Approche microscopique

Approche microscopique

S’inspirant des travaux de Rayleigh [Rayleigh, 1945], Zwikker et Kosten [Zwikker et al.y 1949] se sont intéressés à la propagation d’ondes acoustiques dans un milieu poreux constitué de pores identiques non connectés, parallèles, de section circulaire uniforme et perpendiculaires à la surface. Le squelette est supposé rigide et les propriétés acoustiques sont établies au niveau du pore. Zwikker et Kosten ont largement popularisé cette théorie. Il est vrai qu’un milieu poreux constitué de pores uniformes non connectés de section circulaire présente peu d’intérêt, mais ils estiment que le comportement devrait être similaire à celui de milieux plus complexes et par là même pourrait être amélioré après quelques modifications et réinterprétation de paramètres. Cette démarche repose sur la connaissance des caractéristiqiies acoustiques d’un guide d’onde de section circulaire. La solution exacte donnée par Kirchhoff [Kirchhoff, 1868] prend en compte les dissipations visqueuses et thermiques et reste valable quelque soit la fréquence ou le rayon de la section. Elle reste tout de même très compliquée pour de nombreuses applications. Zwikker et Kosten proposent une formulation approchée plus simple où les effets visqueux et thermiques sont traités séparément et résumés en terme de fonctions complexes de densité et de compressibilité. De nombreux auteurs ont depuis adopté cette théorie. Cependant cette approche n’a été justifiée qu’aux basses et hautes fréquences et le régime intermédiaire n’a pas pu être traité. Stinson [Stinson, 1991] montre que la solution exacte de Kirchhoff peut être réduite à la forme analytique donnée par Zwikker et Kosten en introduisant des simplifications appropriées à certains choix de rayons, de sections et de fréquences acoustiques. Il détermine ainsi de façon précise le régime dans lequel l’approche Zwikker et Kosten est valable.

D’autres traitements approximatifs ont été introduits. Ainsi Crandall [Crandall, 1926] considère la distribution des vitesses à travers une section lorsque la conductivité thermique est négligeable. Il obtient avec cette hypothèse un écoulement laminaire et les caractéristiques acoustiques peuvent être calcu­ lées. Daniels [Daniels, 1947] considère la conduction thermique dans un conduit cylindrique et en déduit une relation entre écart de température et pression acoustique. Cette analyse suppose toutefois que les gradients thermiques sont négligeables le long de l’axe du cylindre.  Ces aspects approximatifs de la propagation peuvent être décrit en terme d’impédance et d’admittance [Mawardi, 1949] [Daniels, 1950] [Benade, 1968] [Russell et ai, 1993]. En effet lorsque la longueur d’onde est bien plus grande que les dimensions transverses du conduit, le mouvement de l’onde est analogue au flux de courant électrique dans une ligne de transmission. Le courant électrique s’identifie au débit acoustique, tandis que le potentiel électrique est l’analogue de la pression acoustique.

La section circulaire a été une géométrie prototype, et l’extension de la théorie à des sections non circulaires a été nécessaire. En effet, les milieux poreux réels ont rarement des pores de sections circulaires et certains auteurs [Attenborough, 1983] ont traduit, le changement de géométrie par l’introduction d’un facteur de forme. Stinson [Stinson, 1991] estime par contre que certaines spécificités de la solution obtenue pour une section circulaire peuvent être appliquées à des conduits de forme arbitraire, et développe ainsi une procédure générale permettant le calcul des caractéristiques acoustiques. De façon à démontrer l’utilité de cette procé­ dure, il développe la solution pour des sections rectangulaire, triangulaire, et de type fissure [Stinson et ai, 1992]. Cummings [Cummings, 1993] propose une mé­ thode variationnelîe applicable à des geometries plus complexes où les solutions analytiques sont limitées. Il en déduit des solutions approchées aux basses et hautes fréquences. Wilson [Wilson, 1993] développe un modèle reposant sur un formalisme de relaxation. Il estime que les dissipations visqueuses et thermiques sont des caractéristiques d’un processus de relaxation. Ce modèle a l’avantage de faire intervenir un paramètre en moins, et à la différence des modèles précédents n’utilise pas de fonction de Bessel et de Kelvin. Les milieux poreux réels sont rarement constitués de pores de sections uni­ formes. Les milieux granulaires par exemple, qu’ils soient consolidés ou non n’ont pas de taille de pores constante, mais des dimensions qui varient de sec­ tions nulles à des sections de l’ordre du diamètre des grains. La détermina­ tion de la distribution de taille de pores a été l’objet de recherches de nom­ breux physiciens [Marshall et ai, 1979] [Pittman, 1984]. Yamamoto et Turgut [Yamamoto et ai, 1988] montrent qu’un milieu poreux avec une porosité don­ née et une perméabilité donnée peut être décrit par une infinité de distributions de taille de pores et que la vitesse et l’atténuation de l’onde acoustique, insen­ sibles à la distribution dans le domaine des basses et hautes fréquences, le sont fortement dans le domaine des fréquences intermédiaires. Leur modèle se base sur le traitement des effets visqueux de pores distribués selon une loi normale. Atten­ borough [Attenborough, 1993] généralise cette approche pour y inclure les effets thermiques. Une autre formulation a été introduite par Stinson et Champoux [Champoux et al., 1992] consistant à niodéliser chaque pore comme une série de conduits uniformes de section et forme aléatoires, en négligeant les phénomènes associés aux jonctions de segment. L’application de ce modèle nécessite toutefois la connaissance du détail de la géométrie du pore. Pour des milieux complexes cette information n’est pas toujours accessible. Le modèle est alors généralisé par l’introduction de deux paramètres supplémentaires associés aux effets vis­ queux et thermiques qu’il convient d’ajuster. On peut également citer le modèle de Biot-Allard [Allard et ai, 1990] qui ne nécessite qu’un facteur de forme sup­ plémentaire, mais qui semble être inefficace lorsque les variations de section sont très prononcées.