MODELISATION TRIDIMENSIONNELLE D’UN TRANSDUCTEUR ULTRASONORE MONO-ELEMENT FOCALISE

MODELISATION TRIDIMENSIONNELLE D’UN TRANSDUCTEUR ULTRASONORE MONO-ELEMENT FOCALISE

Modélisation par éléments finis

 La modélisation par éléments finis consiste à résoudre l’équation de la dynamique sur de petits éléments, de faibles dimensions devant la longueur d’onde d’intérêt. Le découpage usuellement adopté est basé sur des éléments quart d’onde, et doit être adapté et optimisé à la configuration géométrique et à la méthode de résolution. Nous avons utilisé le logiciel ATILA développé par l’ISEN de Lille et commercialisé par la société CEDRAT TECHNOLOGIES qui permet d’intégrer la piézo-électricité ainsi que les pertes électriques ou mécaniques dans les matériaux [1]. Dans un premier temps, nous avons ainsi calculé la pression générée à la surface du transducteur ou après propagation sur quelques longueurs d’onde dans le milieu de propagation. 

Equations de résolution par éléments finis

Principe – Equation 

La résolution par éléments finis consiste à résoudre l’équation de la dynamique pour des volumes élémentaires élastiques sur lesquels des forces sont appliquées. Ainsi, l’équation de la dynamique se note de façon générale . la matrice de masse généralisée, [C] la matrice d’amortissement généralisée, [K ‘] la matrice de rigidité généralisée, • le vecteur déplacement, ses dérivées temporelles première et seconde, [F] le vecteur de forces généralisées. La résolution de l’équation (II.1) sans second membre ([F] = [0]) et sans amortissement ([C] = [0]) permet de déterminer les modes propres de la structure modélisée.

Prise en compte des pertes

La matrice de rigidité pour un matériau piézo-électrique (Equation A1.7) est constituée de la matrice de rigidité mécanique s E , 

Pertes constantes 

Pour la résolution en régime harmonique, l’amortissement est inclus dans la composante imaginaire du terme de rigidité [K] sous forme d’une fonction linéaire avec la fréquence f : Im 2 ([K C ]) = = w p [ ] f C[ ] et induit des pertes indépendantes de la fréquence : 0 d d = I.1.2.2 Pertes dispersives Pour la résolution en régime transitoire, l’amortissement est inclus dans la composante imaginaire du terme de rigidité [K] sous forme d’une constante : Im 2 ([K]) = = w p 0 0 [C] f C[ ] et induit des pertes directement linéairement dépendantes de la fréquence 

 Méthodes de résolution 

La résolution de l’équation de la dynamique (II.5) pour la configuration choisie peut se faire soit par une méthode de résolution en régime harmonique, soit par une méthode de résolution en régime transitoire. Dans notre cas, la propagation dans un milieu fluide ne peut se faire en régime harmonique qu’à la condition de disposer des éléments absorbants en champ lointain, ce qui nécessite un maillage très important du milieu fluide. Une résolution en régime transitoire est préférée, ne nécessitant un maillage que sur une distance plus courte, permettant d’éviter les perturbations d’un écho sur le fond du maillage fluide. Le schéma de résolution général reste toujours le même [1, 2], basé soit sur une écriture en différences finies, soit développé en série de Taylor. Ces formalismes de résolution sont basés sur l’hypothèse que la solution exacte et ses dérivées sont continues. Comme l’illustre le schéma Figure II.1, la méthode de résolution itérative pour déterminer la solution [U] de l’équation de la dynamique (II.5) est paramétrée en temps par les indices (k, q) et ses dérivées temporelles d’ordre (m, p) en exposant 

 Différence centrale 

La méthode des différences finies repose sur ce type de formalisme, et la méthode de la différence centrale en est une des variantes. La somme des coefficients ai et bi reste nulle, privilégiant soit l’instantanéité et la simplicité (parfois instable), soit la stabilité (avec un effet mémoire, conditionné par le nombre de termes entrant en compte, ici limité à 3) et la complexité de la formulation : d’où ka,max = 3 et (a1, a2, a3) = (1/2, d’où kb,max = 3 et (b1, b2, b3) = (1, -2, 1) Cette méthode tient son nom de l’expression de la dérivée au premier ordre qui est donnée par la moyenne des dérivées numériques locales exprimées pour deux indices consécutifs. La condition de convergence est satisfaite si pfmaxDt < 1. Le schéma de résolution consiste à exprimer pour chaque itération n, la grandeur [U]n+1 en fonction de l’excitation [F]n+1, de [U]n–1, de [U]n et ses dérivées première et seconde relativement au temps. Les paramètres correspondants au schéma de résolution (Figure II.1) sont identifiés : les indices sont obtenus pour (k, q) = (1, 0) et les dérivées d’ordre (m, p) = (0, 2). I.2.2 Développement en série de Taylor Il existe d’autres méthodes basées sur un développement en série de Taylor, auquel cas l’écriture de la méthode de résolution peut s’écrire de façon générale. 

Méthode de Newmark 

La méthode de Newmark de paramètres (b, g) consiste à utiliser un développement de Taylor pour déterminer la grandeur dérivée à l’ordre m pour l’incrément de temps n+1, en fonction de l’incrément n et des dérivées d’ordre supérieur ou égal à m (avec m A partir de l’expression de [U] et de ses dérivées par rapport au temps à l’instant n+1, l’équation de la dynamique est résolue par itérations successives. Pour chaque itération n, la grandeur [ ] (2) n 1 U + est calculée en fonction de l’excitation [F]n+1, de [U]n et ses dérivées première et seconde relativement au temps. Les paramètres correspondants au schéma de résolution (Figure II.1) sont identifiés : les indices sont obtenus pour (k, q) = (1, 1) et les dérivées d’ordre (m, p) = (2, 1). La convergence est obtenue à la condition où g ³ ½ ³ b s’écrit pfmaxDt < 1/(2g–4b) 2 . Cependant, des valeurs g > ½, induisent un amortissement numérique qui se traduit par un filtrage passe-bas et donc une modification du spectre. La formulation de Newmark paramétrée par (b, g) permet de retrouver les formulations connues sous le nom de méthode de la différence centrale (0, ½), méthode de l’accélération moyenne (¼, ½) ou méthode de l’accélération linéaire (1 /6, ½).

Méthode de Wilson-q 

L’introduction du paramètre q a pour but de palier aux oscillations observées autour de la solution exacte. Elle consiste donc à prendre des incréments de temps non entiers afin de moyenner les perturbations. Ainsi, le développement en série de Taylor est écrit pour le pas de temps modifié qDt, pondéré avec 1 £ q £ 2. En effet, pour toute fonction dérivable, le critère de convergence est fonction du pas de temps et de l’ordre du développement en série de Taylor. Pour un ordre fixé, ce qui est le cas pour la méthode de Wilson-q, le critère de convergence se limite donc au pas de temps .En particulier pour m = 2, un développement en série de Taylor pour l’indice n+q donne La stabilité de cette méthode est difficile à démontrer, mais est prouvée pour des valeurs de q supérieures à 1,366. Pour chaque itération n, la grandeur [ ] (2) n U +q est calculée en fonction de l’excitation [F]n+q, de [U]n et ses dérivées première et seconde relativement au temps. Les paramètres correspondants au schéma de résolution (Figure II.1) sont identifiés : les indices sont obtenus pour (k, q) = (q, q) et les dérivées d’ordre (m, p) = (2, 1).

Optimisation du maillage 

Afin de déterminer les maillages radial et longitudinal optimaux, nous avons effectué des modélisations par éléments finis de configurations comparables avec différents modèles monomodaux. Nous avons ainsi étudié par une analyse modale les modes propres de vibration de structures cylindriques sans pertes. De même, l’impédance d’un disque piézo-électrique avec pertes en résonateur libre a été calculée par une résolution harmonique dans le vide, et comparée avec celle établie par le standard IEEE  (Equation A2.19). Enfin, le déplacement à la surface d’un transducteur axisymétrique multicouche mono-élément a été calculé par une résolution transitoire et a été comparé à celui obtenu par une modélisation avec le schéma KLM (Figure A2.4).

Analyse modale 

– Densité du maillage

Une analyse modale a été réalisée sur chacune des couches constituant le transducteur monoélément étudié, respectivement le milieu arrière, le disque piézo-électrique, la lame adaptatrice, et la lentille acoustique (Annexe 5). Les fréquences des modes propres de vibration relevés ont été comparées à celles données par le standard IEEE , Brissaud  et Lunde et Vestrheim .