L’intégrale des fonctions continues sur un intervalle compact de R

Mesure, intégration, probabilités

Nous présentons ici quelques rappels sur l’intégrale des fonctions continues sur un intervalle compact de R. Nous montrons pourquoi cette théorie de l’intégrale des notions introduites se généralisent à une intervalle [a; b], a; b 2 R. Nous allons en fait définir l’intégrale des fonctions réglées (on appelle fonction réglée une fonction qui est limite uniforme d’une suite de fonctions en escalier). Ceci nous donnera l’intégrale des fonctions continues car toute fonction continue est réglée. La définition de l’intégrale des fonctions réglées (comme celle de l’intégrale de Riemann, qui est rappelée dans l’exercice 5.2, et celle de l’intégrale de Lebesgue, qui fait l’objet du chapitre 4) peut être vue en 3 étapes, que nous esquissons ici et qui sont étudiées en détail dans l’exercice 1.2 : 1. Mesurer les intervalles de [0; 1]. Pour 0 1, on pose m(]; [) = . 2. Intégrer les fonctions en escalier..3. Passer à la limite. Soit f : [0; 1] ! R, une fonction réglée, il existe une suitene dépend que de f et non du choix de la suite (Remarque 1.2 (Intégrale sur un espace de Banach) Un des intérêts de la méthode présentée ci-dessus est qu’elle permet aussi de définir (sans travail supplémentaire) l’intégrale de fonctions continues de [0; 1] (ou d’un intervalle compact de R) dans sur R ou C (la méthode de construction utilise la structure d’espace de Banach de E, et il peut ne pas y avoir de relation d’ordre sur E).Les méthodes de Riemann (voir l’exercice 5.2) et de Lebesgue (présentée dans ce cours) sont limitées à des fonctions prenant leurs valeurs dans R car elles utilisent fortement la relation d’ordre dans R (elles redonnent, dans le cas de fonctions continues de [0; 1] dans R, la même intégrale que ci-dessus). Pour l’intégrale de Lebesgue, il faut alors un travail supplémentaire pour développer une théorie de l’intégration pourdes fonctions prenant leurs valeurs dans un espace de Banach (on l’appelle souvent intégrale de Bochner). Plus précisément, ce travail supplémentaire est nécessaire lorsque cet espace est de dimension infinie. Le cas où l’espace est de dimension finie reste simple car on est alors amené à considérer un nombre fini d’intégrales à valeurs dans R, [3, 4].

f (x)dx pour tout f 2 E (car l’ensemble des fonctions continues est contenu dans l’ensemble des fonctions réglées).Un inconvénient important de la théorie de l’intégration exposée ci-dessus est que les théorèmes “naturels” de convergence pour cette théorie sont peu efficaces. A vrai dire, le seul théorème simple est un résultat de convergence de l’intégrale sous hypothèse de convergence uniforme d’une suite de fonctions. Rappelons tout d’abord les notions de convergence simple et uniforme des suites de fonctions. Pour la convergence simple, l’entier N peut dépendre de x, alors que pour la convergence uniforme, il ne dépend que de « , et pas de x. La suite (tend simplement et uniformément (sur [0; 1]) vers 0. On donne à l’exercice 1.1 un exemple de suite qui converge simplement mais pas uniformément. On rappelle maintenant le théorème classique de convergence de l’intégrale des fonctions continues : Ce théorème est assez faible, au sens où l’hypothèse de convergence uniforme est une hypothèse forte. Une conséquence de la théorie de l’intégrale de Lebesgue est le théorème suivant (beaucoup plus fort que le précédent, car il ne demande pas d’hypothèse de convergence uniforme) :

(voir figure 1.2) converge simplement mais non uniformément. Elle est dominée par 1, et d’après le théorème 1.5, elle converge. On peut le vérifier à la main, car l’intégrale de f. Le théorème 1.5 est une conséquence immédiate du théorème de convergence do- minée de Lebesgue, que nous verrons au chapitre 4, il peut être démontré directement, sans utiliser la théorie de l’intégrale de Lebesgue, mais cela est difficile : nous donnons une technique possible à l’exercice 1.10 ; l’idée essentielle est un passage à la limite sur des suites croissantes de fonctions, qui se retrouve égale- ment dans la construction de l’intégrale de Lebesgue. Dans l’exercice 1.10, on introduit des suites croissantes de fonctions continues, et on utilise l’intégrale des fonctions continues. En revanche, Lebesgue utilise des suites croissantes de fonctions étagées (voir définition 3.5), ce qui permet également d’utiliser la définition de la mesure et donc de s’affranchir de la notion de topologie (voir définition 2.8) sur l’espace de départ pour construire l’intégrale.