Les mathématiques et méthodes numériques 

Les mathématiques et méthodes numériques 

Dans la première section de ce chapitre, nous écrivons d’abord les équations sous leur forme générale en convection naturelle d’un fluide newtonien en milieux confinés. Les équations sont ensuite simplifiées grâce aux hypothèses introduites notamment l’approximation de Boussinesq. Enfin, les équations sont modifiées pour tenir compte de la variation des propriétés thermophysiques en fonction de la température. Dans la deuxième section, nous présentons les conditions aux limites dynamiques et thermiques. La troisième section est dédiée `a la résolution des équations de Navier-Stokes. Nous y présentons la méthode des différences finies et les schémas de discrétisation temporel et spatial appliqués aux équations de conservation. Puis, nous détaillons les algorithmes utilisés pour résoudre les équations discrètes et pour implémenter les conditions aux limites dynamiques. Dans la quatrième section, nous présentons le formalisme du transfert radiatif entre surfaces en convection naturelle dans un canal d’air vertical. Les quantités dynamiques et thermiques étudiées le long de ce manuscrit sont données dans la cinquième section. 1 Ecoulements de convection naturelle ´ Les écoulement de convections naturelle sont dues `a des variations de la masse volumique, provoquées par une distribution non-uniforme de la température dans un fluide. Les gradients de masse volumique induient donc un mouvement du fluide transportant ainsi de la chaleur qui va être échangée avec son environnement. Ce phénomène entraîne donc un couplage fort entre le champ de température et le champ de vitesse. La force gouvernant la convection naturelle est appelée poussée d’Archimède. Cette dernière s’écrit selon l’axe vertical ~y comme suit : F~A = (ρ0 − ρ)g~y, avec g l’accélération gravitationnelle, ρ0 la masse volumique du fluide `a la température de référence T0 et ρ est la masse volumique du fluide `a la température T. La physique des écoulements de convection naturelle peut être étudiée `a l’aide de la résolution analytique ou numérique des équations de Navier-Stokes. 

Conditions aux limites 

Il est nécessaire de fermer les équations précédemment définies en y ajoutant des conditions aux limites thermiques et dynamiques. Pour le cas de la convection naturelle en canal ouvert, le choix des conditions aux limites dynamiques reste un problème ouvert. En effet, dans notre cas d’étude, l’écoulement est engendré par la seule force : poussée d’Archimède. Cette force s’équilibre avec les forces d’inertie et de viscosité, produisant ainsi un mouvement dès qu’un gradient de température existe dans le fluide. Ainsi, imposer des conditions aux limites entrée/sortie en vitesse ou pression est un problème non trivial. Toutefois, on peut imposer des conditions aux limites `a l’entrée du canal en utilisant le théorème de Bernoulli [14]. En supposant que l’écoulement est irrotationnel, incompressible et établi `a l’entrée du canal, on peut appliquer ce théorème le long d’une ligne de courant, entre les points (0) et (1) (voir Fig II.1). L’équation de Bernoulli adimensionnée s’écrit alors comme suit : P1 +0.5V 2 1 = P0 +0.5V 2 0 (II.9) o`u V0 = 0 si on suppose que le fluide est au repos `a l’extérieur du canal.La condition aux limites (entrée/sortie) en pression correspond ici `a imposer une pression du type Bernoulli globale P = −0.5 R 1 0 V(X,0)dX2 `a l’entrée et une pression nulle en sortie du canal. Il existe d’autres combinaisons de conditions aux limites entrée/sortie en pression, notamment, dans le cas o`u seul la condition aux limites en pression change en sortie du canal tout en gardant Bernoulli globale `a l’entrée :    P = 0 si V > 0 `a Y = A, 0 ≤ X ≤ 1 P = − 1 2 V(X,A) 2 si V ≤ 0 `a Y = A, 0 ≤ X ≤ 1 (II.13) Une autre condition aux limites correspond `a imposer Bernoulli locale `a l’entrée et une pression nulle en sortie du canal :    P = − 1 2 V(X,0) 2 a` Y = 0, 0 ≤ X ≤ 1 P = 0 `a Y = A, 0 ≤ X ≤ 1 (II.14) Dans le cas du fluide entrant en sortie du canal (écoulement de retour), Bernoulli locale est appliquée (entre les points (3) et (2)). La dernière condition aux limites en pression correspond donc `a garder Bernoulli locale `a l’entrée et `a remplacer la condition aux limites de sortie par celle des équations (II.13) :    P = − 1 2 V(X,0) 2 a` Y = 0, 0 ≤ X ≤ 1 P = 0 si V > 0 `a Y = A, 0 ≤ X ≤ 1 P = − 1 2 V(X,A) 2 si V ≤ 0 `a Y = A, 0 ≤ X ≤ 1 (II.15) Dans la suite, nous appellerons les quatre conditions aux limites dans l’ordre : Bernoulli globale zéro (BG0), Bernoulli globale (BG), Bernoulli locale zéro (BL0), Bernoulli locale (BL). Concernant les conditions aux limites thermiques, les parois sont soumises `a un flux de chaleur uniforme et une condition de Neumann homogène est imposée aux parois adiabatiques. Nous négligeons dans une première approximation les flux longitudinaux en sortie du canal, étant donné que les gradients thermiques transverses sont plus importants. En effet, l’écoulement est supposé parfaitement établi en sortie. Quant au fluide entrant `a l’entrée et en sortie du canal, on suppose qu’il est `a la température extérieure. Dans cette approximation, on néglige le fait que le fluide entrant peut être préchauffé dans l’environnement extérieur. Seule une simulation intégrant la totalité de l’environnement permettrait de simuler complètement ce problème. 

Résolution des équations de conservation 

La résolution numérique des équations de Navier-Stokes a commencé dans les années 60, et, par conséquent, de nombreux codes ont été développés (STAR-CCM, FLUENT, ANSYS, CFX, …). En industrie, les codes utilisés sont des génériques commercialisés qui permettent d’aborder des problématiques physiques en géométries complexes. Cependant le noyau de calcul ainsi que les modèles implémentés dans ces codes sont verrouillés et il est difficile voire impossible de modifier le code source et de le faire interagir avec de nouvels algorithmes. Les codes ouverts principalement issu du milieu universitaire ou de centres de recherche offrent plus de flexibilité en programmation. Ils permettent d’utiliser de nouveaux algorithmes offrant l’amélioration de la précision des calculs et ainsi l’augmentation de l’éfficacité du code. De nombreuses comparaisons entre les codes commerciaux et académiques ont été effectuées et ont fait ressortir les problèmes des codes commerciaux, montrent le bien-fondé de l’approche académique [70] [71][72]. Dans le domaine de la mécanique des fluides numérique, de nombreuses méthodes ont été développées pour résoudre les équations de conservation de quantité de mouvement et de l’énergie. Les méthodes de discrétisations les plus connues sont les différences finies, les volumes finis et les éléments finis. Pour le cas de géométries simples en mécanique des fluides, les différences finies et les volumes finies sont les plus utilisées. Dans les cas de problèmes de dimensions élevées et de géométries complexes, les éléments finis sont privilégiés. Il existe d’autres méthodes qui permettent d’obtenir des schémas de discrétisation d’ordre élevé comme les méthodes spectrales. Dans notre présente étude, un code interne destiné au départ pour simuler les écoulements de convection naturelle dans une cavité fermée a été adapté pour traiter le cas des géométries semi-ouvertes. La méthode des différences finies d’ordre deux en temps et en espace a été utilisée compte tenue de la simplicité de la géométrie et de la facilité de l’implémentation de la méthode.