Homogénéisation de plaques périodiques épaisses

Ce doctorat a été préparé au sein du Laboratoire Navier et financé par le Ministère de l’Écologie, de l’Énergie, du Développement Durable et de la Mer.

Le point de départ de ce travail de doctorat porte sur l’étude d’un nouveau type d’âme de panneau sandwich fabriqué à partir de techniques de pliage et nommé module à chevrons. Ce type d’âme n’est pas encore répandu dans les panneaux sandwichs et son intérêt économique n’est pas encore parfaitement démontré. Comme on le verra par la suite, le rôle de l’âme dans un panneau sandwich est d’assurer la résistance à l’effort tranchant. Il se trouve que l’étude du comportement d’une plaque à l’effort tranchant pose encore de nombreux problèmes aujourd’hui en raison d’un obstacle d’ordre théorique. Cette étude d’une âme de panneau sandwich est donc l’occasion de revoir en profondeur cette question.

On parle d’une plaque mince, lorsque la flèche U3 générée par les déformations de cisaillement γα reste négligeable devant la flèche générée par la courbure de la plaque χαβ. Dans le cas d’une plaque homogène isotrope, la part de cisaillement dans la flèche est directement reliée à l’élancement L/h. Plus précisément, la flèche de cisaillement rapportée à la flèche de flexion est proportionnelle à Eh²/GL² où E est le module d’Young et G le module de cisaillement du matériau. Ainsi la flèche de cisaillement est inversement proportionnelle au carré de l’élancement, ce qui en fait dans le cas des plaques homogènes isotropes un phénomène vraiment négligeable et explique la définition de plaque mince. D’une manière plus générale, on obtient une théorie de plaque mince en faisant directement l’hypothèse de Love-Kirchhoff dans le modèle naturel : γα = 0. Ce type de modèle sera nommé par la suite plaque de Love-Kirchhoff.

La plaque homogène : La plaque la plus simple est la plaque homogène, constituée d’un seul et même matériau. Un exemple typique est une tôle d’acier.
La plaque stratifiée : Pour ces plaques, les propriétés du matériau constitutif varient en fonction de l’épaisseur. Elles sont réalisées par l’empilement d’un certain nombre de couches de matériau. Par exemple, le contreplaqué est un stratifié. Les empilements qui font l’objet de beaucoup d’attention sont les stratifiés de matériaux composites. Il sont constitués de couches nommées plis. Chaque pli est homogène et est constitué d’un composite fibré unidirectionnel, tel que la fibre de carbone ou de verre imprégnée de résine époxyde, dont l’orientation varie par rapport au reste de l’empilement. Comme le comportement du matériau varie brusquement entre chaque couche, on observe des concentrations de contraintes localisées, en particulier sur les bords du stratifié, qui sont liées à des effets de cisaillement interlaminaire et qui nécessitent des modèles de plaque élaborés.
La plaque fonctionnellement graduée : La plaque fonctionnellement graduée (functionnally graded plate) est la version continue de la plaque stratifiée. Plus précisément, grâce à de nouveaux procédés, il est possible de faire varier presque continuement dans l’épaisseur les propriétés du matériau constitutif. Ce nouveau concept est une façon de répondre aux difficultés soulevées par les concentrations de contraintes présentées par les plaques stratifiées.
La plaque périodique : Ce sont les plaques dont le matériaux constitutif varie à la fois dans l’épaisseur, mais aussi dans le plan. Les tôles gaufrées, le bardage sont des plaques périodiques. En Génie Civil, les dalles orthotropes de ponts suspendus et les dalles caissonnées en béton sont aussi des plaques périodiques.
Le panneau sandwich Les panneaux sandwichs à âme périodique tels que le nid d’abeilles sont les plaques périodiques pour lesquelles on ajoute l’hypothèse que les peaux sont homogènes et assez rigides par rapport à l’âme hétérogène.

dépendant directement des variables Q ou γ n’apparaissent à aucun moment.

Cet obstacle fondamental entre modèle naturel et développements asymptotiques a donné lieu indirectement à une très vaste littérature. Principalement deux angles d’attaque ont été proposés.

Le premier consiste à revoir la façon dont on passe à la limite pour un faible élancement du modèle 3D vers un modèle de plaque. On y retrouve les travaux sur la Γ−convergence dans la lignée des travaux de Ciarlet and Destuynder (1979) ainsi que ceux sur la méthode variationelle asymptotique (variational asymptotic method) qui ont abouti aux travaux de Yu et al. (2002b). On retiendra aussi les travaux de Miara and Podio-Guidugli (2006) ainsi que ceux de Berdichevsky (2010) où une hiérarchie est établie dans la loi de comportement tridimensionnelle de la plaque afin de faire ressortir (ou non) un modèle de plaque de Reissner-Mindlin, dans le cas homogène pour Miara and Podio-Guidugli (2006) et dans le cas d’un panneau sandwich pour Berdichevsky (2010). L’intérêt de tout ces travaux est qu’ils montrent que la façon dont on passe à la limite détermine de façon critique le modèle qu’on obtient au final. De plus, ils mettent en avant de façon fine les ordres de grandeurs entre les différentes échelles caractéristiques (rayon de courbure, épaisseur, longueur d’onde… dans le cas des coques). Cependant, l’ingénieur n’a pas le choix du passage à la limite. Ainsi les modèles obtenus ne peuvent pas être appliqués directement.

Le second angle d’attaque consiste à trouver le champ de localisation associé à Qα ou γα le plus adapté dans telle ou telle configuration. Ces approches sont nommées approches axiomatiques (ou constructives) car elles se basent sur des hypothèses arbitraires. On propose de faire une revue synthétique de ces modèles.