dS sur un polygone

 Pour le cas général d’un polygone uniformément chargé, on peut utiliser la formule développée par Wilton et al. [34]. Cette intégrale est calculée à partir de sommes de potentiels créés par chacune des Na arêtes définissant le contour du polygone avec les notations décrites dans la figure A.4. Voici la formule utilisée pour calculer le potentiel d’un polygone de charge surfacique uniforme q/S composé de Na arêtes. On ne détaillera pas ici les calculs des différentes grandeurs utilisées dans l’équation A.2 (détaillés dans [34]). On peut utiliser cette formule dans les cas particuliers des rectangles ou des triangles. En pratique, on utilise cette formule uniquement pour les triangles car on dispose d’une formule plus adaptée et plus rapide à calculer pour les rectangles.Annexe A. Techniques d’intégration Figure A.4 – Notations liées au calcul du potentiel au point de coordonnées r, défini par rapport au repère de centre O, créé par le segment C supposé uniformément chargé et appartenant au plan P [34] 2.2 Calcul analytique de RR 1/r.dS sur un rectangle Figure A.5 – Configuration pour le calcul du potentiel en un point P situé sur la perpendiculaire passant par le sommet O d’un rectangle OACB uniformément chargé Pour calculer le potentiel sur la perpendiculaire passant par l’un des sommets d’un rectangle uniformément chargé (figure A.5).Dans le cas général (figure A.7), il suffit d’utiliser le projeté orthogonal du point de calcul P sur le plan défini par le rectangle et d’utiliser quatre fois la formule précédente en introduisant 168 A.2 Calcul analytique des intégrales RR 1/r.dS et RR n.r/r3 .dS éventuellement des coefficients d’aire valant +1 ou −1 dans le cas où l’un des projetés se situe à l’extérieur du rectangle comme dans la figure A.9 (méthode décrite un peu plus loin au 4). 

Calcul analytique de RR n.r/r3 .dS sur un polyèdre

 Pour les coefficients en champ normal, on dispose d’une formulation très générale pour calculer le champ (ou le champ normal) créé par un polyèdre quelconque présenté figure A.6 [35]. Comme pour l’equation A.2, cette formule somme les influences de chacune des Na arêtes des Nf faces du polyèdre : En(r) = 1 4π0 X Nf f=1 TfQf .nf (A.4) Qf = X Na p=1, xa,p+16=xa,p q [xa,p,(ya,p+1 − ya,p) / (xa,p+1 − xa,p), (xa,p+1ya,p − xa,pya,p+1) / (xa,p+1 − xa,p), za] (A.5) avec Ta une matrice de rotation de passage pour passer dans un repère local lié à la face d’indice f, Qa est l’influence totale de la face a. On explicitera pas ici le calcul de la grandeur q dans la formule précédente (détaillé dans [35]). On utilisera cette formule pour le calcul des coefficients en champ normal entre triangles quelconques, et pour les rectangles, on dispose d’une formule plus adaptée et plus rapide.