Notions d’analyse asymptotique

Notions d’analyse asymptotique 

 Classification des points singuliers des équations linéaires homogènes Dans cette section, nous commen¸cons le processus d’analyse locale par classer un point x0, qui peut ˆetre complexe, comme un point ordinaire, un point singulier régulier, ou un point singulier irrégulier d’une équation différentielle linéaire homogène. Cette classification donne la première indication de la nature des solutions `a proximité de x0 et suggère la voie appropriée pour une analyse systématique plus approfondie. Considérons les équations différentielles linéaires homogènes de la forme suivante : y (n) (x) + pn−1(x)y (n−1)(x) + · · · + p1(x)y (1)(x) + p0(x)y(x) = 0, (2.1) o`u y (k) (x) = d k dxk y(x). Le schéma de classification que nous allons décrire suppose que p0, p1,…,pn−1 ont été définis pour les valeurs complexes aussi bien que pour les valeurs réelles de leurs variables. 19 2.1. Classification des points singuliers des équations linéaires homogènes 20 Définition 2.1.1. Le point x0 (x0 6= ∞) est appelé un point ordinaire de l’équation (2.1) si les fonctions de coefficients p0(x), p1(x), … , pn−1(x) sont toutes analytiques au voisinage de x0. 

Exemple 2.1.2. 1. y 00(x) = e x y(x). Tout point x0 6= ∞ est un point ordinaire. 2. x 5 y (3)(x) = y(x). Tout point x0 sauf pour x0 = 0 et ∞ est un point ordinaire. 3. y 0 (x) = |x|y(x). Il n’y a pas de points ordinaires dans le plan complexe parce que |x| est nulle part analytique. Fuchs 1 a prouvé en 1866 que toutes les n solutions linéairement indépendantes de l’équation (2.1) sont analytiques au voisinage d’un point ordinaire. De plus, il a prouvé que si une solution est développée en une série de Taylor au point ordinaire x0, y(x) = P∞ n=0 an(x − x0) n , alors le rayon de convergence de cette série est au moins aussi grand que la distance `a la singularité la plus proche des fonctions de coefficient dans le plan complexe. L’emplacement d’une singularité d’une solution doit co¨ıncider avec l’emplacement d’une singularité d’une fonction de coefficient. La solution d’une équation linéaire ne peut avoir de singularités en aucun autre point. 

Exemple 2.1.3. L’équation (x 2 + 1)y 0 (x) + 2xy(x) = 0 a un point ordinaire en 0. La solution y(x) = c(1 + x 2 ) −1 peut ˆetre développé en une série de Taylor dont le rayon de convergence est 1 ; c’est la distance aux singularités des coefficients en x = ±i lorsque l’équation différentielle s’écrit sous la forme de (2.1). Définition 2.1.4. Le point x0 (x0 6= ∞) est appelé un point singulier régulier de l’équation (2.1) si les fonctions de coefficients p0(x), p1(x), pn−1(x) ne sont pas toutes analytiques au voisinage de x0 mais les fonctions (x − x0)pn−1(x), (x − x0) 2pn−2(x), …, (x − x0) n−1p1(x), (x − x0) np0(x) sont analytiques au voisinage de x0. Tout point singulier de l’équation (2.1) qui n’est pas un point singulier régulier est appelé un point singulier irrégulier de l’équation (2.1). Remarque 2.1.5. Dans le cas o`u les fonctions de coefficients sont des polynˆomes, la condition d’analyticité des fonctions (x − x0) kpn−k(x), est équivalente `a les limites limx→x0 (x − x0) k pn−k(x), sont finies. 1. Lazarus Immanuel Fuchs (1833–1902), mathématicien allemand. 2.1. Classification des points singuliers des équations linéaires homogènes 21 Exemple 2.1.6. Déterminer les points singuliers de l’équation différentielle 2x(x − 2)2 y 00(x) + 3xy0 (x) + (x − 2)y(x) = 0, (2.2) et les classer comme réguliers ou irréguliers. Solution : En divisant l’équation (2.2) par 2x(x − 2)2 , nous avons y 00(x) + 3 2(x − 2)2 y 0 (x) + 1 2x(x − 2)y(x) = 0, alors p1(x) = 3 2(x − 2)2 et p0(x) = 1 2x(x − 2). Les points singuliers sont x = 0 et x = 2. Pour x = 0 on a limx→0 xp1(x) = limx→0 3x 2(x − 2)2 = 0, et limx→0 x 2 p0(x) = limx→0 x 2(x − 2)2 = 0. Puisque ces limites sont finies, x = 0 est un point singulier régulier. Pour x = 2 on a limx→2 (x − 2)p1(x) = limx→2 3 2(x − 2) = ∞. La limite n’est pas finie donc, x = 2 est un point singulier irrégulier. Exemple 2.1.7. Déterminer les points singuliers de l’équation différentielle  x − π 2 2 y 00(x) + (cos x)y 0 (x) + (sin x)y(x) = 0, et les classer comme réguliers ou irréguliers. Solution : Le seul point singulier est x = π 2 . Pour l’étudier, on considère les fonctions  x − π 2  p1(x) = cos x x − π/2 , et  x − π 2 2 p0(x) = sin x. 2.1. Classification des points singuliers des équations linéaires homogènes 22 A partir de la série de Taylor pour cos x au voisinage de x = π 2 , on constate que cos x x − π/2 = −1 + (x − π/2)2 3! + (x − π/2)4 5! + · · · , qui converge pour tout x. De mˆeme, sin x est analytique en x = π 2 . Par conséquent, nous concluons que π 2 est un point singulier régulier pour cette équation. Fuchs a montré qu’il y a toujours au moins une solution de la forme y(x) = (x − x0) αA(x), (2.3) o`u α est un nombre appelé exposant indicatif, et A(x) est une fonction qui est analytique en x0 et qui a une série Taylor dont le rayon de convergence est au moins grand que la distance `a la singularité la plus proche des fonctions de coefficient dans le plan complexe. Si (2.1) est d’ordre n > 2, alors il existe une deuxième solution linéairement indépendante ayant l’une des deux formes possibles : y(x) = (x − x0) βB(x), (2.4) o`u y(x) = (x − x0) αA(x) ln(x − x0) + C(x)(x − x0) β . (2.5) B(x) et C(x) sont de nouvelles fonctions qui sont également analytiques en x0 et qui ont des rayons de convergence au moins aussi grands que la distance `a la singularité la plus proche des fonctions de coefficient. A(x) est la mˆeme fonction qui apparaˆıt dans (2.3). En général, pour chaque nouvelle solution linéairement indépendante, il existe une nouvelle fonction analytique de x et soit un nouvel exposant indicatif, soit une autre puissance de ln(x − x0). Ainsi, la forme de la nième solution est au pire y(x) = (x − x0) γ Xn−1 i=0 

Classification du point x = ∞

Nous avons terminé la classification des points x0 dans le plan complexe fini, mais il est également utile de classer le point x0 = ∞. Nous faisons cela en transformant