Les non linéarité

Les non linéarité

Plusieurs types de non-linéarités peuvent être considérés

En mécanique des structures, on distinguera : les non-linéarités géométriques qui se manifestent dans les problèmes des grands déplacements, des grandes rotations et/ou de grandes déformations. La notion de « grands » déplacements signifie tout simplement que l’hypothèse des petites perturbations n’est plus vérifiable. Or celle-ci stipule que géométries déformée et initiale doivent rester relativement proches. La notion de grandes déformations, déjà mentionnée dans ce document, fait que la linéarité des relations entre déplacements et déformations n’est plus conservée. les non-linéarités matérielles dues à la loi de comportement du solide (ou plus généralement à la loi de comportement dans le milieu ). Le plus souvent, cette loi peut s’exprimer sous la forme d’équations différentielles non-linéaires du premier ordre. Nous avons déjà évoqué ce phénomènes à plusieurs endroits dans ce document, et le chapitre 15 sur l’homogénéisation est une illustration du cas où l’on peut substituer un milieu homogénéisé simple à un milieu compliqué. Toutefois, nous irons un peu plus loin dans ce chapitre et présenterons les principales lois de comportement rencontrées en mécanique. les non-linéarités liées à l’évolution des conditions aux limites. Ce type de non-linéarité apparaît en particulier dans les problèmes de contact et de frottement entre solides. Ces phénomènes sont décrits par des inéquations et des opérations de projection. les non-linéarités liées aux instabilités du comportement qui se présentent dans l’analyse des problèmes dynamiques. 

Tenseurs, décomposition des tenseurs 

Le déviateur est un opérateur matriciel utilisé en mécanique des milieux continus, plus précisément en plasticité. Soit M une matrice (ou tenseur d’ordre 2) de dimension n. Le déviateur de M, noté devM, vaut : devM D M 

Tenseur des contraintes Histoire

Le tenseur des contraintes, ou tenseur de Cauchy, n’est pas forcément introduit par la loi de Hooke généralisée qui le lie au tenseur des déformations ( D H « ). D’ailleurs, lorsque Cauchy l’introduit vers 1822, il le fait pour représenter les efforts intérieurs mis en jeu entre les portions déformées du milieu, via l’équilibre des efforts pour toute coupure dans un matériau (i.e. définition sous forme de forces surfaciques). En tout point M il existe une infinité de facettes d’orientation différentes. Le théorème de Cauchy permet de définir l’état de contrainte sur une facette d’orientation quelconque à partir de la connaissance de l’état de contrainte selon trois directions différentes. L’énoncé de ce théorème est le suivant : Théorème 64 — Théorème de Cauchy. [un des nombreux -] : Les composantes du vecteur contrainte en un point M sur une facette de normale .D’un point de vue pratique, chacun des éléments ij du tenseur des contraintes de Cauchy rend compte d’une contribution clairement identifiable : le premier indice i est l’indice de projection (direction selon laquelle s’exerce la contribution) ; le second indice j repère l’orientation de la surface sur laquelle s’exerce la contribution. 

Non linéarité géométrique

Nous avons exposé en introduction qu’il s’agit du cas où l’hypothèse des petites perturbations n’est plus vérifiée. Cela se traduit par le fait que le domaine considéré  varie et doit donc être introduit comme une inconnue dans le problème. Si l’on se place dans le cas de grands déplacements, mais en conservant l’hypothèse de petites déformations, on est amené à effectuer la formulation variationnelle sur un domaine inconnu 0 par l’introduction des tenseurs non linéaires de Piola-Kirchhoff (contraintes) et de Green-Lagrange (déformations) tels que : Z  ı » W  D Z 0 ı »GL W PK (20.27) On obtient la formulation variationnelle : Z 0 ı »GL W PK Lorsque l’on ne considère que le cas de la traction/compression, alors on a proportionnalité entre contrainte dans cette direction de chargement 11 et déformation dans cette direction « 11 via le module d’Young E : 11 D E »11. La même loi se retrouve pour Hooke Young Coulomb Poisson Lamé une sollicitation en cisaillement, et la contrainte de cisaillement 12 est proportionnelle à l’angle de déformation relative 12 via le module de Coulomb G : 12 D G »12. Lorsque l’on synthétise tout cela pour toutes les directions, on parle alors de loi de Hooke généralisée, que l’on note sous la forme  D H  » (i.e. ij D Hijkl »kl) : il y a proportionnalité entre les tenseurs des contraintes et des déformations (On note également souvent C ou D au lieu de H)

Modèles rhéologiques

L’allure qualitative de la réponse des matériaux à quelques essais simples (traction, compression, écrouissage, fluage, relaxation, triaxial, flexion, torsion…) permet de les ranger dans des classes bien définies. Ces comportements « de base », qui peuvent être représentés par des systèmes mécaniques élémentaires, sont l’élasticité, la plasticité et la viscosité : — Le ressort symbolise l’élasticité linéaire parfaite, pour laquelle la déformation est entièrement réversible lors d’une décharge, et où il existe une relation biunivoque (i.e. une bijection) entre les paramètres de charge et de déformation. — L’amortisseur schématise la viscosité, linéaire ou non. La viscosité est dite pure s’il existe une relation biunivoque entre la charge et la vitesse de chargement. Si cette relation est linéaire, le modèle correspond à la loi de Newton. — Le patin symbolise l’apparition de déformations permanentes lorsque la charge est suffisante. Si le seuil d’apparition de la déformation permanente n’évolue pas avec le chargement, le comportement est dit plastique parfait. Si, de plus, la déformation avant écoulement est négligée, le modèle est rigide-parfaitement plastique. Ces éléments peuvent être combinés entre eux pour former des modèles rhéologiques. La réponse de ces systèmes peut être jugée dans trois plans différents, qui permettent d’illustrer le comportement lors d’essais de type : — Écrouissage, ou augmentation monotone de la charge ou de la déformation