ÉQUATIONS DE MAXWELL EN 3D

ÉQUATIONS DE MAXWELL EN 3D

ous continuons l’étude des équations de Maxwell en régime harmonique en temps dansun matériau composite plongé dans un conducteur parfait. Le matériau composite estmodélisé par une permittivité diélectrique ε et une perméabilité magnétique µ qui va-rient en espace. Nous souhaitons plus particulièrement nous intéresser à des matériaux composites mélangeant matériaux positifs et matériaux négatifs. Il est bien connu que les métaux, sous la fréquence plasma, présentent une permittivité à partie réelle négative (cf. Chapitre 4). Or de nom- breux métaux possèdent une fréquence plasma située dans l’ultraviolet si bien que dans le visible, la partie réelle de ε est négative. La perméabilité µ reste par contre positive indépendamment de la fréquence. Récemment, les physiciens sont parvenus à concevoir des matériaux à perméabilité négative pour certaines plages de fréquences et même des matériaux doublement négatifs, c’est-à- dire, des matériaux qui, après homogénéisation, se comportent comme si ε et µ étaient toutes les deux négatives. Indiquons que ce sont ces derniers « métamatériaux » qui permettent d’obtenir le spectaculaire effet d’indice de réfraction négatif. L’association de matériaux classiques avec des matériaux négatifs ouvre la voie à des applications très prometteuses telles que les guides d’ondes plasmoniques, les lentilles parfaites [148, 113, 134], les pièges à photon, les cavités sous-longueur d’ondes [76] … De nouveau, indiquons que les expérimentations dans ces domaines sont longues et coûteuses à mettre en place, notamment en raison de l’échelle nanométrique des structures. C’est pourquoi, l’on cherche à les remplacer par des simulations numériques. Or d’un point de vue mathématique, le changement de signe des coefficients physiques présente des difficultés rela- tivement inhabituelles tant d’un point de vue théorique que numérique [131, 137, 80]. De façon générale, les questions auxquelles nous devons répondre sont les suivantes. Peut-on étendre les théories classiques pour traiter les configurations dans lesquelles ε et/ou µ changent de signe ? Si ce n’est pas possible, peut-on déterminer un nouveau cadre fonctionnel dans lequel on retrouve un problème bien posé et des propriétés de stabilité ? Dans la suite, nous allons considérer des permittivités et perméabilités à valeurs réelles. Réexpliquons pourquoi. Pour les applications, l’on cherche à travailler avec des matériaux aussi peu dissipatifs que possible et le comportement d’un matériau légèrement absorbant est très lié au comportement du matériau sans dissipation. Par conséquent, il est important de bien comprendre les propriétés du problème idéal non dissipatif. Nous renvoyons le lecteur au Chapitre 4 pour ces questions de modélisation.

Pour les configurations 2D telles que les guides 3D invariants dans une direction, les équa- tions de Maxwell se ramènent à des problèmes scalaires mettant en jeu les opérateurs −div (σ∇·) . Nous avons étudié en détailces problèmes scalaires dans les Parties I et II (voir également [23, 155, 25, 129]). Ces problèmes sont bien posés au sens de Fredholm si le contraste (rapport des valeurs de σ de part et d’autre de l’interface entre les matériaux) est situé en dehors d’un intervalle critique contenant toujours la valeur −1. Cet intervalle se réduit à {−1} si et seulement si l’interface est régulière (voir également en raison de l’apparition de deux « singularitéspropagatives » au niveau du coin. Nous pouvons définir un nouveau cadre fonctionnel en ajoutant l’une de ces singularités dans l’espace. Le caractère bien posé du problème est alors obtenu en imposant une condition de radiation, justifiée par un principe d’absorption limite, au niveau du coin.

Pour les problèmes scalaires, la théorie commence à être assez claire. À présent, notre objec- tif consiste à étendre ces résultats pour étudier les équations de Maxwell. Nous souhaitons en particulier développer une technique variationnelle pour obtenir le caractère bien posé de ces équations. Les techniques variationnelles sont intéressantes car elles permettent de considérer des configurations relativement générales pour lesquelles l’interface et les coefficients ε, εsont lipschitziens. Il est compliqué d’adapter l’approche géométrique présentée dans le Chapitre 1 pour traiter les problèmes vectoriels en raison de la nature des espaces utilisés pour les équations de Maxwell. C’est pourquoi nous procéderons différemment. Nous recourrons de nouveau à la technique de la T-coercivité mais sous une forme plus abstraite. Nous allons prouver que l’on peut construire des opérateurs de T-coercivité qui permettent de restaurer une certaine positivité dès lors que les problèmes scalaires 3D associés sont bien posés. Lorsque les contrastes en ε et en µ sont situés dans les intervalles critiques, l’étude reste à mener pour obtenir un problème bien posé dans un cadre fonctionnel ad hoc.