Modélisation numérique des résonances par une formulation intégrale

À l’heure actuelle, le confort acoustique prend une place de plus en plus importante dans les transports (habitacles de voiture, d’avion ou de train), dans les sites industriels et dans les habitations soumis à de fortes nuisances sonores. Le traitement de ces nuisances nécessite une bonne compréhension de l’environnement acoustique et, plus précisément, la connaissance des modes de résonance. À ces fréquences particulières, la puissance transportée par les ondes sonores est à son maximum [1]. En plus de la gêne ressentie et ses conséquences sur les auditeurs (problèmes de santé, dégradation de l’attention et de la sécurité dans un contexte professionnel), ces résonances peuvent également occasionner des dégradations de la structure vibrante .

La lutte contre le bruit passe par une identification précise des résonances. Elle est indispensable pour pouvoir envisager la suppression ou, au moins, leur atténuation par des méthodes d’absorption passive ou par des techniques de contrôle actif (sources d’anti-bruit). Les solutions analytiques ou semi-analytiques sont limitées à des géométries simplifiées [2]. La prise en compte de structures complexes, c’est-à dire de géométries tridimensionnelles et de revêtements de surface variés, passe par l’emploi d’outils de simulation numérique. Parmi les méthodes possibles, les méthodes des éléments finis de volume et des éléments finis de frontière sont les plus employées [3, 4]. C’est la seconde solution qui est développée dans ce document. Comparativement à la méthode des éléments finis, celle des équations intégrales présente l’avantage de limiter le maillage à l’interface fluide-structure au lieu du volume fluide entier. En plus d’un gain sur le temps de génération du maillage  , la réduction de la taille du problème se traduit par :

– une diminution du temps de calculs ;
– des moyens de calculs limités ;
– une minimisation du phénomène d’érosion numérique.

Par ailleurs, la restriction du maillage à la surface peut permettre d’élargir considérablement la gamme de fréquences. Une autre alternative consistant à résoudre le problème fluide-structure par un couplage entre la méthode des éléments finis et une formulation intégrale est également possible. Dans ce cas, le comportement vibratoire de la structure est modélisé par les éléments finis alors que la propagation des ondes de pression dans le fluide est simulée par les équations intégrales. Le couplage est alors réalisé par l’intermédiaire d’une matrice d’impédance reliant les valeurs nodales de la pression et du déplacement sur la surface mouillée.

À l’origine de cette étude, on disposait d’un code de calculs de type équations intégrales [5] adapté à la résolution des problèmes d’acoustique en milieu infini et en régime harmonique. Dans un premier temps, son extension aux problèmes fermés a été réalisée. Ensuite, l’implantation d’une technique de calcul des modes de résonance, basée sur la méthode de l’intégrale particulière [6], a constitué l’essentiel du travail. Parmi les principaux développements effectués , on peut citer :
– l’identification des domaines d’utilisation de différents algorithmes d’extraction des fréquences propres ;
– une procédure sur le nombre et la disposition des points internes de collocation qui améliorent la précision ;
– la mise au point d’une prise en compte des impédances de surface apportant une meilleure description du comportement acoustique des revêtements pour les fréquences inférieures à 500 Hz.

La répartition des ondes acoustiques dans la cavité est également un enjeu important pour mieux appréhender le problème. D’un point de vue pratique, la connaissance des modes de résonance, et en particulier des fonctions propres associées, permet par simple sommation de reconstruire les champs sonores. La cartographie acoustique est assurée par un ensemble d’outils de visualisation en phase de post-traitement.

D’après Zienkiewicz [3], les fonctions de pondération prennent la valeur unité au nœud considéré et sont nulles partout ailleurs. On utilise des éléments isoparamétriques où la variation des champs (p et ∂p/∂n) et la géométrie sont décrites par les mêmes interpolations. Différents types d’éléments existent : l’élément constant sur lequel les variables sont constantes ; l’élément linéaire sur lequel les fonctions de pondération varient linéairement le long de chaque coté de l’élément ; l’élément quadratique sur lequel les fonctions de forme varient de façon quadratique le long de chaque coté de l’élément ; des éléments de degré supérieur existent également. L’élément quadratique est un bon compromis entre la précision des calculs et la taille du maillage, il permet aussi de représenter des surfaces courbes en évitant ainsi une dégénérescence sur certains modes pour des géométries particulières comme le cylindre.