Comparaison numérique cavité vide et cavité pleine d’eau

Comparaison numérique cavité vide et cavité pleine d’eau

Lorsqu’il y a une cavité vide dans le sous-sol, la première chose que nous avons étudié est la présence d’un angle critique à l’interface sol-air due à l’augmentation de vitesse entre les deux milieux. Nous avons modélisé en deux dimensions les radargrammes multi-déports acquis au-dessus de deux milieux trois couches pour observer les variations d’amplitude en fonction de la distance entre l’émetteur et le récepteur (appelé AVO pour Amplitude Versus Oset en anglais). Dans le premier modèle nous considérons une couche de sol au dessus d’une lame d’eau. Dans le deuxième modèle, le sol est au dessus d’une couche d’air. La valeur de permittivité relative du sol a été choisie à 9 pour avoir des coecients de réexion égaux, en valeur absolue à incidence normale, entre les deux types d’interface : sol/air et sol/eau. Pour s’aranchir des réexions sur les bords du modèle, nous avons pris un domaine de modélisation avec une couche d’air supérieure de large épaisseur comme montré sur la gure 2.1. Dans cette modélisation nous considérons une conductivité électrique nulle, ainsi qu’une perméabilité magnétique relative égale à 1. La source est un signal de Ricker de fréquence centrale 250 MHz. Concernant la polarisation du champ électromagnétique, nous avons pris un mode Transverse Electrique (TE), c’est-à-dire que le champ électrique est perpendiculaire au plan d’acquisition tandis que le champ magnétique y est parallèle. 

Multi-déport au dessus d’une cavité pleine d’eau

Dans la première simulation, nous considérons une couche d’air de 9 m de haut, une couche de sol de permittivité relative εs = 9, de 1 m d’épaisseur, et une couche d’eau de permittivité relative εw = 81, de 1 m d’épaisseur (Fig. 2.1a). Le coecient de réexion à incidence normale est alors r = 3−9 3+9 = −0, 5 comme calculé par l’équation 1.28. Le radargramme obtenu en supposant un émetteur xe à 3 m et un récepteur dont la position varie de 3 à 9 m, avec un pas de 10 cm, est montré sur la gure 2.2a. Sur ce radargramme nous voyons clairement, les fonctions temps d’arrivée-déport correspondant à l’onde directe dans l’air, à celle dans le sol, la première et la deuxième onde rééchie à l’interface sol/eau, puis une onde réfractée post-critique à l’interface sol/air (voir les explications sur la Fig. 1.6). La première rééchie à une polarité inverse à celle transmise directement entre les deux antennes dans l’air ou dans le sol comme attendu à cause du coecient de réexion négatif. La deuxième rééchie, sera de polarité identique à l’onde directe dans l’air puisqu’elle a subi deux réexions sur l’interface sol/eau avec un r négatif. En prenant une permittivité relative de 9 pour le sol, l’angle critique lors du passage sol/air vaut 19, 5 ◦ ce qui correspond à une distance critique de 0.7 m pour une couche de 1 m. Au delà de 0,7 m, on observe donc la droite t-x de l’onde réfractée post-critique qui se détache de l’hyperbole de la première rééchie. Cette droite est parallèle à l’onde directe dans l’air. Au delà de 1,4 m, on observe une deuxième droite correspondant au temps d’arrivée de la réfractée post-critique suite à une double réexion. A noter sur la gure 2.4 que l’amplitude de cette deuxième réfractée post-critique est supérieure à celle de la première, malgré un parcours plus long. Ceci s’explique en regardant la gure 2.3a. La deuxième réfractée suit deux chemins diérents. Le récepteur enregistre donc la somme des deux réfractées (interférence constructive) qui arrivent exactement en même temps. Cela double l’amplitude de l’onde réfractée enregistrée.

Multi-déport au dessus d’une cavité vide

Le deuxième cas est celui d’une couche de sol de permittivité 9, d’épaisseur 1 m, au dessus d’un vide (Fig. 2.1b). Le coecient de réexion à incidence normale est alors r = 3−1 3+1 = +0, 5 comme calculé par l’équation 1.28. Le radargramme obtenu en supposant un émetteur xe à 3 m et un récepteur dont la position varie de 3 à 9 m, avec un pas de 10 cm, est montré sur la gure 2.2b. Cette fois, il n’y a pas d’inversion de polarité, aux faibles déports, entre les diérents ondes puisque le coecient de réexion est positif. L’amplitude de la première rééchie enregistrée à 1 m (traces 1 et 2 de la gure 2.4) est diérente pour les deux modèles à cause de la dépendance du coecient de réexion avec l’angle d’incidence (Fig. 2.5). Alors que la valeur absolue de la partie réelle du coecient r à incidence normale est identique pour les deux milieux, il ne l’est plus pour un angle d’incidence diérent de 0 ◦ . L’amplitude de la réexion sur l’interface sol-air augmente rapidement jusqu’à son maximum obtenu à l’angle critique. On parle alors de réection totale. On remarque qu’il existe une distance Xp au delà de laquelle la réexion sur l’interface sol-air change de polarité. La partie réelle de r est nulle pour X = Xp. On observe ce changement de polarité sur le radargramme de la Figure 2.2. Par ailleurs, l’amplitude de la première réfractée est clairement inférieure à celle de la deuxième, qui cette fois est la somme de 4 ondes réfractées diérentes comme dessinées sur la Figure 2.3b.

Application à la détection de cavités

La modélisation de l’amplitude de la réexion en fonction du déport nous a permis de mettre en évidence trois phénomènes liés à la présence d’un cavité tabulaire dans le soussol :  une première réexion de même polarité que l’onde directe dans l’air et des réfractées.  une augmentation de l’amplitude de l’onde réfractée au delà de l’angle critique par rapport au cas d’une réexion sur une interface en profondeur sans angle critique.  une inversion de polarisation de l’onde rééchie au delà d’une certaine distance. Nous avons tenté d’utiliser ces trois observations pour mettre en évidence la présence d’une cavité sous un plancher entre deux étages (Figure 2.6) et dans la partie des mesures multidéports acquises au dessus des cryptes de l’église de Sainte-Mesme sont présentées. Dans les deux cas, nous observons une inversion de polarisation à partir d’un certaine distance Xp mais notre interprétation reste discutable. Dans les faits les réections multiples liés à l’hétérogénéité des planchers, l’incertitude sur le positionnement du temps zéro et le déport initial nous empêchent d’exploiter au maximum les trois phénomènes observés grâce à nos modélisations FDTD dans les données réelles. L’idée reste à approfondir. 

Cavités à sections carrées

Dans cette partie nous nous intéressons aux limites de détection d’une cavité de section carrée par des mesures de radar de sol depuis la surface dans le cas simplié d’une cavité unique dans un milieu homogène. Notre étude ne prend pas en compte la dispersion du signal radar par les diractions multiples pouvant apparaître à cause de la présence d’objets diractants souvent nombreux dans la proche subsurface. La modélisation de cet eet se trouve dans l’étude de Fiaz et al (2012). Par ailleurs, Unrau et al. (2011) présentent une acquisition radar 3D sur une structure d’impact à Haughton, Devon Island, Canada, pour quantier l’eet de la dispersion du signal radar liée à la diraction multiple dans le contexte de l’exploration planétaire. Finalement Persico et al. (2011) prennent en compte la diraction multiple liée à des anomalies diélectriques et magnétiques sur un schéma d’inversion linéaire. Ici nous nous intéressons uniquement à l’amplitude de la réection sur une cavité à section carrée en fonction de sa taille, de sa profondeur, de la fréquence du signal électromagnétique incident et de l’atténuation du milieu homogène dû à sa conductivité électrique. Pour cela nous utilisons encore le programme GprMax2D (voir le chapitre 1) pour modéliser le radargramme acquis au dessus d’une cavité enfouie à la distance h de la surface et de section carrée de coté d comme illustré sur la Fig. 2.7. Nous faisons varier d de 0,25 à 3 m et h de 0,25 à 2 m. Nous utilisons Reexw pour visualiser les résultats. Nous étudierons trois types de milieu ambiant : milieu 1 peu atténuant (εr = 4, σ = 0, 001 mS/m, µr = 1), milieu 2 moyennement atténuant (εr = 4, σ = 0, 01 mS/m, µr = 1) et un milieu 3 fortement atténuant (εr = 4, σ = 0, 1 mS/m, µr = 1). Nous simulons la source d’onde électromagnétique par un Ricker avec une fréquence centrale de valeurs successives 100, 250, 500 et 800 MHz. Les radargrammes sont simulés en supposant un déport entre l’émetteur et le récepteur xé à 0,31 m comme dans les antennes Malå. La permittivité diélectrique relative étant xé à εr = 4 dans chacun de nos modèles, la longueur d’onde principale ne dépend que de la fréquence centrale de la source utilisée. Le tableau 2.1 résume les caractéristiques de l’onde électromagnétique utilisée pour nos diérentes modélisations. Les traces obtenues pour des sources Ricker de diérentes fréquences centrales pour d = 0, 25 m et h = 2 m sont montrées sur la gure 2.8. Celles obtenues pour d = 3 m et h = 2 m sur la gure 2.9. Lorsque la taille de la cavité est de d = 0, 25 m il est impossible de distinguer la réexion sur le toit de celle sur la base de la cavité. Quand d = 3 m, les deux réexions sont distinctes. En utilisant l’équation 1.28, le coecient de réexion de Fresnel à incidence normale sur le toit de la cavité est positif et vaut 1/3. Celui sur la base de la cavité sera par contre négatif. Il y a donc une inversion de polarisation entre les deux réexions successives. 

Réexion par des couches minces 

Les gures 2.8 et 2.9 illustrent la limite de détection entre les réexions sur le toit et sur la base d’une cavité. Il existe aussi un phénomène intéressant sur l’amplitude de la réexion sur le toit de la cavité en fonction de sa taille. Dans la littérature, la réexion sur des couches minces (caractérisées par une épaisseur inférieure à λ/4) a été étudiée pour comprendre le fait qu’une fracture soit détectable par des mesures de surface sismique ou radar. Lorsque la couche est susamment mince par rapport à la longueur d’onde de l’onde incidente, les réexions de l’onde sur le toit et sur la base de la couche arrivent avec un décalage temporel inférieur à la durée du signal émis et les deux ondes rééchies interfèrent. L’article de Widess (1973) explique ce phénomène sur les gures 2.10 et 2.11. Liu et Schmitt (2003) étudient l’eet de l’angle d’incidence sur la réexion d’une onde sismique par une couche mince. Ils montrent sur la gure 2.12 l’amplitude maximale de l’onde rééchie par une couche en fonction de son épaisseur. Lorsque le rapport entre la longueur d’onde dans la couche, λ, et l’épaisseur de la couche, d, est supérieur à 100, (cas d’une couche très ne), l’amplitude de la réexion obtenue tend logiquement vers 0 (l’eet de la couche disparaît). Quand le rapport λ/d tend vers 0, l’amplitude de la réexion est celle que l’on aurait lors d’une réexion sur une interface simple entre le milieu ambiant et le milieu dans la couche. Entre les deux extrêmes, l’amplitude de l’onde rééchie varie en fonction du rapport λ/d. Étonnamment, elle augmente lorsque le rapport λ/d augmente. Sur l’exemple de la gure 2.12, à incidence normale, l’amplitude est maximale pour d = λ/5. Elle vaut alors 1,7 fois plus que celle obtenue lors d’une réexion sur une interface simple. L’amplitude de la réexion associée à une couche mince en fonction de l’angle d’incidence a été exploité par Bradford et Deeds (2006) en utilisant une solution analytique. Ils l’ont appliquée avec succès pour l’interprétation de données radar acquises au dessus de zones contaminées par des hydrocarbures. Leur étude se limite à des paramètres indépendants de la fréquence et porte uniquement sur l’amplitude du coecient de réexion, sans tenir compte de sa phase. Plus récemment, Deparis et Garambois (2008) évaluent l’utilisation de l’amplitude et de la phase de la réexion sur une couche mince pour déterminer les propriétés d’une fracture (ouverture et contenu) à partir de mesures radar en surface. Dans leur étude ils prennent en compte la dispersion des paramètres électromagnétiques du milieu présentant la fracture. Ils appliquent leur analyse à des données réelles. Finalement, Diamenti et Giannopoulos (2008) étudient le problème de la modélisation FDTD de couches minces en incluant une zone avec un maillage n autour de la couche à l’intérieur d’un maillage plus grossier. Ils limitent ainsi le temps de calcul. Ils appliquent leur étude au cas de la détection d’interstices entre les briques constituant des piles de ponts, phénomène d’érosion qui modie leur résistance et donc leur solidité. Dans cet article leurs exemples numériques sont calculés avec une source de fréquence nominale 1,5 GHz ce qui correspond à une longueur d’onde principale dans l’air λ = 0, 2 m.